Theorem usgravd0nedg 26445

Description: If a vertex in a simple graph has degree 0, the vertex is not adjacent to another vertex via an edge, analogous to vdusgra0nedg 26435. (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
usgravd0nedg	⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑈) = 0 → ¬ ∃𝑣 ∈ 𝑉 {𝑈, 𝑣} ∈ ran 𝐸))

Distinct variable groups:   𝑣,𝐸   𝑣,𝑈   𝑣,𝑉

Proof of Theorem usgravd0nedg

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vdusgraval 26434	. . 3 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑈) = (#‘{𝑥 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ (𝐸‘𝑥)}))
2	1	eqeq1d 2612	. 2 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑈) = 0 ↔ (#‘{𝑥 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ (𝐸‘𝑥)}) = 0))
3		usgrav 25867	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 USGrph 𝐸 → (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V))
4	3	simprd 478	. . . . 5 ⊢ (𝑉 USGrph 𝐸 → 𝐸 ∈ V)
5	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → 𝐸 ∈ V)
6		dmexg 6989	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ V → dom 𝐸 ∈ V)
7		rabexg 4739	. . . 4 ⊢ (dom 𝐸 ∈ V → {𝑥 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ (𝐸‘𝑥)} ∈ V)
8		hasheq0 13015	. . . 4 ⊢ ({𝑥 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ (𝐸‘𝑥)} ∈ V → ((#‘{𝑥 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ (𝐸‘𝑥)}) = 0 ↔ {𝑥 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ (𝐸‘𝑥)} = ∅))
9	5, 6, 7, 8	4syl 19	. . 3 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((#‘{𝑥 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ (𝐸‘𝑥)}) = 0 ↔ {𝑥 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ (𝐸‘𝑥)} = ∅))
10		rabeq0 3911	. . . 4 ⊢ ({𝑥 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ (𝐸‘𝑥)} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ dom 𝐸 ¬ 𝑈 ∈ (𝐸‘𝑥))
11		ralnex 2975	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ dom 𝐸 ¬ 𝑈 ∈ (𝐸‘𝑥) ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ dom 𝐸 𝑈 ∈ (𝐸‘𝑥))
12		usgrafun 25878	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑉 USGrph 𝐸 → Fun 𝐸)
13	12	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → Fun 𝐸)
14	13	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → Fun 𝐸)
15		elrnrexdm 6271	. . . . . . . . 9 ⊢ (Fun 𝐸 → ({𝑈, 𝑣} ∈ ran 𝐸 → ∃𝑥 ∈ dom 𝐸{𝑈, 𝑣} = (𝐸‘𝑥)))
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ({𝑈, 𝑣} ∈ ran 𝐸 → ∃𝑥 ∈ dom 𝐸{𝑈, 𝑣} = (𝐸‘𝑥)))
17		prid1g 4239	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝑈 ∈ {𝑈, 𝑣})
18		eleq2 2677	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐸‘𝑥) = {𝑈, 𝑣} → (𝑈 ∈ (𝐸‘𝑥) ↔ 𝑈 ∈ {𝑈, 𝑣}))
19	18	eqcoms 2618	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝑈, 𝑣} = (𝐸‘𝑥) → (𝑈 ∈ (𝐸‘𝑥) ↔ 𝑈 ∈ {𝑈, 𝑣}))
20	17, 19	syl5ibrcom 236	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → ({𝑈, 𝑣} = (𝐸‘𝑥) → 𝑈 ∈ (𝐸‘𝑥)))
21	20	ad2antlr 759	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ({𝑈, 𝑣} = (𝐸‘𝑥) → 𝑈 ∈ (𝐸‘𝑥)))
22	21	reximdv 2999	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (∃𝑥 ∈ dom 𝐸{𝑈, 𝑣} = (𝐸‘𝑥) → ∃𝑥 ∈ dom 𝐸 𝑈 ∈ (𝐸‘𝑥)))
23	16, 22	syld 46	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ({𝑈, 𝑣} ∈ ran 𝐸 → ∃𝑥 ∈ dom 𝐸 𝑈 ∈ (𝐸‘𝑥)))
24	23	rexlimdva 3013	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (∃𝑣 ∈ 𝑉 {𝑈, 𝑣} ∈ ran 𝐸 → ∃𝑥 ∈ dom 𝐸 𝑈 ∈ (𝐸‘𝑥)))
25	24	con3d 147	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (¬ ∃𝑥 ∈ dom 𝐸 𝑈 ∈ (𝐸‘𝑥) → ¬ ∃𝑣 ∈ 𝑉 {𝑈, 𝑣} ∈ ran 𝐸))
26	11, 25	syl5bi 231	. . . 4 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (∀𝑥 ∈ dom 𝐸 ¬ 𝑈 ∈ (𝐸‘𝑥) → ¬ ∃𝑣 ∈ 𝑉 {𝑈, 𝑣} ∈ ran 𝐸))
27	10, 26	syl5bi 231	. . 3 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ({𝑥 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ (𝐸‘𝑥)} = ∅ → ¬ ∃𝑣 ∈ 𝑉 {𝑈, 𝑣} ∈ ran 𝐸))
28	9, 27	sylbid 229	. 2 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → ((#‘{𝑥 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑈 ∈ (𝐸‘𝑥)}) = 0 → ¬ ∃𝑣 ∈ 𝑉 {𝑈, 𝑣} ∈ ran 𝐸))
29	2, 28	sylbid 229	1 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝑉) → (((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑈) = 0 → ¬ ∃𝑣 ∈ 𝑉 {𝑈, 𝑣} ∈ ran 𝐸))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  {crab 2900  Vcvv 3173  ∅c0 3874  {cpr 4127   class class class wbr 4583  dom cdm 5038  ran crn 5039  Fun wfun 5798  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  #chash 12979   USGrph cusg 25859   VDeg cvdg 26420

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-xadd 11823  df-fz 12198  df-hash 12980  df-usgra 25862  df-vdgr 26421

This theorem is referenced by:  usgravd00  26446