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Theorem legtri3 23720
Description: Equality from the less-than relationship. Proposition 5.9 of [Schwabhauser] p. 42. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
legval.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
legval.d  |-  .-  =  ( dist `  G )
legval.i  |-  I  =  (Itv `  G )
legval.l  |-  .<_  =  (≤G `  G )
legval.g  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
legid.a  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
legid.b  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
legtrd.c  |-  ( ph  ->  C  e.  P )
legtrd.d  |-  ( ph  ->  D  e.  P )
legtri3.1  |-  ( ph  ->  ( A  .-  B
)  .<_  ( C  .-  D ) )
legtri3.2  |-  ( ph  ->  ( C  .-  D
)  .<_  ( A  .-  B ) )
Assertion
Ref Expression
legtri3  |-  ( ph  ->  ( A  .-  B
)  =  ( C 
.-  D ) )

Proof of Theorem legtri3
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpllr 758 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( x  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  x
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  ( D  e.  ( C I y )  /\  ( C  .-  y )  =  ( A  .-  B ) ) )  ->  (
x  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  x ) ) )
21simprd 463 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( x  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  x
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  ( D  e.  ( C I y )  /\  ( C  .-  y )  =  ( A  .-  B ) ) )  ->  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  x
) )
3 legval.p . . . . . 6  |-  P  =  ( Base `  G
)
4 legval.d . . . . . 6  |-  .-  =  ( dist `  G )
5 legval.i . . . . . 6  |-  I  =  (Itv `  G )
6 legval.g . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
76ad4antr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( x  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  x
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  ( D  e.  ( C I y )  /\  ( C  .-  y )  =  ( A  .-  B ) ) )  ->  G  e. TarskiG )
8 simp-4r 766 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( x  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  x
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  ( D  e.  ( C I y )  /\  ( C  .-  y )  =  ( A  .-  B ) ) )  ->  x  e.  P )
9 legtrd.d . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  e.  P )
109ad4antr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( x  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  x
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  ( D  e.  ( C I y )  /\  ( C  .-  y )  =  ( A  .-  B ) ) )  ->  D  e.  P )
11 legtrd.c . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  P )
1211ad4antr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( x  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  x
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  ( D  e.  ( C I y )  /\  ( C  .-  y )  =  ( A  .-  B ) ) )  ->  C  e.  P )
131simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( x  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  x
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  ( D  e.  ( C I y )  /\  ( C  .-  y )  =  ( A  .-  B ) ) )  ->  x  e.  ( C I D ) )
143, 4, 5, 7, 12, 8, 10, 13tgbtwncom 23623 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( x  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  x
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  ( D  e.  ( C I y )  /\  ( C  .-  y )  =  ( A  .-  B ) ) )  ->  x  e.  ( D I C ) )
15 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( x  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  x
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  ( D  e.  ( C I y )  /\  ( C  .-  y )  =  ( A  .-  B ) ) )  ->  ( D  e.  ( C I y )  /\  ( C  .-  y )  =  ( A  .-  B ) ) )
1615simpld 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( x  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  x
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  ( D  e.  ( C I y )  /\  ( C  .-  y )  =  ( A  .-  B ) ) )  ->  D  e.  ( C I y ) )
17 simplr 754 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( x  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  x
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  ( D  e.  ( C I y )  /\  ( C  .-  y )  =  ( A  .-  B ) ) )  ->  y  e.  P )
18 legid.b . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
1918ad4antr 731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( x  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  x
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  ( D  e.  ( C I y )  /\  ( C  .-  y )  =  ( A  .-  B ) ) )  ->  B  e.  P )
20 legid.a . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
2120ad4antr 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( x  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  x
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  ( D  e.  ( C I y )  /\  ( C  .-  y )  =  ( A  .-  B ) ) )  ->  A  e.  P )
223, 4, 5, 7, 12, 10, 17, 16tgbtwncom 23623 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( x  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  x
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  ( D  e.  ( C I y )  /\  ( C  .-  y )  =  ( A  .-  B ) ) )  ->  D  e.  ( y I C ) )
233, 4, 5, 7, 17, 10, 8, 12, 22, 14tgbtwnexch2 23631 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( x  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  x
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  ( D  e.  ( C I y )  /\  ( C  .-  y )  =  ( A  .-  B ) ) )  ->  x  e.  ( y I C ) )
243, 4, 5, 7, 19, 21tgbtwntriv1 23626 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( x  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  x
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  ( D  e.  ( C I y )  /\  ( C  .-  y )  =  ( A  .-  B ) ) )  ->  B  e.  ( B I A ) )
2515simprd 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( x  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  x
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  ( D  e.  ( C I y )  /\  ( C  .-  y )  =  ( A  .-  B ) ) )  ->  ( C  .-  y )  =  ( A  .-  B
) )
263, 4, 5, 7, 12, 17, 21, 19, 25tgcgrcomlr 23615 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( x  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  x
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  ( D  e.  ( C I y )  /\  ( C  .-  y )  =  ( A  .-  B ) ) )  ->  (
y  .-  C )  =  ( B  .-  A ) )
272eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( x  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  x
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  ( D  e.  ( C I y )  /\  ( C  .-  y )  =  ( A  .-  B ) ) )  ->  ( C  .-  x )  =  ( A  .-  B
) )
283, 4, 5, 7, 12, 8, 21, 19, 27tgcgrcomlr 23615 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( x  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  x
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  ( D  e.  ( C I y )  /\  ( C  .-  y )  =  ( A  .-  B ) ) )  ->  (
x  .-  C )  =  ( B  .-  A ) )
293, 4, 5, 7, 17, 8, 12, 19, 19, 21, 23, 24, 26, 28tgcgrsub 23645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( x  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  x
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  ( D  e.  ( C I y )  /\  ( C  .-  y )  =  ( A  .-  B ) ) )  ->  (
y  .-  x )  =  ( B  .-  B ) )
303, 4, 5, 7, 17, 8, 19, 29axtgcgrid 23604 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( x  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  x
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  ( D  e.  ( C I y )  /\  ( C  .-  y )  =  ( A  .-  B ) ) )  ->  y  =  x )
3130oveq2d 6299 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( x  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  x
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  ( D  e.  ( C I y )  /\  ( C  .-  y )  =  ( A  .-  B ) ) )  ->  ( C I y )  =  ( C I x ) )
3216, 31eleqtrd 2557 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( x  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  x
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  ( D  e.  ( C I y )  /\  ( C  .-  y )  =  ( A  .-  B ) ) )  ->  D  e.  ( C I x ) )
333, 4, 5, 7, 12, 10, 8, 32tgbtwncom 23623 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( x  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  x
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  ( D  e.  ( C I y )  /\  ( C  .-  y )  =  ( A  .-  B ) ) )  ->  D  e.  ( x I C ) )
343, 4, 5, 7, 8, 10, 12, 14, 33tgbtwnswapid 23627 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( x  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  x
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  ( D  e.  ( C I y )  /\  ( C  .-  y )  =  ( A  .-  B ) ) )  ->  x  =  D )
3534oveq2d 6299 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( x  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  x
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  ( D  e.  ( C I y )  /\  ( C  .-  y )  =  ( A  .-  B ) ) )  ->  ( C  .-  x )  =  ( C  .-  D
) )
362, 35eqtrd 2508 . . 3  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( x  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  x
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  ( D  e.  ( C I y )  /\  ( C  .-  y )  =  ( A  .-  B ) ) )  ->  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  D
) )
37 legtri3.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( C  .-  D
)  .<_  ( A  .-  B ) )
38 legval.l . . . . . 6  |-  .<_  =  (≤G `  G )
393, 4, 5, 38, 6, 11, 9, 20, 18legov2 23716 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( C  .-  D )  .<_  ( A 
.-  B )  <->  E. y  e.  P  ( D  e.  ( C I y )  /\  ( C 
.-  y )  =  ( A  .-  B
) ) ) )
4037, 39mpbid 210 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. y  e.  P  ( D  e.  ( C I y )  /\  ( C  .-  y )  =  ( A  .-  B ) ) )
4140ad2antrr 725 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  x ) ) )  ->  E. y  e.  P  ( D  e.  ( C I y )  /\  ( C  .-  y )  =  ( A  .-  B ) ) )
4236, 41r19.29a 3003 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  x ) ) )  ->  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  D ) )
43 legtri3.1 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  .-  B
)  .<_  ( C  .-  D ) )
443, 4, 5, 38, 6, 20, 18, 11, 9legov 23715 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  .-  B )  .<_  ( C 
.-  D )  <->  E. x  e.  P  ( x  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  x
) ) ) )
4543, 44mpbid 210 . 2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  P  ( x  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  x ) ) )
4642, 45r19.29a 3003 1  |-  ( ph  ->  ( A  .-  B
)  =  ( C 
.-  D ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   E.wrex 2815   class class class wbr 4447   ` cfv 5587  (class class class)co 6283   Basecbs 14489   distcds 14563  TarskiGcstrkg 23569  Itvcitv 23576  ≤Gcleg 23712
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-pm 7423  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-card 8319  df-cda 8547  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-nn 10536  df-2 10593  df-3 10594  df-n0 10795  df-z 10864  df-uz 11082  df-fz 11672  df-fzo 11792  df-hash 12373  df-word 12507  df-concat 12509  df-s1 12510  df-s2 12775  df-s3 12776  df-trkgc 23588  df-trkgb 23589  df-trkgcb 23590  df-trkg 23594  df-cgrg 23647  df-leg 23713
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