Theorem legtrid 23143

Description: Trichotomy law for the less-than relationship. Proposition 5.10 of [Schwabhauser] p. 42. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
legval.p	|- P = ( Base ` G )
legval.d	|- .- = ( dist ` G )
legval.i	|- I = (Itv ` G )
legval.l	|- .<_ = (≤G ` G )
legval.g	|- ( ph -> G e. TarskiG )
legid.a	|- ( ph -> A e. P )
legid.b	|- ( ph -> B e. P )
legtrd.c	|- ( ph -> C e. P )
legtrd.d	|- ( ph -> D e. P )

Assertion

Ref	Expression
legtrid	|- ( ph -> ( ( A .- B ) .<_ ( C .- D ) \/ ( C .- D ) .<_ ( A .- B ) ) )

Proof of Theorem legtrid

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		legval.p	. . . . 5 |- P = ( Base ` G )
2		legval.d	. . . . 5 |- .- = ( dist ` G )
3		legval.i	. . . . 5 |- I = (Itv ` G )
4		legval.l	. . . . 5 |- .<_ = (≤G ` G )
5		legval.g	. . . . . 6 |- ( ph -> G e. TarskiG )
6	5	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> G e. TarskiG )
7		legid.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. P )
8	7	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> A e. P )
9		legid.b	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. P )
10	9	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> B e. P )
11	1, 2, 3, 4, 6, 8, 10	legid 23139	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> ( A .- B ) .<_ ( A .- B ) )
12		legtrd.c	. . . . . . 7 |- ( ph -> C e. P )
13	12	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> C e. P )
14		simpr 461	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> ( # ` P ) = 1 )
15		legtrd.d	. . . . . . 7 |- ( ph -> D e. P )
16	15	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> D e. P )
17	1, 2, 3, 6, 8, 10, 13, 14, 16	tgldim0cgr 23076	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> ( A .- B ) = ( C .- D ) )
18	17	breq2d 4402	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> ( ( A .- B ) .<_ ( A .- B ) <-> ( A .- B ) .<_ ( C .- D ) ) )
19	11, 18	mpbid 210	. . 3 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> ( A .- B ) .<_ ( C .- D ) )
20	19	orcd 392	. 2 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> ( ( A .- B ) .<_ ( C .- D ) \/ ( C .- D ) .<_ ( A .- B ) ) )
21	5	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) ) -> G e. TarskiG )
22	21	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) ) /\ ( y e. P /\ ( A e. ( x I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) ) ) -> G e. TarskiG )
23		simplr 754	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) ) -> x e. P )
24	23	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) ) /\ ( y e. P /\ ( A e. ( x I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) ) ) -> x e. P )
25	7	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) ) -> A e. P )
26	25	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) ) /\ ( y e. P /\ ( A e. ( x I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) ) ) -> A e. P )
27	9	ad3antrrr 729	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) ) /\ ( y e. P /\ ( A e. ( x I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) ) ) -> B e. P )
28		simprl 755	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) ) /\ ( y e. P /\ ( A e. ( x I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) ) ) -> y e. P )
29		simplrr 760	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) ) /\ ( y e. P /\ ( A e. ( x I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) ) ) -> A =/= x )
30	29	necomd 2719	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) ) /\ ( y e. P /\ ( A e. ( x I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) ) ) -> x =/= A )
31		simplrl 759	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) ) /\ ( y e. P /\ ( A e. ( x I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) ) ) -> A e. ( B I x ) )
32	1, 2, 3, 22, 27, 26, 24, 31	tgbtwncom 23059	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) ) /\ ( y e. P /\ ( A e. ( x I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) ) ) -> A e. ( x I B ) )
33		simprrl 763	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) ) /\ ( y e. P /\ ( A e. ( x I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) ) ) -> A e. ( x I y ) )
34	1, 3, 22, 24, 26, 27, 28, 30, 32, 33	tgbtwnconn2 23128	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) ) /\ ( y e. P /\ ( A e. ( x I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) ) ) -> ( B e. ( A I y ) \/ y e. ( A I B ) ) )
35		simprrr 764	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) ) /\ ( y e. P /\ ( A e. ( x I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) ) ) -> ( A .- y ) = ( C .- D ) )
36	34, 35	jca 532	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) ) /\ ( y e. P /\ ( A e. ( x I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) ) ) -> ( ( B e. ( A I y ) \/ y e. ( A I B ) ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) )
37	12	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) ) -> C e. P )
38	15	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) ) -> D e. P )
39	1, 2, 3, 21, 23, 25, 37, 38	axtgsegcon 23041	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) ) -> E. y e. P ( A e. ( x I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) )
40	36, 39	reximddv 2925	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) ) -> E. y e. P ( ( B e. ( A I y ) \/ y e. ( A I B ) ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) )
41	40	adantllr 718	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ x e. P ) /\ ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) ) -> E. y e. P ( ( B e. ( A I y ) \/ y e. ( A I B ) ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) )
42	5	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> G e. TarskiG )
43	9	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> B e. P )
44	7	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> A e. P )
45		simpr 461	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> 2 <_ ( # ` P ) )
46	1, 2, 3, 42, 43, 44, 45	tgbtwndiff 23077	. . . . 5 |- ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> E. x e. P ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) )
47	41, 46	r19.29a 2958	. . . 4 |- ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> E. y e. P ( ( B e. ( A I y ) \/ y e. ( A I B ) ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) )
48		andir 863	. . . . . . 7 |- ( ( ( B e. ( A I y ) \/ y e. ( A I B ) ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) <-> ( ( B e. ( A I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) \/ ( y e. ( A I B ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) ) )
49		eqcom 2460	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A .- y ) = ( C .- D ) <-> ( C .- D ) = ( A .- y ) )
50	49	anbi2i 694	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. ( A I B ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) <-> ( y e. ( A I B ) /\ ( C .- D ) = ( A .- y ) ) )
51	50	orbi2i 519	. . . . . . . 8 |- ( ( ( B e. ( A I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) \/ ( y e. ( A I B ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) ) <-> ( ( B e. ( A I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) \/ ( y e. ( A I B ) /\ ( C .- D ) = ( A .- y ) ) ) )
52	51	bibi2i 313	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( B e. ( A I y ) \/ y e. ( A I B ) ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) <-> ( ( B e. ( A I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) \/ ( y e. ( A I B ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) ) ) <-> ( ( ( B e. ( A I y ) \/ y e. ( A I B ) ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) <-> ( ( B e. ( A I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) \/ ( y e. ( A I B ) /\ ( C .- D ) = ( A .- y ) ) ) ) )
53	48, 52	mpbi 208	. . . . . 6 |- ( ( ( B e. ( A I y ) \/ y e. ( A I B ) ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) <-> ( ( B e. ( A I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) \/ ( y e. ( A I B ) /\ ( C .- D ) = ( A .- y ) ) ) )
54	53	rexbii 2847	. . . . 5 |- ( E. y e. P ( ( B e. ( A I y ) \/ y e. ( A I B ) ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) <-> E. y e. P ( ( B e. ( A I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) \/ ( y e. ( A I B ) /\ ( C .- D ) = ( A .- y ) ) ) )
55		r19.43 2972	. . . . 5 |- ( E. y e. P ( ( B e. ( A I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) \/ ( y e. ( A I B ) /\ ( C .- D ) = ( A .- y ) ) ) <-> ( E. y e. P ( B e. ( A I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) \/ E. y e. P ( y e. ( A I B ) /\ ( C .- D ) = ( A .- y ) ) ) )
56	54, 55	bitri 249	. . . 4 |- ( E. y e. P ( ( B e. ( A I y ) \/ y e. ( A I B ) ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) <-> ( E. y e. P ( B e. ( A I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) \/ E. y e. P ( y e. ( A I B ) /\ ( C .- D ) = ( A .- y ) ) ) )
57	47, 56	sylib 196	. . 3 |- ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> ( E. y e. P ( B e. ( A I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) \/ E. y e. P ( y e. ( A I B ) /\ ( C .- D ) = ( A .- y ) ) ) )
58	1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 15	legov2 23138	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A .- B ) .<_ ( C .- D ) <-> E. y e. P ( B e. ( A I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) ) )
59	1, 2, 3, 4, 5, 12, 15, 7, 9	legov 23137	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( C .- D ) .<_ ( A .- B ) <-> E. y e. P ( y e. ( A I B ) /\ ( C .- D ) = ( A .- y ) ) ) )
60	58, 59	orbi12d 709	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( A .- B ) .<_ ( C .- D ) \/ ( C .- D ) .<_ ( A .- B ) ) <-> ( E. y e. P ( B e. ( A I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) \/ E. y e. P ( y e. ( A I B ) /\ ( C .- D ) = ( A .- y ) ) ) ) )
61	60	adantr 465	. . 3 |- ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> ( ( ( A .- B ) .<_ ( C .- D ) \/ ( C .- D ) .<_ ( A .- B ) ) <-> ( E. y e. P ( B e. ( A I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) \/ E. y e. P ( y e. ( A I B ) /\ ( C .- D ) = ( A .- y ) ) ) ) )
62	57, 61	mpbird 232	. 2 |- ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> ( ( A .- B ) .<_ ( C .- D ) \/ ( C .- D ) .<_ ( A .- B ) ) )
63	1, 7	tgldimor 23073	. 2 |- ( ph -> ( ( # ` P ) = 1 \/ 2 <_ ( # ` P ) ) )
64	20, 62, 63	mpjaodan 784	1 |- ( ph -> ( ( A .- B ) .<_ ( C .- D ) \/ ( C .- D ) .<_ ( A .- B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1758   =/= wne 2644   E.wrex 2796   class class class wbr 4390   ` cfv 5516  (class class class)co 6190   1c1 9384   <_ cle 9520   2c2 10472   #chash 12204   Basecbs 14276   distcds 14349  TarskiGcstrkg 23005  Itvcitv 23012  ≤Gcleg 23134

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-om 6577  df-1st 6677  df-2nd 6678  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-1o 7020  df-oadd 7024  df-er 7201  df-pm 7317  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-fin 7414  df-card 8210  df-cda 8438  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-nn 10424  df-2 10481  df-3 10482  df-n0 10681  df-z 10748  df-uz 10963  df-fz 11539  df-fzo 11650  df-hash 12205  df-word 12331  df-concat 12333  df-s1 12334  df-s2 12577  df-s3 12578  df-trkgc 23024  df-trkgb 23025  df-trkgcb 23026  df-trkg 23030  df-cgrg 23083  df-leg 23135

This theorem is referenced by:  krippen  23211  mideu  23245