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Theorem legtri3 23019
Description: Equality from the less-than relationship. Proposition 5.9 of [Schwabhauser] p. 42. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
legval.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
legval.d  |-  .-  =  ( dist `  G )
legval.i  |-  I  =  (Itv `  G )
legval.l  |-  .<_  =  (≤G `  G )
legval.g  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
legid.a  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
legid.b  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
legtrd.c  |-  ( ph  ->  C  e.  P )
legtrd.d  |-  ( ph  ->  D  e.  P )
legtri3.1  |-  ( ph  ->  ( A  .-  B
)  .<_  ( C  .-  D ) )
legtri3.2  |-  ( ph  ->  ( C  .-  D
)  .<_  ( A  .-  B ) )
Assertion
Ref Expression
legtri3  |-  ( ph  ->  ( A  .-  B
)  =  ( C 
.-  D ) )

Proof of Theorem legtri3
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpllr 758 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( x  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  x
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  ( D  e.  ( C I y )  /\  ( C  .-  y )  =  ( A  .-  B ) ) )  ->  (
x  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  x ) ) )
21simprd 463 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( x  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  x
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  ( D  e.  ( C I y )  /\  ( C  .-  y )  =  ( A  .-  B ) ) )  ->  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  x
) )
3 legval.p . . . . . 6  |-  P  =  ( Base `  G
)
4 legval.d . . . . . 6  |-  .-  =  ( dist `  G )
5 legval.i . . . . . 6  |-  I  =  (Itv `  G )
6 legval.g . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
76ad4antr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( x  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  x
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  ( D  e.  ( C I y )  /\  ( C  .-  y )  =  ( A  .-  B ) ) )  ->  G  e. TarskiG )
8 simp-4r 766 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( x  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  x
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  ( D  e.  ( C I y )  /\  ( C  .-  y )  =  ( A  .-  B ) ) )  ->  x  e.  P )
9 legtrd.d . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  e.  P )
109ad4antr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( x  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  x
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  ( D  e.  ( C I y )  /\  ( C  .-  y )  =  ( A  .-  B ) ) )  ->  D  e.  P )
11 legtrd.c . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  P )
1211ad4antr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( x  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  x
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  ( D  e.  ( C I y )  /\  ( C  .-  y )  =  ( A  .-  B ) ) )  ->  C  e.  P )
131simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( x  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  x
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  ( D  e.  ( C I y )  /\  ( C  .-  y )  =  ( A  .-  B ) ) )  ->  x  e.  ( C I D ) )
143, 4, 5, 7, 12, 8, 10, 13tgbtwncom 22940 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( x  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  x
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  ( D  e.  ( C I y )  /\  ( C  .-  y )  =  ( A  .-  B ) ) )  ->  x  e.  ( D I C ) )
15 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( x  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  x
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  ( D  e.  ( C I y )  /\  ( C  .-  y )  =  ( A  .-  B ) ) )  ->  ( D  e.  ( C I y )  /\  ( C  .-  y )  =  ( A  .-  B ) ) )
1615simpld 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( x  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  x
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  ( D  e.  ( C I y )  /\  ( C  .-  y )  =  ( A  .-  B ) ) )  ->  D  e.  ( C I y ) )
17 simplr 754 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( x  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  x
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  ( D  e.  ( C I y )  /\  ( C  .-  y )  =  ( A  .-  B ) ) )  ->  y  e.  P )
18 legid.b . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
1918ad4antr 731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( x  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  x
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  ( D  e.  ( C I y )  /\  ( C  .-  y )  =  ( A  .-  B ) ) )  ->  B  e.  P )
20 legid.a . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
2120ad4antr 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( x  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  x
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  ( D  e.  ( C I y )  /\  ( C  .-  y )  =  ( A  .-  B ) ) )  ->  A  e.  P )
223, 4, 5, 7, 12, 10, 17, 16tgbtwncom 22940 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( x  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  x
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  ( D  e.  ( C I y )  /\  ( C  .-  y )  =  ( A  .-  B ) ) )  ->  D  e.  ( y I C ) )
233, 4, 5, 7, 17, 10, 8, 12, 22, 14tgbtwnexch2 22947 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( x  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  x
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  ( D  e.  ( C I y )  /\  ( C  .-  y )  =  ( A  .-  B ) ) )  ->  x  e.  ( y I C ) )
243, 4, 5, 7, 19, 21tgbtwntriv1 22942 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( x  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  x
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  ( D  e.  ( C I y )  /\  ( C  .-  y )  =  ( A  .-  B ) ) )  ->  B  e.  ( B I A ) )
2515simprd 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( x  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  x
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  ( D  e.  ( C I y )  /\  ( C  .-  y )  =  ( A  .-  B ) ) )  ->  ( C  .-  y )  =  ( A  .-  B
) )
263, 4, 5, 7, 12, 17, 21, 19, 25tgcgrcomlr 22932 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( x  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  x
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  ( D  e.  ( C I y )  /\  ( C  .-  y )  =  ( A  .-  B ) ) )  ->  (
y  .-  C )  =  ( B  .-  A ) )
272eqcomd 2446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( x  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  x
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  ( D  e.  ( C I y )  /\  ( C  .-  y )  =  ( A  .-  B ) ) )  ->  ( C  .-  x )  =  ( A  .-  B
) )
283, 4, 5, 7, 12, 8, 21, 19, 27tgcgrcomlr 22932 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( x  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  x
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  ( D  e.  ( C I y )  /\  ( C  .-  y )  =  ( A  .-  B ) ) )  ->  (
x  .-  C )  =  ( B  .-  A ) )
293, 4, 5, 7, 17, 8, 12, 19, 19, 21, 23, 24, 26, 28tgcgrsub 22960 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( x  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  x
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  ( D  e.  ( C I y )  /\  ( C  .-  y )  =  ( A  .-  B ) ) )  ->  (
y  .-  x )  =  ( B  .-  B ) )
303, 4, 5, 7, 17, 8, 19, 29axtgcgrid 22922 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( x  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  x
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  ( D  e.  ( C I y )  /\  ( C  .-  y )  =  ( A  .-  B ) ) )  ->  y  =  x )
3130oveq2d 6105 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( x  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  x
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  ( D  e.  ( C I y )  /\  ( C  .-  y )  =  ( A  .-  B ) ) )  ->  ( C I y )  =  ( C I x ) )
3216, 31eleqtrd 2517 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( x  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  x
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  ( D  e.  ( C I y )  /\  ( C  .-  y )  =  ( A  .-  B ) ) )  ->  D  e.  ( C I x ) )
333, 4, 5, 7, 12, 10, 8, 32tgbtwncom 22940 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( x  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  x
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  ( D  e.  ( C I y )  /\  ( C  .-  y )  =  ( A  .-  B ) ) )  ->  D  e.  ( x I C ) )
343, 4, 5, 7, 8, 10, 12, 14, 33tgbtwnswapid 22943 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( x  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  x
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  ( D  e.  ( C I y )  /\  ( C  .-  y )  =  ( A  .-  B ) ) )  ->  x  =  D )
3534oveq2d 6105 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( x  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  x
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  ( D  e.  ( C I y )  /\  ( C  .-  y )  =  ( A  .-  B ) ) )  ->  ( C  .-  x )  =  ( C  .-  D
) )
362, 35eqtrd 2473 . . 3  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( x  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  x
) ) )  /\  y  e.  P )  /\  ( D  e.  ( C I y )  /\  ( C  .-  y )  =  ( A  .-  B ) ) )  ->  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  D
) )
37 legtri3.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( C  .-  D
)  .<_  ( A  .-  B ) )
38 legval.l . . . . . 6  |-  .<_  =  (≤G `  G )
393, 4, 5, 38, 6, 11, 9, 20, 18legov2 23015 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( C  .-  D )  .<_  ( A 
.-  B )  <->  E. y  e.  P  ( D  e.  ( C I y )  /\  ( C 
.-  y )  =  ( A  .-  B
) ) ) )
4037, 39mpbid 210 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. y  e.  P  ( D  e.  ( C I y )  /\  ( C  .-  y )  =  ( A  .-  B ) ) )
4140ad2antrr 725 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  x ) ) )  ->  E. y  e.  P  ( D  e.  ( C I y )  /\  ( C  .-  y )  =  ( A  .-  B ) ) )
4236, 41r19.29a 2860 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  (
x  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  x ) ) )  ->  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  D ) )
43 legtri3.1 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  .-  B
)  .<_  ( C  .-  D ) )
443, 4, 5, 38, 6, 20, 18, 11, 9legov 23014 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  .-  B )  .<_  ( C 
.-  D )  <->  E. x  e.  P  ( x  e.  ( C I D )  /\  ( A 
.-  B )  =  ( C  .-  x
) ) ) )
4543, 44mpbid 210 . 2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  P  ( x  e.  ( C I D )  /\  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  x ) ) )
4642, 45r19.29a 2860 1  |-  ( ph  ->  ( A  .-  B
)  =  ( C 
.-  D ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   E.wrex 2714   class class class wbr 4290   ` cfv 5416  (class class class)co 6089   Basecbs 14172   distcds 14245  TarskiGcstrkg 22887  Itvcitv 22895  ≤Gcleg 23011
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-1o 6918  df-oadd 6922  df-er 7099  df-pm 7215  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-fin 7312  df-card 8107  df-cda 8335  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-nn 10321  df-2 10378  df-3 10379  df-n0 10578  df-z 10645  df-uz 10860  df-fz 11436  df-fzo 11547  df-hash 12102  df-word 12227  df-concat 12229  df-s1 12230  df-s2 12473  df-s3 12474  df-trkgc 22907  df-trkgb 22908  df-trkgcb 22909  df-trkg 22914  df-cgrg 22962  df-leg 23012
This theorem is referenced by:  legeq  23022  legbtwn  23023
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