MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltne Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltne 10013
Description: 'Less than' implies not equal. (Contributed by NM, 9-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
ltne ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵𝐴)

Proof of Theorem ltne
StepHypRef Expression
1 ltnr 10011 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ¬ 𝐴 < 𝐴)
2 breq2 4587 . . . . 5 (𝐵 = 𝐴 → (𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐴))
32notbid 307 . . . 4 (𝐵 = 𝐴 → (¬ 𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐴))
41, 3syl5ibrcom 236 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 = 𝐴 → ¬ 𝐴 < 𝐵))
54necon2ad 2797 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 𝐵𝐵𝐴))
65imp 444 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780   class class class wbr 4583  cr 9814   < clt 9953
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-ltxr 9958
This theorem is referenced by:  ltlen  10017  gtneii  10028  ltnei  10040  gtned  10051  gt0ne0  10372  lt0ne0  10373  gt0ne0d  10471  znnenlem  14779  coprm  15261  phibndlem  15313  cshwshashlem1  15640  chfacffsupp  20480  chfacfscmul0  20482  chfacfscmulgsum  20484  chfacfpmmul0  20486  chfacfpmmulgsum  20488  sineq0  24077  axlowdimlem16  25637  nvnencycllem  26171  frgraogt3nreg  26647  staddi  28489  stadd3i  28491  knoppndvlem12  31684  knoppndvlem14  31686  tan2h  32571  poimirlem24  32603  ftc1cnnc  32654  fdc  32711  sineq0ALT  38195  av-frgraogt3nreg  41551
  Copyright terms: Public domain W3C validator