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Theorem midex 25429
 Description: Existence of the midpoint, part Theorem 8.22 of [Schwabhauser] p. 64. Note that this proof requires a construction in 2 dimensions or more, i.e. it does not prove the existence of a midpoint in dimension 1, for a geometry restricted to a line. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
colperpex.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
colperpex.d = (dist‘𝐺)
colperpex.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
colperpex.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
colperpex.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
mideu.s 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
mideu.1 (𝜑𝐴𝑃)
mideu.2 (𝜑𝐵𝑃)
mideu.3 (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
Assertion
Ref Expression
midex (𝜑 → ∃𝑥𝑃 𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼   𝑥,𝐿   𝑥,𝑃   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥

Proof of Theorem midex
Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mideu.1 . . . 4 (𝜑𝐴𝑃)
21adantr 480 . . 3 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → 𝐴𝑃)
3 colperpex.p . . . . 5 𝑃 = (Base‘𝐺)
4 colperpex.d . . . . 5 = (dist‘𝐺)
5 colperpex.i . . . . 5 𝐼 = (Itv‘𝐺)
6 colperpex.l . . . . 5 𝐿 = (LineG‘𝐺)
7 mideu.s . . . . 5 𝑆 = (pInvG‘𝐺)
8 colperpex.g . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
98adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
10 eqid 2610 . . . . 5 (𝑆𝐴) = (𝑆𝐴)
113, 4, 5, 6, 7, 9, 2, 10mircinv 25363 . . . 4 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → ((𝑆𝐴)‘𝐴) = 𝐴)
12 simpr 476 . . . 4 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
1311, 12eqtr2d 2645 . . 3 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → 𝐵 = ((𝑆𝐴)‘𝐴))
14 fveq2 6103 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (𝑆𝑥) = (𝑆𝐴))
1514fveq1d 6105 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑆𝑥)‘𝐴) = ((𝑆𝐴)‘𝐴))
1615eqeq2d 2620 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴) ↔ 𝐵 = ((𝑆𝐴)‘𝐴)))
1716rspcev 3282 . . 3 ((𝐴𝑃𝐵 = ((𝑆𝐴)‘𝐴)) → ∃𝑥𝑃 𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴))
182, 13, 17syl2anc 691 . 2 ((𝜑𝐴 = 𝐵) → ∃𝑥𝑃 𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴))
198adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
2019ad2antrr 758 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
2120ad4antr 764 . . . . . 6 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
221adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐴𝑃)
2322ad2antrr 758 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → 𝐴𝑃)
2423ad4antr 764 . . . . . 6 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → 𝐴𝑃)
25 mideu.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵𝑃)
2625adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐵𝑃)
2726ad2antrr 758 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → 𝐵𝑃)
2827ad4antr 764 . . . . . 6 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → 𝐵𝑃)
29 simpr 476 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
3029ad2antrr 758 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → 𝐴𝐵)
3130ad4antr 764 . . . . . 6 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → 𝐴𝐵)
32 simplr 788 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → 𝑞𝑃)
3332ad4antr 764 . . . . . 6 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → 𝑞𝑃)
34 simp-4r 803 . . . . . 6 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → 𝑝𝑃)
35 simpllr 795 . . . . . 6 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → 𝑡𝑃)
36 simp-5r 805 . . . . . . . . 9 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵))
376, 21, 36perpln1 25405 . . . . . . . 8 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → (𝐵𝐿𝑞) ∈ ran 𝐿)
383, 5, 6, 21, 24, 28, 31tgelrnln 25325 . . . . . . . 8 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → (𝐴𝐿𝐵) ∈ ran 𝐿)
393, 4, 5, 6, 21, 37, 38, 36perpcom 25408 . . . . . . 7 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → (𝐴𝐿𝐵)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝑞))
403, 5, 6, 21, 28, 33, 37tglnne 25323 . . . . . . . 8 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → 𝐵𝑞)
413, 5, 6, 21, 28, 33, 40tglinecom 25330 . . . . . . 7 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → (𝐵𝐿𝑞) = (𝑞𝐿𝐵))
4239, 41breqtrd 4609 . . . . . 6 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → (𝐴𝐿𝐵)(⟂G‘𝐺)(𝑞𝐿𝐵))
43 simplr 788 . . . . . . . . 9 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝))))
4443simpld 474 . . . . . . . 8 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵))
456, 21, 44perpln1 25405 . . . . . . 7 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → (𝐴𝐿𝑝) ∈ ran 𝐿)
463, 4, 5, 6, 21, 45, 38, 44perpcom 25408 . . . . . 6 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → (𝐴𝐿𝐵)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝑝))
4731neneqd 2787 . . . . . . 7 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → ¬ 𝐴 = 𝐵)
4843simprd 478 . . . . . . . . . 10 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))
4948simpld 474 . . . . . . . . 9 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → (𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
5049orcomd 402 . . . . . . . 8 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → (𝐴 = 𝐵𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
5150ord 391 . . . . . . 7 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → (¬ 𝐴 = 𝐵𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
5247, 51mpd 15 . . . . . 6 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → 𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
5348simprd 478 . . . . . 6 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝))
54 simpr 476 . . . . . 6 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞))
553, 4, 5, 6, 21, 7, 24, 28, 31, 33, 34, 35, 42, 46, 52, 53, 54mideulem 25428 . . . . 5 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞)) → ∃𝑥𝑃 𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴))
5620ad4antr 764 . . . . . . . . 9 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
5756adantr 480 . . . . . . . 8 (((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) ∧ (𝑥𝑃𝐴 = ((𝑆𝑥)‘𝐵))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
58 simprl 790 . . . . . . . 8 (((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) ∧ (𝑥𝑃𝐴 = ((𝑆𝑥)‘𝐵))) → 𝑥𝑃)
59 eqid 2610 . . . . . . . 8 (𝑆𝑥) = (𝑆𝑥)
6027ad4antr 764 . . . . . . . . 9 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → 𝐵𝑃)
6160adantr 480 . . . . . . . 8 (((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) ∧ (𝑥𝑃𝐴 = ((𝑆𝑥)‘𝐵))) → 𝐵𝑃)
62 simprr 792 . . . . . . . . 9 (((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) ∧ (𝑥𝑃𝐴 = ((𝑆𝑥)‘𝐵))) → 𝐴 = ((𝑆𝑥)‘𝐵))
6362eqcomd 2616 . . . . . . . 8 (((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) ∧ (𝑥𝑃𝐴 = ((𝑆𝑥)‘𝐵))) → ((𝑆𝑥)‘𝐵) = 𝐴)
643, 4, 5, 6, 7, 57, 58, 59, 61, 63mircom 25358 . . . . . . 7 (((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) ∧ (𝑥𝑃𝐴 = ((𝑆𝑥)‘𝐵))) → ((𝑆𝑥)‘𝐴) = 𝐵)
6564eqcomd 2616 . . . . . 6 (((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) ∧ (𝑥𝑃𝐴 = ((𝑆𝑥)‘𝐵))) → 𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴))
6623ad4antr 764 . . . . . . 7 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → 𝐴𝑃)
6730ad4antr 764 . . . . . . . 8 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → 𝐴𝐵)
6867necomd 2837 . . . . . . 7 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → 𝐵𝐴)
69 simp-4r 803 . . . . . . 7 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → 𝑝𝑃)
7032ad4antr 764 . . . . . . 7 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → 𝑞𝑃)
71 simpllr 795 . . . . . . 7 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → 𝑡𝑃)
72 simplr 788 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝))))
7372simpld 474 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → (𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵))
746, 56, 73perpln1 25405 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → (𝐴𝐿𝑝) ∈ ran 𝐿)
753, 5, 6, 56, 66, 69, 74tglnne 25323 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → 𝐴𝑝)
763, 5, 6, 56, 66, 69, 75tglinecom 25330 . . . . . . . . . 10 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → (𝐴𝐿𝑝) = (𝑝𝐿𝐴))
7776eqcomd 2616 . . . . . . . . 9 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → (𝑝𝐿𝐴) = (𝐴𝐿𝑝))
7877, 74eqeltrd 2688 . . . . . . . 8 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → (𝑝𝐿𝐴) ∈ ran 𝐿)
793, 5, 6, 56, 60, 66, 68tgelrnln 25325 . . . . . . . 8 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → (𝐵𝐿𝐴) ∈ ran 𝐿)
803, 5, 6, 56, 66, 60, 67tglinecom 25330 . . . . . . . . 9 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → (𝐴𝐿𝐵) = (𝐵𝐿𝐴))
8173, 76, 803brtr3d 4614 . . . . . . . 8 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → (𝑝𝐿𝐴)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴))
823, 4, 5, 6, 56, 78, 79, 81perpcom 25408 . . . . . . 7 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → (𝐵𝐿𝐴)(⟂G‘𝐺)(𝑝𝐿𝐴))
83 simp-5r 805 . . . . . . . . 9 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵))
846, 56, 83perpln1 25405 . . . . . . . 8 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → (𝐵𝐿𝑞) ∈ ran 𝐿)
8583, 80breqtrd 4609 . . . . . . . 8 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴))
863, 4, 5, 6, 56, 84, 79, 85perpcom 25408 . . . . . . 7 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → (𝐵𝐿𝐴)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝑞))
8767neneqd 2787 . . . . . . . . 9 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → ¬ 𝐴 = 𝐵)
8872simprd 478 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))
8988simpld 474 . . . . . . . . . . 11 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → (𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵))
9089orcomd 402 . . . . . . . . . 10 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → (𝐴 = 𝐵𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
9190ord 391 . . . . . . . . 9 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → (¬ 𝐴 = 𝐵𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵)))
9287, 91mpd 15 . . . . . . . 8 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → 𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵))
9392, 80eleqtrd 2690 . . . . . . 7 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → 𝑡 ∈ (𝐵𝐿𝐴))
9488simprd 478 . . . . . . . 8 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝))
953, 4, 5, 56, 70, 71, 69, 94tgbtwncom 25183 . . . . . . 7 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → 𝑡 ∈ (𝑝𝐼𝑞))
96 simpr 476 . . . . . . 7 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝))
973, 4, 5, 6, 56, 7, 60, 66, 68, 69, 70, 71, 82, 86, 93, 95, 96mideulem 25428 . . . . . 6 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → ∃𝑥𝑃 𝐴 = ((𝑆𝑥)‘𝐵))
9865, 97reximddv 3001 . . . . 5 ((((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) ∧ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)) → ∃𝑥𝑃 𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴))
99 eqid 2610 . . . . . 6 (≤G‘𝐺) = (≤G‘𝐺)
10020ad3antrrr 762 . . . . . 6 (((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
10123ad3antrrr 762 . . . . . 6 (((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) → 𝐴𝑃)
102 simpllr 795 . . . . . 6 (((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) → 𝑝𝑃)
10327ad3antrrr 762 . . . . . 6 (((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) → 𝐵𝑃)
10432ad3antrrr 762 . . . . . 6 (((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) → 𝑞𝑃)
1053, 4, 5, 99, 100, 101, 102, 103, 104legtrid 25286 . . . . 5 (((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) → ((𝐴 𝑝)(≤G‘𝐺)(𝐵 𝑞) ∨ (𝐵 𝑞)(≤G‘𝐺)(𝐴 𝑝)))
10655, 98, 105mpjaodan 823 . . . 4 (((((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) ∧ 𝑝𝑃) ∧ 𝑡𝑃) ∧ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝)))) → ∃𝑥𝑃 𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴))
107 mideu.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺DimTarskiG≥2)
108107adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐺DimTarskiG≥2)
109108ad2antrr 758 . . . . . 6 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → 𝐺DimTarskiG≥2)
1103, 4, 5, 6, 20, 23, 27, 32, 30, 109colperpex 25425 . . . . 5 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → ∃𝑝𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑡𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝))))
111 r19.42v 3073 . . . . . 6 (∃𝑡𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝))) ↔ ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑡𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝))))
112111rexbii 3023 . . . . 5 (∃𝑝𝑃𝑡𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝))) ↔ ∃𝑝𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ∃𝑡𝑃 ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝))))
113110, 112sylibr 223 . . . 4 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → ∃𝑝𝑃𝑡𝑃 ((𝐴𝐿𝑝)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵) ∧ ((𝑡 ∈ (𝐴𝐿𝐵) ∨ 𝐴 = 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ (𝑞𝐼𝑝))))
114106, 113r19.29vva 3062 . . 3 ((((𝜑𝐴𝐵) ∧ 𝑞𝑃) ∧ (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)) → ∃𝑥𝑃 𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴))
11529necomd 2837 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐵𝐴)
1163, 4, 5, 6, 19, 26, 22, 22, 115, 108colperpex 25425 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → ∃𝑞𝑃 ((𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴) ∧ ∃𝑠𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞))))
117 simprl 790 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ ((𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴) ∧ ∃𝑠𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞)))) → (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴))
1183, 5, 6, 19, 22, 26, 29tglinecom 25330 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴𝐵) → (𝐴𝐿𝐵) = (𝐵𝐿𝐴))
119118adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ ((𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴) ∧ ∃𝑠𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞)))) → (𝐴𝐿𝐵) = (𝐵𝐿𝐴))
120117, 119breqtrrd 4611 . . . . . 6 (((𝜑𝐴𝐵) ∧ ((𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴) ∧ ∃𝑠𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞)))) → (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵))
121120ex 449 . . . . 5 ((𝜑𝐴𝐵) → (((𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴) ∧ ∃𝑠𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞))) → (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)))
122121reximdv 2999 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → (∃𝑞𝑃 ((𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐵𝐿𝐴) ∧ ∃𝑠𝑃 ((𝑠 ∈ (𝐵𝐿𝐴) ∨ 𝐵 = 𝐴) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴𝐼𝑞))) → ∃𝑞𝑃 (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵)))
123116, 122mpd 15 . . 3 ((𝜑𝐴𝐵) → ∃𝑞𝑃 (𝐵𝐿𝑞)(⟂G‘𝐺)(𝐴𝐿𝐵))
124114, 123r19.29a 3060 . 2 ((𝜑𝐴𝐵) → ∃𝑥𝑃 𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴))
12518, 124pm2.61dane 2869 1 (𝜑 → ∃𝑥𝑃 𝐵 = ((𝑆𝑥)‘𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∃wrex 2897   class class class wbr 4583  ran crn 5039  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  2c2 10947  Basecbs 15695  distcds 15777  TarskiGcstrkg 25129  DimTarskiG≥cstrkgld 25133  Itvcitv 25135  LineGclng 25136  ≤Gcleg 25277  pInvGcmir 25347  ⟂Gcperpg 25390 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-concat 13156  df-s1 13157  df-s2 13444  df-s3 13445  df-trkgc 25147  df-trkgb 25148  df-trkgcb 25149  df-trkgld 25151  df-trkg 25152  df-cgrg 25206  df-leg 25278  df-mir 25348  df-rag 25389  df-perpg 25391 This theorem is referenced by:  mideu  25430  opphllem5  25443  opphl  25446
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