Theorem tgldimor 25197

Description: Excluded-middle like statement allowing to treat dimension zero as a special case. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgldimor.p	⊢ 𝑃 = (𝐸‘𝐹)
tgldimor.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
tgldimor	⊢ (𝜑 → ((#‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (#‘𝑃)))

Proof of Theorem tgldimor

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgldimor.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (𝐸‘𝐹)
2		fvex 6113	. . . . . 6 ⊢ (𝐸‘𝐹) ∈ V
3	1, 2	eqeltri 2684	. . . . 5 ⊢ 𝑃 ∈ V
4		hashv01gt1 12995	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ V → ((#‘𝑃) = 0 ∨ (#‘𝑃) = 1 ∨ 1 < (#‘𝑃)))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((#‘𝑃) = 0 ∨ (#‘𝑃) = 1 ∨ 1 < (#‘𝑃))
6		3orass 1034	. . . 4 ⊢ (((#‘𝑃) = 0 ∨ (#‘𝑃) = 1 ∨ 1 < (#‘𝑃)) ↔ ((#‘𝑃) = 0 ∨ ((#‘𝑃) = 1 ∨ 1 < (#‘𝑃))))
7	5, 6	mpbi 219	. . 3 ⊢ ((#‘𝑃) = 0 ∨ ((#‘𝑃) = 1 ∨ 1 < (#‘𝑃)))
8		1p1e2 11011	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 1) = 2
9		1z 11284	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℤ
10		nn0z 11277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (#‘𝑃) ∈ ℤ)
11		zltp1le 11304	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ (#‘𝑃) ∈ ℤ) → (1 < (#‘𝑃) ↔ (1 + 1) ≤ (#‘𝑃)))
12	9, 10, 11	sylancr 694	. . . . . . . 8 ⊢ ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 → (1 < (#‘𝑃) ↔ (1 + 1) ≤ (#‘𝑃)))
13	12	biimpac 502	. . . . . . 7 ⊢ ((1 < (#‘𝑃) ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) → (1 + 1) ≤ (#‘𝑃))
14	8, 13	syl5eqbrr 4619	. . . . . 6 ⊢ ((1 < (#‘𝑃) ∧ (#‘𝑃) ∈ ℕ0) → 2 ≤ (#‘𝑃))
15		2re 10967	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
16	15	rexri 9976	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ*
17		pnfge 11840	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∈ ℝ* → 2 ≤ +∞)
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≤ +∞
19		breq2 4587	. . . . . . . 8 ⊢ ((#‘𝑃) = +∞ → (2 ≤ (#‘𝑃) ↔ 2 ≤ +∞))
20	18, 19	mpbiri 247	. . . . . . 7 ⊢ ((#‘𝑃) = +∞ → 2 ≤ (#‘𝑃))
21	20	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((1 < (#‘𝑃) ∧ (#‘𝑃) = +∞) → 2 ≤ (#‘𝑃))
22		hashnn0pnf 12992	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ V → ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∨ (#‘𝑃) = +∞))
23	3, 22	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (1 < (#‘𝑃) → ((#‘𝑃) ∈ ℕ0 ∨ (#‘𝑃) = +∞))
24	14, 21, 23	mpjaodan 823	. . . . 5 ⊢ (1 < (#‘𝑃) → 2 ≤ (#‘𝑃))
25	24	orim2i 539	. . . 4 ⊢ (((#‘𝑃) = 1 ∨ 1 < (#‘𝑃)) → ((#‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (#‘𝑃)))
26	25	orim2i 539	. . 3 ⊢ (((#‘𝑃) = 0 ∨ ((#‘𝑃) = 1 ∨ 1 < (#‘𝑃))) → ((#‘𝑃) = 0 ∨ ((#‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (#‘𝑃))))
27	7, 26	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝜑 → ((#‘𝑃) = 0 ∨ ((#‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (#‘𝑃))))
28		tgldimor.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
29		ne0i 3880	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑃 → 𝑃 ≠ ∅)
30		hasheq0 13015	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ V → ((#‘𝑃) = 0 ↔ 𝑃 = ∅))
31	3, 30	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((#‘𝑃) = 0 ↔ 𝑃 = ∅)
32	31	biimpi 205	. . . . 5 ⊢ ((#‘𝑃) = 0 → 𝑃 = ∅)
33	32	necon3ai 2807	. . . 4 ⊢ (𝑃 ≠ ∅ → ¬ (#‘𝑃) = 0)
34	28, 29, 33	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (#‘𝑃) = 0)
35		biorf 419	. . 3 ⊢ (¬ (#‘𝑃) = 0 → (((#‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (#‘𝑃)) ↔ ((#‘𝑃) = 0 ∨ ((#‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (#‘𝑃)))))
36	34, 35	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (((#‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (#‘𝑃)) ↔ ((#‘𝑃) = 0 ∨ ((#‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (#‘𝑃)))))
37	27, 36	mpbird 246	1 ⊢ (𝜑 → ((#‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (#‘𝑃)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∨ w3o 1030   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  Vcvv 3173  ∅c0 3874   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818  +∞cpnf 9950  ℝ^*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954  2c2 10947  ℕ₀cn0 11169  ℤcz 11254  #chash 12979

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-hash 12980

This theorem is referenced by:  tgifscgr  25203  tgcgrxfr  25213  tgbtwnconn3  25272  legtrid  25286  hpgerlem  25457