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Theorem tgcgrxfr 25213

Description: A line segment can be divided at the same place as a congruent line segment is divided. Theorem 4.5 of [Schwabhauser] p. 35. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Apr-2019.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
tgcgrxfr.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tgcgrxfr.m	⊢ − = (dist‘𝐺)
tgcgrxfr.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tgcgrxfr.r	⊢ ∼ = (cgrG‘𝐺)
tgcgrxfr.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tgcgrxfr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
tgcgrxfr.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
tgcgrxfr.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
tgcgrxfr.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
tgcgrxfr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
tgcgrxfr.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
tgcgrxfr.2	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐹))

**Assertion**
Ref	Expression
tgcgrxfr	⊢ (𝜑 → ∃𝑒 ∈ 𝑃 (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑒 𝐵,𝑒 𝐶,𝑒 𝐷,𝑒 𝑒,𝐹 𝑒,𝐼 𝑃,𝑒 − ,𝑒 ∼ ,𝑒 𝜑,𝑒 Allowed substitution hint: 𝐺(𝑒)

Proof of Theorem tgcgrxfr Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgcgrxfr.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (#‘𝑃) = 1) → 𝐴 ∈ 𝑃)
3		tgcgrxfr.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
4		tgcgrxfr.m	. . . 4 ⊢ − = (dist‘𝐺)
5		tgcgrxfr.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
6		tgcgrxfr.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (#‘𝑃) = 1) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8		tgcgrxfr.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
9	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (#‘𝑃) = 1) → 𝐷 ∈ 𝑃)
10		tgcgrxfr.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
11	10	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (#‘𝑃) = 1) → 𝐹 ∈ 𝑃)
12		simpr 476	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (#‘𝑃) = 1) → (#‘𝑃) = 1)
13	3, 4, 5, 7, 2, 9, 11, 12	tgldim0itv 25199	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (#‘𝑃) = 1) → 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐹))
14		tgcgrxfr.r	. . . 4 ⊢ ∼ = (cgrG‘𝐺)
15		tgcgrxfr.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
16	15	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (#‘𝑃) = 1) → 𝐵 ∈ 𝑃)
17		tgcgrxfr.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
18	17	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (#‘𝑃) = 1) → 𝐶 ∈ 𝑃)
19	3, 4, 5, 7, 2, 16, 9, 12, 2	tgldim0cgr 25200	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (#‘𝑃) = 1) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐴))
20	3, 4, 5, 7, 16, 18, 2, 12, 11	tgldim0cgr 25200	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (#‘𝑃) = 1) → (𝐵 − 𝐶) = (𝐴 − 𝐹))
21	3, 4, 5, 7, 18, 2, 11, 12, 9	tgldim0cgr 25200	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (#‘𝑃) = 1) → (𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷))
22	3, 4, 14, 7, 2, 16, 18, 9, 2, 11, 19, 20, 21	trgcgr 25211	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (#‘𝑃) = 1) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝐷𝐴𝐹”⟩)
23		eleq1 2676	. . . . 5 ⊢ (𝑒 = 𝐴 → (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ↔ 𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐹)))
24		eqidd 2611	. . . . . . 7 ⊢ (𝑒 = 𝐴 → 𝐷 = 𝐷)
25		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑒 = 𝐴 → 𝑒 = 𝐴)
26		eqidd 2611	. . . . . . 7 ⊢ (𝑒 = 𝐴 → 𝐹 = 𝐹)
27	24, 25, 26	s3eqd 13460	. . . . . 6 ⊢ (𝑒 = 𝐴 → ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩ = ⟨“𝐷𝐴𝐹”⟩)
28	27	breq2d 4595	. . . . 5 ⊢ (𝑒 = 𝐴 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩ ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝐷𝐴𝐹”⟩))
29	23, 28	anbi12d 743	. . . 4 ⊢ (𝑒 = 𝐴 → ((𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩) ↔ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝐷𝐴𝐹”⟩)))
30	29	rspcev 3282	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑃 ∧ (𝐴 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝐷𝐴𝐹”⟩)) → ∃𝑒 ∈ 𝑃 (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩))
31	2, 13, 22, 30	syl12anc 1316	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (#‘𝑃) = 1) → ∃𝑒 ∈ 𝑃 (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩))
32	6	ad3antrrr 762	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
33		simplr 788	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) → 𝑔 ∈ 𝑃)
34	8	ad3antrrr 762	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
35	1	ad3antrrr 762	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
36	15	ad3antrrr 762	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
37	3, 4, 5, 32, 33, 34, 35, 36	axtgsegcon 25163	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) → ∃𝑒 ∈ 𝑃 (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵)))
38	6	ad7antr 770	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
39	33	ad2antrr 758	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) → 𝑔 ∈ 𝑃)
40	39	ad2antrr 758	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝑔 ∈ 𝑃)
41	8	ad7antr 770	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝐷 ∈ 𝑃)
42		simplr 788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) → 𝑒 ∈ 𝑃)
43	42	ad2antrr 758	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝑒 ∈ 𝑃)
44		simplr 788	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝑓 ∈ 𝑃)
45		simpllr 795	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵)))
46	45	simpld 474	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒))
47		simprl 790	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓))
48	3, 4, 5, 38, 40, 41, 43, 44, 46, 47	tgbtwnexch3 25189	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝑓))
49	1	ad7antr 770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝐴 ∈ 𝑃)
50	17	ad7antr 770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
51	10	ad7antr 770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝐹 ∈ 𝑃)
52		simp-5r 805	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔))
53	52	simprd 478	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝐷 ≠ 𝑔)
54	53	necomd 2837	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝑔 ≠ 𝐷)
55	3, 4, 5, 38, 40, 41, 43, 44, 46, 47	tgbtwnexch 25193	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑓))
56	52	simpld 474	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔))
57	3, 4, 5, 38, 51, 41, 40, 56	tgbtwncom 25183	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝐹))
58	15	ad7antr 770	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝐵 ∈ 𝑃)
59		tgcgrxfr.1	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
60	59	ad7antr 770	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
61	45	simprd 478	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))
62		simprr 792	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))
63	3, 4, 5, 38, 41, 43, 44, 49, 58, 50, 48, 60, 61, 62	tgcgrextend 25180	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → (𝐷 − 𝑓) = (𝐴 − 𝐶))
64		tgcgrxfr.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐹))
65	64	ad7antr 770	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → (𝐴 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐹))
66	65	eqcomd 2616	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → (𝐷 − 𝐹) = (𝐴 − 𝐶))
67	3, 4, 5, 38, 41, 49, 50, 40, 44, 51, 54, 55, 57, 63, 66	tgsegconeq 25181	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝑓 = 𝐹)
68	67	oveq2d 6565	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → (𝐷𝐼𝑓) = (𝐷𝐼𝐹))
69	48, 68	eleqtrd 2690	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → 𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹))
70	61	eqcomd 2616	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝑒))
71	67	oveq2d 6565	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → (𝑒 − 𝑓) = (𝑒 − 𝐹))
72	62, 71	eqtr3d 2646	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → (𝐵 − 𝐶) = (𝑒 − 𝐹))
73	3, 4, 5, 6, 1, 17, 8, 10, 64	tgcgrcomlr 25175	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷))
74	73	ad7antr 770	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → (𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷))
75	3, 4, 14, 38, 49, 58, 50, 41, 43, 51, 70, 72, 74	trgcgr 25211	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩)
76	69, 75	jca 553	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) ∧ 𝑓 ∈ 𝑃) ∧ (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶))) → (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩))
77	32	ad2antrr 758	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
78	36	ad2antrr 758	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) → 𝐵 ∈ 𝑃)
79	17	ad5antr 766	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) → 𝐶 ∈ 𝑃)
80	3, 4, 5, 77, 39, 42, 78, 79	axtgsegcon 25163	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) → ∃𝑓 ∈ 𝑃 (𝑒 ∈ (𝑔𝐼𝑓) ∧ (𝑒 − 𝑓) = (𝐵 − 𝐶)))
81	76, 80	r19.29a 3060	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵))) → (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩))
82	81	ex 449	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) ∧ 𝑒 ∈ 𝑃) → ((𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵)) → (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩)))
83	82	reximdva 3000	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) → (∃𝑒 ∈ 𝑃 (𝐷 ∈ (𝑔𝐼𝑒) ∧ (𝐷 − 𝑒) = (𝐴 − 𝐵)) → ∃𝑒 ∈ 𝑃 (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩)))
84	37, 83	mpd 15	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑔 ∈ 𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔)) → ∃𝑒 ∈ 𝑃 (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩))
85	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
86	10	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → 𝐹 ∈ 𝑃)
87	8	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
88		simpr 476	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → 2 ≤ (#‘𝑃))
89	3, 4, 5, 85, 86, 87, 88	tgbtwndiff 25201	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ∃𝑔 ∈ 𝑃 (𝐷 ∈ (𝐹𝐼𝑔) ∧ 𝐷 ≠ 𝑔))
90	84, 89	r19.29a 3060	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ∃𝑒 ∈ 𝑃 (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩))
91	3, 1	tgldimor 25197	. 2 ⊢ (𝜑 → ((#‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (#‘𝑃)))
92	31, 90, 91	mpjaodan 823	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑒 ∈ 𝑃 (𝑒 ∈ (𝐷𝐼𝐹) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∼ ⟨“𝐷𝑒𝐹”⟩))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 383 = wceq 1475 ∈ wcel 1977 ≠ wne 2780 ∃wrex 2897 class class class wbr 4583 ‘cfv 5804 (class class class)co 6549 1c1 9816 ≤ cle 9954 2c2 10947 #chash 12979 ⟨“cs3 13438 Basecbs 15695 distcds 15777 TarskiGcstrkg 25129 Itvcitv 25135 cgrGccgrg 25205

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1713 ax-4 1728 ax-5 1827 ax-6 1875 ax-7 1922 ax-8 1979 ax-9 1986 ax-10 2006 ax-11 2021 ax-12 2034 ax-13 2234 ax-ext 2590 ax-rep 4699 ax-sep 4709 ax-nul 4717 ax-pow 4769 ax-pr 4833 ax-un 6847 ax-cnex 9871 ax-resscn 9872 ax-1cn 9873 ax-icn 9874 ax-addcl 9875 ax-addrcl 9876 ax-mulcl 9877 ax-mulrcl 9878 ax-mulcom 9879 ax-addass 9880 ax-mulass 9881 ax-distr 9882 ax-i2m1 9883 ax-1ne0 9884 ax-1rid 9885 ax-rnegex 9886 ax-rrecex 9887 ax-cnre 9888 ax-pre-lttri 9889 ax-pre-lttrn 9890 ax-pre-ltadd 9891 ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions: df-bi 196 df-or 384 df-an 385 df-3or 1032 df-3an 1033 df-tru 1478 df-ex 1696 df-nf 1701 df-sb 1868 df-eu 2462 df-mo 2463 df-clab 2597 df-cleq 2603 df-clel 2606 df-nfc 2740 df-ne 2782 df-nel 2783 df-ral 2901 df-rex 2902 df-reu 2903 df-rmo 2904 df-rab 2905 df-v 3175 df-sbc 3403 df-csb 3500 df-dif 3543 df-un 3545 df-in 3547 df-ss 3554 df-pss 3556 df-nul 3875 df-if 4037 df-pw 4110 df-sn 4126 df-pr 4128 df-tp 4130 df-op 4132 df-uni 4373 df-int 4411 df-iun 4457 df-br 4584 df-opab 4644 df-mpt 4645 df-tr 4681 df-eprel 4949 df-id 4953 df-po 4959 df-so 4960 df-fr 4997 df-we 4999 df-xp 5044 df-rel 5045 df-cnv 5046 df-co 5047 df-dm 5048 df-rn 5049 df-res 5050 df-ima 5051 df-pred 5597 df-ord 5643 df-on 5644 df-lim 5645 df-suc 5646 df-iota 5768 df-fun 5806 df-fn 5807 df-f 5808 df-f1 5809 df-fo 5810 df-f1o 5811 df-fv 5812 df-riota 6511 df-ov 6552 df-oprab 6553 df-mpt2 6554 df-om 6958 df-1st 7059 df-2nd 7060 df-wrecs 7294 df-recs 7355 df-rdg 7393 df-1o 7447 df-oadd 7451 df-er 7629 df-pm 7747 df-en 7842 df-dom 7843 df-sdom 7844 df-fin 7845 df-card 8648 df-cda 8873 df-pnf 9955 df-mnf 9956 df-xr 9957 df-ltxr 9958 df-le 9959 df-sub 10147 df-neg 10148 df-nn 10898 df-2 10956 df-3 10957 df-n0 11170 df-xnn0 11241 df-z 11255 df-uz 11564 df-fz 12198 df-fzo 12335 df-hash 12980 df-word 13154 df-concat 13156 df-s1 13157 df-s2 13444 df-s3 13445 df-trkgc 25147 df-trkgb 25148 df-trkgcb 25149 df-trkg 25152 df-cgrg 25206

This theorem is referenced by: tgbtwnxfr 25225 lnext 25262 midexlem 25387

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