Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  legtri3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem legtri3 25285
 Description: Equality from the less-than relationship. Proposition 5.9 of [Schwabhauser] p. 42. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
legval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
legval.d = (dist‘𝐺)
legval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
legval.l = (≤G‘𝐺)
legval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
legid.a (𝜑𝐴𝑃)
legid.b (𝜑𝐵𝑃)
legtrd.c (𝜑𝐶𝑃)
legtrd.d (𝜑𝐷𝑃)
legtri3.1 (𝜑 → (𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷))
legtri3.2 (𝜑 → (𝐶 𝐷) (𝐴 𝐵))
Assertion
Ref Expression
legtri3 (𝜑 → (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷))

Proof of Theorem legtri3
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpllr 795 . . . . 5 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 𝑦) = (𝐴 𝐵))) → (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥)))
21simprd 478 . . . 4 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 𝑦) = (𝐴 𝐵))) → (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))
3 legval.p . . . . . 6 𝑃 = (Base‘𝐺)
4 legval.d . . . . . 6 = (dist‘𝐺)
5 legval.i . . . . . 6 𝐼 = (Itv‘𝐺)
6 legval.g . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
76ad4antr 764 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 𝑦) = (𝐴 𝐵))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
8 simp-4r 803 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 𝑦) = (𝐴 𝐵))) → 𝑥𝑃)
9 legtrd.d . . . . . . 7 (𝜑𝐷𝑃)
109ad4antr 764 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 𝑦) = (𝐴 𝐵))) → 𝐷𝑃)
11 legtrd.c . . . . . . 7 (𝜑𝐶𝑃)
1211ad4antr 764 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 𝑦) = (𝐴 𝐵))) → 𝐶𝑃)
131simpld 474 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 𝑦) = (𝐴 𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷))
143, 4, 5, 7, 12, 8, 10, 13tgbtwncom 25183 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 𝑦) = (𝐴 𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐷𝐼𝐶))
15 simpr 476 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 𝑦) = (𝐴 𝐵))) → (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 𝑦) = (𝐴 𝐵)))
1615simpld 474 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 𝑦) = (𝐴 𝐵))) → 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦))
17 simplr 788 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 𝑦) = (𝐴 𝐵))) → 𝑦𝑃)
18 legid.b . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵𝑃)
1918ad4antr 764 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 𝑦) = (𝐴 𝐵))) → 𝐵𝑃)
20 legid.a . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴𝑃)
2120ad4antr 764 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 𝑦) = (𝐴 𝐵))) → 𝐴𝑃)
223, 4, 5, 7, 12, 10, 17, 16tgbtwncom 25183 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 𝑦) = (𝐴 𝐵))) → 𝐷 ∈ (𝑦𝐼𝐶))
233, 4, 5, 7, 17, 10, 8, 12, 22, 14tgbtwnexch2 25191 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 𝑦) = (𝐴 𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝑦𝐼𝐶))
243, 4, 5, 7, 19, 21tgbtwntriv1 25186 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 𝑦) = (𝐴 𝐵))) → 𝐵 ∈ (𝐵𝐼𝐴))
2515simprd 478 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 𝑦) = (𝐴 𝐵))) → (𝐶 𝑦) = (𝐴 𝐵))
263, 4, 5, 7, 12, 17, 21, 19, 25tgcgrcomlr 25175 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 𝑦) = (𝐴 𝐵))) → (𝑦 𝐶) = (𝐵 𝐴))
272eqcomd 2616 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 𝑦) = (𝐴 𝐵))) → (𝐶 𝑥) = (𝐴 𝐵))
283, 4, 5, 7, 12, 8, 21, 19, 27tgcgrcomlr 25175 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 𝑦) = (𝐴 𝐵))) → (𝑥 𝐶) = (𝐵 𝐴))
293, 4, 5, 7, 17, 8, 12, 19, 19, 21, 23, 24, 26, 28tgcgrsub 25204 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 𝑦) = (𝐴 𝐵))) → (𝑦 𝑥) = (𝐵 𝐵))
303, 4, 5, 7, 17, 8, 19, 29axtgcgrid 25162 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 𝑦) = (𝐴 𝐵))) → 𝑦 = 𝑥)
3130oveq2d 6565 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 𝑦) = (𝐴 𝐵))) → (𝐶𝐼𝑦) = (𝐶𝐼𝑥))
3216, 31eleqtrd 2690 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 𝑦) = (𝐴 𝐵))) → 𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑥))
333, 4, 5, 7, 12, 10, 8, 32tgbtwncom 25183 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 𝑦) = (𝐴 𝐵))) → 𝐷 ∈ (𝑥𝐼𝐶))
343, 4, 5, 7, 8, 10, 12, 14, 33tgbtwnswapid 25187 . . . . 5 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 𝑦) = (𝐴 𝐵))) → 𝑥 = 𝐷)
3534oveq2d 6565 . . . 4 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 𝑦) = (𝐴 𝐵))) → (𝐶 𝑥) = (𝐶 𝐷))
362, 35eqtrd 2644 . . 3 (((((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) ∧ 𝑦𝑃) ∧ (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 𝑦) = (𝐴 𝐵))) → (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷))
37 legtri3.2 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 𝐷) (𝐴 𝐵))
38 legval.l . . . . . 6 = (≤G‘𝐺)
393, 4, 5, 38, 6, 11, 9, 20, 18legov2 25281 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐶 𝐷) (𝐴 𝐵) ↔ ∃𝑦𝑃 (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 𝑦) = (𝐴 𝐵))))
4037, 39mpbid 221 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑦𝑃 (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 𝑦) = (𝐴 𝐵)))
4140ad2antrr 758 . . 3 (((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) → ∃𝑦𝑃 (𝐷 ∈ (𝐶𝐼𝑦) ∧ (𝐶 𝑦) = (𝐴 𝐵)))
4236, 41r19.29a 3060 . 2 (((𝜑𝑥𝑃) ∧ (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))) → (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷))
43 legtri3.1 . . 3 (𝜑 → (𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷))
443, 4, 5, 38, 6, 20, 18, 11, 9legov 25280 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 𝐵) (𝐶 𝐷) ↔ ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥))))
4543, 44mpbid 221 . 2 (𝜑 → ∃𝑥𝑃 (𝑥 ∈ (𝐶𝐼𝐷) ∧ (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝑥)))
4642, 45r19.29a 3060 1 (𝜑 → (𝐴 𝐵) = (𝐶 𝐷))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∃wrex 2897   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  distcds 15777  TarskiGcstrkg 25129  Itvcitv 25135  ≤Gcleg 25277 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-concat 13156  df-s1 13157  df-s2 13444  df-s3 13445  df-trkgc 25147  df-trkgb 25148  df-trkgcb 25149  df-trkg 25152  df-cgrg 25206  df-leg 25278 This theorem is referenced by:  legeq  25288  legbtwn  25289  legso  25294
 Copyright terms: Public domain W3C validator