Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  legtrid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem legtrid 25286
 Description: Trichotomy law for the less-than relationship. Proposition 5.10 of [Schwabhauser] p. 42. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
legval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
legval.d = (dist‘𝐺)
legval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
legval.l = (≤G‘𝐺)
legval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
legid.a (𝜑𝐴𝑃)
legid.b (𝜑𝐵𝑃)
legtrd.c (𝜑𝐶𝑃)
legtrd.d (𝜑𝐷𝑃)
Assertion
Ref Expression
legtrid (𝜑 → ((𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷) ∨ (𝐶 𝐷) (𝐴 𝐵)))

Proof of Theorem legtrid
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 legval.p . . . . 5 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 legval.d . . . . 5 = (dist‘𝐺)
3 legval.i . . . . 5 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 legval.l . . . . 5 = (≤G‘𝐺)
5 legval.g . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
65adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (#‘𝑃) = 1) → 𝐺 ∈ TarskiG)
7 legid.a . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑃)
87adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (#‘𝑃) = 1) → 𝐴𝑃)
9 legid.b . . . . . 6 (𝜑𝐵𝑃)
109adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (#‘𝑃) = 1) → 𝐵𝑃)
111, 2, 3, 4, 6, 8, 10legid 25282 . . . 4 ((𝜑 ∧ (#‘𝑃) = 1) → (𝐴 𝐵) (𝐴 𝐵))
12 legtrd.c . . . . . 6 (𝜑𝐶𝑃)
1312adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (#‘𝑃) = 1) → 𝐶𝑃)
14 simpr 476 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (#‘𝑃) = 1) → (#‘𝑃) = 1)
15 legtrd.d . . . . . 6 (𝜑𝐷𝑃)
1615adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (#‘𝑃) = 1) → 𝐷𝑃)
171, 2, 3, 6, 8, 10, 13, 14, 16tgldim0cgr 25200 . . . 4 ((𝜑 ∧ (#‘𝑃) = 1) → (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷))
1811, 17breqtrd 4609 . . 3 ((𝜑 ∧ (#‘𝑃) = 1) → (𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷))
1918orcd 406 . 2 ((𝜑 ∧ (#‘𝑃) = 1) → ((𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷) ∨ (𝐶 𝐷) (𝐴 𝐵)))
205ad3antrrr 762 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴𝑥)) ∧ (𝑦𝑃 ∧ (𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷)))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
21 simplr 788 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴𝑥)) → 𝑥𝑃)
2221adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴𝑥)) ∧ (𝑦𝑃 ∧ (𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷)))) → 𝑥𝑃)
237ad3antrrr 762 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴𝑥)) ∧ (𝑦𝑃 ∧ (𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷)))) → 𝐴𝑃)
249ad3antrrr 762 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴𝑥)) ∧ (𝑦𝑃 ∧ (𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷)))) → 𝐵𝑃)
25 simprl 790 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴𝑥)) ∧ (𝑦𝑃 ∧ (𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷)))) → 𝑦𝑃)
26 simplrr 797 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴𝑥)) ∧ (𝑦𝑃 ∧ (𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷)))) → 𝐴𝑥)
2726necomd 2837 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴𝑥)) ∧ (𝑦𝑃 ∧ (𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷)))) → 𝑥𝐴)
28 simplrl 796 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴𝑥)) ∧ (𝑦𝑃 ∧ (𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷)))) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥))
291, 2, 3, 20, 24, 23, 22, 28tgbtwncom 25183 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴𝑥)) ∧ (𝑦𝑃 ∧ (𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷)))) → 𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝐵))
30 simprrl 800 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴𝑥)) ∧ (𝑦𝑃 ∧ (𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷)))) → 𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑦))
311, 3, 20, 22, 23, 24, 25, 27, 29, 30tgbtwnconn2 25271 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴𝑥)) ∧ (𝑦𝑃 ∧ (𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷)))) → (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)))
32 simprrr 801 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴𝑥)) ∧ (𝑦𝑃 ∧ (𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷)))) → (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷))
3331, 32jca 553 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴𝑥)) ∧ (𝑦𝑃 ∧ (𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷)))) → ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷)))
345ad2antrr 758 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴𝑥)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
357ad2antrr 758 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴𝑥)) → 𝐴𝑃)
3612ad2antrr 758 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴𝑥)) → 𝐶𝑃)
3715ad2antrr 758 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴𝑥)) → 𝐷𝑃)
381, 2, 3, 34, 21, 35, 36, 37axtgsegcon 25163 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴𝑥)) → ∃𝑦𝑃 (𝐴 ∈ (𝑥𝐼𝑦) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷)))
3933, 38reximddv 3001 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴𝑥)) → ∃𝑦𝑃 ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷)))
4039adantllr 751 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) ∧ 𝑥𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴𝑥)) → ∃𝑦𝑃 ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷)))
415adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
429adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → 𝐵𝑃)
437adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → 𝐴𝑃)
44 simpr 476 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → 2 ≤ (#‘𝑃))
451, 2, 3, 41, 42, 43, 44tgbtwndiff 25201 . . . . 5 ((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ∃𝑥𝑃 (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑥) ∧ 𝐴𝑥))
4640, 45r19.29a 3060 . . . 4 ((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ∃𝑦𝑃 ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷)))
47 andir 908 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷)) ↔ ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷)) ∨ (𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷))))
48 eqcom 2617 . . . . . . . . 9 ((𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷) ↔ (𝐶 𝐷) = (𝐴 𝑦))
4948anbi2i 726 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷)) ↔ (𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐴 𝑦)))
5049orbi2i 540 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷)) ∨ (𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷))) ↔ ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷)) ∨ (𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐴 𝑦))))
5147, 50bitri 263 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷)) ↔ ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷)) ∨ (𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐴 𝑦))))
5251rexbii 3023 . . . . 5 (∃𝑦𝑃 ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷)) ↔ ∃𝑦𝑃 ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷)) ∨ (𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐴 𝑦))))
53 r19.43 3074 . . . . 5 (∃𝑦𝑃 ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷)) ∨ (𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐴 𝑦))) ↔ (∃𝑦𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷)) ∨ ∃𝑦𝑃 (𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐴 𝑦))))
5452, 53bitri 263 . . . 4 (∃𝑦𝑃 ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∨ 𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵)) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷)) ↔ (∃𝑦𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷)) ∨ ∃𝑦𝑃 (𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐴 𝑦))))
5546, 54sylib 207 . . 3 ((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (∃𝑦𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷)) ∨ ∃𝑦𝑃 (𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐴 𝑦))))
561, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 15legov2 25281 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷) ↔ ∃𝑦𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷))))
571, 2, 3, 4, 5, 12, 15, 7, 9legov 25280 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐶 𝐷) (𝐴 𝐵) ↔ ∃𝑦𝑃 (𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐴 𝑦))))
5856, 57orbi12d 742 . . . 4 (𝜑 → (((𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷) ∨ (𝐶 𝐷) (𝐴 𝐵)) ↔ (∃𝑦𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷)) ∨ ∃𝑦𝑃 (𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐴 𝑦)))))
5958adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → (((𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷) ∨ (𝐶 𝐷) (𝐴 𝐵)) ↔ (∃𝑦𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑦) ∧ (𝐴 𝑦) = (𝐶 𝐷)) ∨ ∃𝑦𝑃 (𝑦 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ (𝐶 𝐷) = (𝐴 𝑦)))))
6055, 59mpbird 246 . 2 ((𝜑 ∧ 2 ≤ (#‘𝑃)) → ((𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷) ∨ (𝐶 𝐷) (𝐴 𝐵)))
611, 7tgldimor 25197 . 2 (𝜑 → ((#‘𝑃) = 1 ∨ 2 ≤ (#‘𝑃)))
6219, 60, 61mpjaodan 823 1 (𝜑 → ((𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷) ∨ (𝐶 𝐷) (𝐴 𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∃wrex 2897   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  1c1 9816   ≤ cle 9954  2c2 10947  #chash 12979  Basecbs 15695  distcds 15777  TarskiGcstrkg 25129  Itvcitv 25135  ≤Gcleg 25277 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-concat 13156  df-s1 13157  df-s2 13444  df-s3 13445  df-trkgc 25147  df-trkgb 25148  df-trkgcb 25149  df-trkg 25152  df-cgrg 25206  df-leg 25278 This theorem is referenced by:  legso  25294  krippen  25386  midex  25429  opphllem5  25443  opphllem6  25444
 Copyright terms: Public domain W3C validator