Theorem tgcgrsub 25204

Description: Removing identical parts from the end of a line segment preserves congruence. Theorem 4.3 of [Schwabhauser] p. 35. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgbtwncgr.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tgbtwncgr.m	⊢ − = (dist‘𝐺)
tgbtwncgr.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tgbtwncgr.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tgbtwncgr.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
tgbtwncgr.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
tgbtwncgr.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
tgbtwncgr.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
tgcgrsub.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
tgcgrsub.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
tgcgrsub.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
tgcgrsub.2	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹))
tgcgrsub.3	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐹))
tgcgrsub.4	⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹))

Assertion

Ref	Expression
tgcgrsub	⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐸))

Proof of Theorem tgcgrsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgbtwncgr.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		tgbtwncgr.m	. 2 ⊢ − = (dist‘𝐺)
3		tgbtwncgr.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		tgbtwncgr.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5		tgbtwncgr.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
6		tgbtwncgr.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
7		tgcgrsub.e	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
8		tgbtwncgr.d	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
9		tgbtwncgr.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
10		tgcgrsub.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
11		tgcgrsub.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝐶))
12		tgcgrsub.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐷𝐼𝐹))
13		tgcgrsub.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐶) = (𝐷 − 𝐹))
14		tgcgrsub.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐶) = (𝐸 − 𝐹))
15	1, 2, 3, 4, 6, 8	tgcgrtriv 25179	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐴) = (𝐷 − 𝐷))
16	1, 2, 3, 4, 6, 9, 8, 10, 13	tgcgrcomlr 25175	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 − 𝐴) = (𝐹 − 𝐷))
17	1, 2, 3, 4, 6, 5, 9, 6, 8, 7, 10, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 16	tgifscgr 25203	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) = (𝐸 − 𝐷))
18	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 17	tgcgrcomlr 25175	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − 𝐵) = (𝐷 − 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  distcds 15777  TarskiGcstrkg 25129  Itvcitv 25135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-hash 12980  df-trkgc 25147  df-trkgb 25148  df-trkgcb 25149  df-trkg 25152

This theorem is referenced by:  legtri3  25285  legbtwn  25289  tgcgrsub2  25290  colmid  25383