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Theorem legtrid 24628
Description: Trichotomy law for the less-than relationship. Proposition 5.10 of [Schwabhauser] p. 42. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
legval.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
legval.d  |-  .-  =  ( dist `  G )
legval.i  |-  I  =  (Itv `  G )
legval.l  |-  .<_  =  (≤G `  G )
legval.g  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
legid.a  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
legid.b  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
legtrd.c  |-  ( ph  ->  C  e.  P )
legtrd.d  |-  ( ph  ->  D  e.  P )
Assertion
Ref Expression
legtrid  |-  ( ph  ->  ( ( A  .-  B )  .<_  ( C 
.-  D )  \/  ( C  .-  D
)  .<_  ( A  .-  B ) ) )

Proof of Theorem legtrid
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 legval.p . . . . 5  |-  P  =  ( Base `  G
)
2 legval.d . . . . 5  |-  .-  =  ( dist `  G )
3 legval.i . . . . 5  |-  I  =  (Itv `  G )
4 legval.l . . . . 5  |-  .<_  =  (≤G `  G )
5 legval.g . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
65adantr 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  G  e. TarskiG )
7 legid.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
87adantr 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  A  e.  P
)
9 legid.b . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
109adantr 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  B  e.  P
)
111, 2, 3, 4, 6, 8, 10legid 24624 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  ( A  .-  B )  .<_  ( A 
.-  B ) )
12 legtrd.c . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  P )
1312adantr 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  C  e.  P
)
14 simpr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  ( # `  P
)  =  1 )
15 legtrd.d . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  e.  P )
1615adantr 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  D  e.  P
)
171, 2, 3, 6, 8, 10, 13, 14, 16tgldim0cgr 24541 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  D ) )
1811, 17breqtrd 4446 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  ( A  .-  B )  .<_  ( C 
.-  D ) )
1918orcd 394 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  ( ( A 
.-  B )  .<_  ( C  .-  D )  \/  ( C  .-  D )  .<_  ( A 
.-  B ) ) )
205ad3antrrr 735 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x
) )  /\  (
y  e.  P  /\  ( A  e.  (
x I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) ) ) )  ->  G  e. TarskiG )
21 simplr 761 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x ) )  ->  x  e.  P
)
2221adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x
) )  /\  (
y  e.  P  /\  ( A  e.  (
x I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) ) ) )  ->  x  e.  P )
237ad3antrrr 735 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x
) )  /\  (
y  e.  P  /\  ( A  e.  (
x I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) ) ) )  ->  A  e.  P )
249ad3antrrr 735 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x
) )  /\  (
y  e.  P  /\  ( A  e.  (
x I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) ) ) )  ->  B  e.  P )
25 simprl 763 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x
) )  /\  (
y  e.  P  /\  ( A  e.  (
x I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) ) ) )  -> 
y  e.  P )
26 simplrr 770 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x
) )  /\  (
y  e.  P  /\  ( A  e.  (
x I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) ) ) )  ->  A  =/=  x )
2726necomd 2696 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x
) )  /\  (
y  e.  P  /\  ( A  e.  (
x I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) ) ) )  ->  x  =/=  A )
28 simplrl 769 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x
) )  /\  (
y  e.  P  /\  ( A  e.  (
x I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) ) ) )  ->  A  e.  ( B I x ) )
291, 2, 3, 20, 24, 23, 22, 28tgbtwncom 24524 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x
) )  /\  (
y  e.  P  /\  ( A  e.  (
x I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) ) ) )  ->  A  e.  ( x I B ) )
30 simprrl 773 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x
) )  /\  (
y  e.  P  /\  ( A  e.  (
x I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) ) ) )  ->  A  e.  ( x I y ) )
311, 3, 20, 22, 23, 24, 25, 27, 29, 30tgbtwnconn2 24613 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x
) )  /\  (
y  e.  P  /\  ( A  e.  (
x I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) ) ) )  -> 
( B  e.  ( A I y )  \/  y  e.  ( A I B ) ) )
32 simprrr 774 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x
) )  /\  (
y  e.  P  /\  ( A  e.  (
x I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) ) ) )  -> 
( A  .-  y
)  =  ( C 
.-  D ) )
3331, 32jca 535 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x
) )  /\  (
y  e.  P  /\  ( A  e.  (
x I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) ) ) )  -> 
( ( B  e.  ( A I y )  \/  y  e.  ( A I B ) )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D
) ) )
345ad2antrr 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x ) )  ->  G  e. TarskiG )
357ad2antrr 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x ) )  ->  A  e.  P
)
3612ad2antrr 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x ) )  ->  C  e.  P
)
3715ad2antrr 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x ) )  ->  D  e.  P
)
381, 2, 3, 34, 21, 35, 36, 37axtgsegcon 24504 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x ) )  ->  E. y  e.  P  ( A  e.  (
x I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) ) )
3933, 38reximddv 2902 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x ) )  ->  E. y  e.  P  ( ( B  e.  ( A I y )  \/  y  e.  ( A I B ) )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D
) ) )
4039adantllr 724 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x ) )  ->  E. y  e.  P  ( ( B  e.  ( A I y )  \/  y  e.  ( A I B ) )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D
) ) )
415adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  2  <_  (
# `  P )
)  ->  G  e. TarskiG )
429adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  2  <_  (
# `  P )
)  ->  B  e.  P )
437adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  2  <_  (
# `  P )
)  ->  A  e.  P )
44 simpr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  2  <_  (
# `  P )
)  ->  2  <_  (
# `  P )
)
451, 2, 3, 41, 42, 43, 44tgbtwndiff 24542 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  2  <_  (
# `  P )
)  ->  E. x  e.  P  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x ) )
4640, 45r19.29a 2971 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  2  <_  (
# `  P )
)  ->  E. y  e.  P  ( ( B  e.  ( A I y )  \/  y  e.  ( A I B ) )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) ) )
47 andir 877 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  ( A I y )  \/  y  e.  ( A I B ) )  /\  ( A 
.-  y )  =  ( C  .-  D
) )  <->  ( ( B  e.  ( A I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) )  \/  ( y  e.  ( A I B )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) ) ) )
48 eqcom 2432 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D )  <->  ( C  .-  D )  =  ( A  .-  y ) )
4948anbi2i 699 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ( A I B )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) )  <->  ( y  e.  ( A I B )  /\  ( C 
.-  D )  =  ( A  .-  y
) ) )
5049orbi2i 522 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  ( A I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) )  \/  ( y  e.  ( A I B )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D
) ) )  <->  ( ( B  e.  ( A I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) )  \/  ( y  e.  ( A I B )  /\  ( C  .-  D )  =  ( A  .-  y ) ) ) )
5147, 50bitri 253 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  ( A I y )  \/  y  e.  ( A I B ) )  /\  ( A 
.-  y )  =  ( C  .-  D
) )  <->  ( ( B  e.  ( A I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) )  \/  ( y  e.  ( A I B )  /\  ( C  .-  D )  =  ( A  .-  y ) ) ) )
5251rexbii 2928 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  P  ( ( B  e.  ( A I y )  \/  y  e.  ( A I B ) )  /\  ( A 
.-  y )  =  ( C  .-  D
) )  <->  E. y  e.  P  ( ( B  e.  ( A I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) )  \/  ( y  e.  ( A I B )  /\  ( C  .-  D )  =  ( A  .-  y ) ) ) )
53 r19.43 2985 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  P  ( ( B  e.  ( A I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) )  \/  ( y  e.  ( A I B )  /\  ( C  .-  D )  =  ( A  .-  y
) ) )  <->  ( E. y  e.  P  ( B  e.  ( A I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) )  \/ 
E. y  e.  P  ( y  e.  ( A I B )  /\  ( C  .-  D )  =  ( A  .-  y ) ) ) )
5452, 53bitri 253 . . . 4  |-  ( E. y  e.  P  ( ( B  e.  ( A I y )  \/  y  e.  ( A I B ) )  /\  ( A 
.-  y )  =  ( C  .-  D
) )  <->  ( E. y  e.  P  ( B  e.  ( A I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) )  \/ 
E. y  e.  P  ( y  e.  ( A I B )  /\  ( C  .-  D )  =  ( A  .-  y ) ) ) )
5546, 54sylib 200 . . 3  |-  ( (
ph  /\  2  <_  (
# `  P )
)  ->  ( E. y  e.  P  ( B  e.  ( A I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) )  \/ 
E. y  e.  P  ( y  e.  ( A I B )  /\  ( C  .-  D )  =  ( A  .-  y ) ) ) )
561, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 15legov2 24623 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  .-  B )  .<_  ( C 
.-  D )  <->  E. y  e.  P  ( B  e.  ( A I y )  /\  ( A 
.-  y )  =  ( C  .-  D
) ) ) )
571, 2, 3, 4, 5, 12, 15, 7, 9legov 24622 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( C  .-  D )  .<_  ( A 
.-  B )  <->  E. y  e.  P  ( y  e.  ( A I B )  /\  ( C 
.-  D )  =  ( A  .-  y
) ) ) )
5856, 57orbi12d 715 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( A 
.-  B )  .<_  ( C  .-  D )  \/  ( C  .-  D )  .<_  ( A 
.-  B ) )  <-> 
( E. y  e.  P  ( B  e.  ( A I y )  /\  ( A 
.-  y )  =  ( C  .-  D
) )  \/  E. y  e.  P  (
y  e.  ( A I B )  /\  ( C  .-  D )  =  ( A  .-  y ) ) ) ) )
5958adantr 467 . . 3  |-  ( (
ph  /\  2  <_  (
# `  P )
)  ->  ( (
( A  .-  B
)  .<_  ( C  .-  D )  \/  ( C  .-  D )  .<_  ( A  .-  B ) )  <->  ( E. y  e.  P  ( B  e.  ( A I y )  /\  ( A 
.-  y )  =  ( C  .-  D
) )  \/  E. y  e.  P  (
y  e.  ( A I B )  /\  ( C  .-  D )  =  ( A  .-  y ) ) ) ) )
6055, 59mpbird 236 . 2  |-  ( (
ph  /\  2  <_  (
# `  P )
)  ->  ( ( A  .-  B )  .<_  ( C  .-  D )  \/  ( C  .-  D )  .<_  ( A 
.-  B ) ) )
611, 7tgldimor 24538 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( # `  P
)  =  1  \/  2  <_  ( # `  P
) ) )
6219, 60, 61mpjaodan 794 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  .-  B )  .<_  ( C 
.-  D )  \/  ( C  .-  D
)  .<_  ( A  .-  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    \/ wo 370    /\ wa 371    = wceq 1438    e. wcel 1869    =/= wne 2619   E.wrex 2777   class class class wbr 4421   ` cfv 5599  (class class class)co 6303   1c1 9542    <_ cle 9678   2c2 10661   #chash 12516   Basecbs 15114   distcds 15192  TarskiGcstrkg 24470  Itvcitv 24476  ≤Gcleg 24619
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-1o 7188  df-oadd 7192  df-er 7369  df-pm 7481  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-fin 7579  df-card 8376  df-cda 8600  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-nn 10612  df-2 10670  df-3 10671  df-n0 10872  df-z 10940  df-uz 11162  df-fz 11787  df-fzo 11918  df-hash 12517  df-word 12662  df-concat 12664  df-s1 12665  df-s2 12940  df-s3 12941  df-trkgc 24488  df-trkgb 24489  df-trkgcb 24490  df-trkg 24493  df-cgrg 24548  df-leg 24620
This theorem is referenced by:  legso  24636  krippen  24728  midex  24771  opphllem5  24785  opphllem6  24786
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