Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  umgrclwwlksge2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem umgrclwwlksge2 41219
 Description: A closed walk in a multigraph has a length of at least 2 (because it cannot have a loop). (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Sep-2018.) (Revised by AV, 24-Apr-2021.)
Assertion
Ref Expression
umgrclwwlksge2 (𝐺 ∈ UMGraph → (𝑃 ∈ (ClWWalkS‘𝐺) → 2 ≤ (#‘𝑃)))

Proof of Theorem umgrclwwlksge2
StepHypRef Expression
1 eqid 2610 . . . . . 6 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
21clwwlkbp 41191 . . . . 5 (𝑃 ∈ (ClWWalkS‘𝐺) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅))
32adantl 481 . . . 4 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑃 ∈ (ClWWalkS‘𝐺)) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅))
4 lencl 13179 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (#‘𝑃) ∈ ℕ0)
543ad2ant2 1076 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅) → (#‘𝑃) ∈ ℕ0)
65adantl 481 . . . . 5 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑃 ∈ (ClWWalkS‘𝐺)) ∧ (𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅)) → (#‘𝑃) ∈ ℕ0)
7 hasheq0 13015 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ((#‘𝑃) = 0 ↔ 𝑃 = ∅))
87bicomd 212 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑃 = ∅ ↔ (#‘𝑃) = 0))
98necon3bid 2826 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑃 ≠ ∅ ↔ (#‘𝑃) ≠ 0))
109biimpd 218 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑃 ≠ ∅ → (#‘𝑃) ≠ 0))
1110a1i 11 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ V → (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑃 ≠ ∅ → (#‘𝑃) ≠ 0)))
12113imp 1249 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅) → (#‘𝑃) ≠ 0)
1312adantl 481 . . . . 5 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑃 ∈ (ClWWalkS‘𝐺)) ∧ (𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅)) → (#‘𝑃) ≠ 0)
14 clwwlks1loop 41215 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ (ClWWalkS‘𝐺) ∧ (#‘𝑃) = 1) → {(𝑃‘0), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))
1514expcom 450 . . . . . . . . 9 ((#‘𝑃) = 1 → (𝑃 ∈ (ClWWalkS‘𝐺) → {(𝑃‘0), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
16 eqid 2610 . . . . . . . . . . 11 (𝑃‘0) = (𝑃‘0)
17 eqid 2610 . . . . . . . . . . . 12 (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
1817umgredgne 25816 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {(𝑃‘0), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘0))
19 eqneqall 2793 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃‘0) = (𝑃‘0) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘0) → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅) → (#‘𝑃) ≠ 1)))
2016, 18, 19mpsyl 66 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ {(𝑃‘0), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅) → (#‘𝑃) ≠ 1))
2120expcom 450 . . . . . . . . 9 ({(𝑃‘0), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) → (𝐺 ∈ UMGraph → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅) → (#‘𝑃) ≠ 1)))
2215, 21syl6 34 . . . . . . . 8 ((#‘𝑃) = 1 → (𝑃 ∈ (ClWWalkS‘𝐺) → (𝐺 ∈ UMGraph → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅) → (#‘𝑃) ≠ 1))))
2322com23 84 . . . . . . 7 ((#‘𝑃) = 1 → (𝐺 ∈ UMGraph → (𝑃 ∈ (ClWWalkS‘𝐺) → ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅) → (#‘𝑃) ≠ 1))))
2423imp4c 615 . . . . . 6 ((#‘𝑃) = 1 → (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑃 ∈ (ClWWalkS‘𝐺)) ∧ (𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅)) → (#‘𝑃) ≠ 1))
25 neqne 2790 . . . . . . 7 (¬ (#‘𝑃) = 1 → (#‘𝑃) ≠ 1)
2625a1d 25 . . . . . 6 (¬ (#‘𝑃) = 1 → (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑃 ∈ (ClWWalkS‘𝐺)) ∧ (𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅)) → (#‘𝑃) ≠ 1))
2724, 26pm2.61i 175 . . . . 5 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑃 ∈ (ClWWalkS‘𝐺)) ∧ (𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅)) → (#‘𝑃) ≠ 1)
286, 13, 273jca 1235 . . . 4 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑃 ∈ (ClWWalkS‘𝐺)) ∧ (𝐺 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ≠ ∅)) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑃) ≠ 0 ∧ (#‘𝑃) ≠ 1))
293, 28mpdan 699 . . 3 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑃 ∈ (ClWWalkS‘𝐺)) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑃) ≠ 0 ∧ (#‘𝑃) ≠ 1))
30 nn0n0n1ge2 11235 . . 3 (((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑃) ≠ 0 ∧ (#‘𝑃) ≠ 1) → 2 ≤ (#‘𝑃))
3129, 30syl 17 . 2 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑃 ∈ (ClWWalkS‘𝐺)) → 2 ≤ (#‘𝑃))
3231ex 449 1 (𝐺 ∈ UMGraph → (𝑃 ∈ (ClWWalkS‘𝐺) → 2 ≤ (#‘𝑃)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  Vcvv 3173  ∅c0 3874  {cpr 4127   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  0cc0 9815  1c1 9816   ≤ cle 9954  2c2 10947  ℕ0cn0 11169  #chash 12979  Word cword 13146  Vtxcvtx 25673   UMGraph cumgr 25748  Edgcedga 25792  ClWWalkScclwwlks 41183 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-lsw 13155  df-umgr 25750  df-edga 25793  df-clwwlks 41185 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator