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Theorem legtrid 23002
Description: Trichotomy law for the less-than relationship. Proposition 5.10 of [Schwabhauser] p. 42. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
legval.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
legval.d  |-  .-  =  ( dist `  G )
legval.i  |-  I  =  (Itv `  G )
legval.l  |-  .<_  =  (≤G `  G )
legval.g  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
legid.a  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
legid.b  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
legtrd.c  |-  ( ph  ->  C  e.  P )
legtrd.d  |-  ( ph  ->  D  e.  P )
Assertion
Ref Expression
legtrid  |-  ( ph  ->  ( ( A  .-  B )  .<_  ( C 
.-  D )  \/  ( C  .-  D
)  .<_  ( A  .-  B ) ) )

Proof of Theorem legtrid
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 legval.p . . . . 5  |-  P  =  ( Base `  G
)
2 legval.d . . . . 5  |-  .-  =  ( dist `  G )
3 legval.i . . . . 5  |-  I  =  (Itv `  G )
4 legval.l . . . . 5  |-  .<_  =  (≤G `  G )
5 legval.g . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
65adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  G  e. TarskiG )
7 legid.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
87adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  A  e.  P
)
9 legid.b . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
109adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  B  e.  P
)
111, 2, 3, 4, 6, 8, 10legid 22998 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  ( A  .-  B )  .<_  ( A 
.-  B ) )
12 legtrd.c . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  P )
1312adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  C  e.  P
)
14 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  ( # `  P
)  =  1 )
15 legtrd.d . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  e.  P )
1615adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  D  e.  P
)
171, 2, 3, 6, 8, 10, 13, 14, 16tgldim0cgr 22938 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  D ) )
1817breq2d 4299 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  ( ( A 
.-  B )  .<_  ( A  .-  B )  <-> 
( A  .-  B
)  .<_  ( C  .-  D ) ) )
1911, 18mpbid 210 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  ( A  .-  B )  .<_  ( C 
.-  D ) )
2019orcd 392 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  ( ( A 
.-  B )  .<_  ( C  .-  D )  \/  ( C  .-  D )  .<_  ( A 
.-  B ) ) )
215ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x ) )  ->  G  e. TarskiG )
2221adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x
) )  /\  (
y  e.  P  /\  ( A  e.  (
x I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) ) ) )  ->  G  e. TarskiG )
23 simplr 754 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x ) )  ->  x  e.  P
)
2423adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x
) )  /\  (
y  e.  P  /\  ( A  e.  (
x I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) ) ) )  ->  x  e.  P )
257ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x ) )  ->  A  e.  P
)
2625adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x
) )  /\  (
y  e.  P  /\  ( A  e.  (
x I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) ) ) )  ->  A  e.  P )
279ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x
) )  /\  (
y  e.  P  /\  ( A  e.  (
x I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) ) ) )  ->  B  e.  P )
28 simprl 755 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x
) )  /\  (
y  e.  P  /\  ( A  e.  (
x I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) ) ) )  -> 
y  e.  P )
29 simplrr 760 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x
) )  /\  (
y  e.  P  /\  ( A  e.  (
x I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) ) ) )  ->  A  =/=  x )
3029necomd 2690 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x
) )  /\  (
y  e.  P  /\  ( A  e.  (
x I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) ) ) )  ->  x  =/=  A )
31 simplrl 759 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x
) )  /\  (
y  e.  P  /\  ( A  e.  (
x I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) ) ) )  ->  A  e.  ( B I x ) )
321, 2, 3, 22, 27, 26, 24, 31tgbtwncom 22922 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x
) )  /\  (
y  e.  P  /\  ( A  e.  (
x I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) ) ) )  ->  A  e.  ( x I B ) )
33 simprrl 763 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x
) )  /\  (
y  e.  P  /\  ( A  e.  (
x I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) ) ) )  ->  A  e.  ( x I y ) )
341, 3, 22, 24, 26, 27, 28, 30, 32, 33tgbtwnconn2 22988 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x
) )  /\  (
y  e.  P  /\  ( A  e.  (
x I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) ) ) )  -> 
( B  e.  ( A I y )  \/  y  e.  ( A I B ) ) )
35 simprrr 764 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x
) )  /\  (
y  e.  P  /\  ( A  e.  (
x I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) ) ) )  -> 
( A  .-  y
)  =  ( C 
.-  D ) )
3634, 35jca 532 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x
) )  /\  (
y  e.  P  /\  ( A  e.  (
x I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) ) ) )  -> 
( ( B  e.  ( A I y )  \/  y  e.  ( A I B ) )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D
) ) )
3712ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x ) )  ->  C  e.  P
)
3815ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x ) )  ->  D  e.  P
)
391, 2, 3, 21, 23, 25, 37, 38axtgsegcon 22905 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x ) )  ->  E. y  e.  P  ( A  e.  (
x I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) ) )
4036, 39reximddv 2824 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x ) )  ->  E. y  e.  P  ( ( B  e.  ( A I y )  \/  y  e.  ( A I B ) )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D
) ) )
4140adantllr 718 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x ) )  ->  E. y  e.  P  ( ( B  e.  ( A I y )  \/  y  e.  ( A I B ) )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D
) ) )
425adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  2  <_  (
# `  P )
)  ->  G  e. TarskiG )
439adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  2  <_  (
# `  P )
)  ->  B  e.  P )
447adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  2  <_  (
# `  P )
)  ->  A  e.  P )
45 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  2  <_  (
# `  P )
)  ->  2  <_  (
# `  P )
)
461, 2, 3, 42, 43, 44, 45tgbtwndiff 22939 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  2  <_  (
# `  P )
)  ->  E. x  e.  P  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x ) )
4741, 46r19.29a 2857 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  2  <_  (
# `  P )
)  ->  E. y  e.  P  ( ( B  e.  ( A I y )  \/  y  e.  ( A I B ) )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) ) )
48 andir 863 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  ( A I y )  \/  y  e.  ( A I B ) )  /\  ( A 
.-  y )  =  ( C  .-  D
) )  <->  ( ( B  e.  ( A I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) )  \/  ( y  e.  ( A I B )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) ) ) )
49 eqcom 2440 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D )  <->  ( C  .-  D )  =  ( A  .-  y ) )
5049anbi2i 694 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ( A I B )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) )  <->  ( y  e.  ( A I B )  /\  ( C 
.-  D )  =  ( A  .-  y
) ) )
5150orbi2i 519 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  e.  ( A I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) )  \/  ( y  e.  ( A I B )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D
) ) )  <->  ( ( B  e.  ( A I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) )  \/  ( y  e.  ( A I B )  /\  ( C  .-  D )  =  ( A  .-  y ) ) ) )
5251bibi2i 313 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( B  e.  ( A I y )  \/  y  e.  ( A I B ) )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D
) )  <->  ( ( B  e.  ( A I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) )  \/  ( y  e.  ( A I B )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) ) ) )  <->  ( (
( B  e.  ( A I y )  \/  y  e.  ( A I B ) )  /\  ( A 
.-  y )  =  ( C  .-  D
) )  <->  ( ( B  e.  ( A I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) )  \/  ( y  e.  ( A I B )  /\  ( C  .-  D )  =  ( A  .-  y ) ) ) ) )
5348, 52mpbi 208 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  ( A I y )  \/  y  e.  ( A I B ) )  /\  ( A 
.-  y )  =  ( C  .-  D
) )  <->  ( ( B  e.  ( A I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) )  \/  ( y  e.  ( A I B )  /\  ( C  .-  D )  =  ( A  .-  y ) ) ) )
5453rexbii 2735 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  P  ( ( B  e.  ( A I y )  \/  y  e.  ( A I B ) )  /\  ( A 
.-  y )  =  ( C  .-  D
) )  <->  E. y  e.  P  ( ( B  e.  ( A I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) )  \/  ( y  e.  ( A I B )  /\  ( C  .-  D )  =  ( A  .-  y ) ) ) )
55 r19.43 2871 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  P  ( ( B  e.  ( A I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) )  \/  ( y  e.  ( A I B )  /\  ( C  .-  D )  =  ( A  .-  y
) ) )  <->  ( E. y  e.  P  ( B  e.  ( A I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) )  \/ 
E. y  e.  P  ( y  e.  ( A I B )  /\  ( C  .-  D )  =  ( A  .-  y ) ) ) )
5654, 55bitri 249 . . . 4  |-  ( E. y  e.  P  ( ( B  e.  ( A I y )  \/  y  e.  ( A I B ) )  /\  ( A 
.-  y )  =  ( C  .-  D
) )  <->  ( E. y  e.  P  ( B  e.  ( A I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) )  \/ 
E. y  e.  P  ( y  e.  ( A I B )  /\  ( C  .-  D )  =  ( A  .-  y ) ) ) )
5747, 56sylib 196 . . 3  |-  ( (
ph  /\  2  <_  (
# `  P )
)  ->  ( E. y  e.  P  ( B  e.  ( A I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) )  \/ 
E. y  e.  P  ( y  e.  ( A I B )  /\  ( C  .-  D )  =  ( A  .-  y ) ) ) )
581, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 15legov2 22997 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  .-  B )  .<_  ( C 
.-  D )  <->  E. y  e.  P  ( B  e.  ( A I y )  /\  ( A 
.-  y )  =  ( C  .-  D
) ) ) )
591, 2, 3, 4, 5, 12, 15, 7, 9legov 22996 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( C  .-  D )  .<_  ( A 
.-  B )  <->  E. y  e.  P  ( y  e.  ( A I B )  /\  ( C 
.-  D )  =  ( A  .-  y
) ) ) )
6058, 59orbi12d 709 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( A 
.-  B )  .<_  ( C  .-  D )  \/  ( C  .-  D )  .<_  ( A 
.-  B ) )  <-> 
( E. y  e.  P  ( B  e.  ( A I y )  /\  ( A 
.-  y )  =  ( C  .-  D
) )  \/  E. y  e.  P  (
y  e.  ( A I B )  /\  ( C  .-  D )  =  ( A  .-  y ) ) ) ) )
6160adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  2  <_  (
# `  P )
)  ->  ( (
( A  .-  B
)  .<_  ( C  .-  D )  \/  ( C  .-  D )  .<_  ( A  .-  B ) )  <->  ( E. y  e.  P  ( B  e.  ( A I y )  /\  ( A 
.-  y )  =  ( C  .-  D
) )  \/  E. y  e.  P  (
y  e.  ( A I B )  /\  ( C  .-  D )  =  ( A  .-  y ) ) ) ) )
6257, 61mpbird 232 . 2  |-  ( (
ph  /\  2  <_  (
# `  P )
)  ->  ( ( A  .-  B )  .<_  ( C  .-  D )  \/  ( C  .-  D )  .<_  ( A 
.-  B ) ) )
631, 7tgldimor 22935 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( # `  P
)  =  1  \/  2  <_  ( # `  P
) ) )
6420, 62, 63mpjaodan 784 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  .-  B )  .<_  ( C 
.-  D )  \/  ( C  .-  D
)  .<_  ( A  .-  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2601   E.wrex 2711   class class class wbr 4287   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   1c1 9275    <_ cle 9411   2c2 10363   #chash 12095   Basecbs 14166   distcds 14239  TarskiGcstrkg 22869  Itvcitv 22877  ≤Gcleg 22993
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-pm 7209  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-card 8101  df-cda 8329  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-hash 12096  df-word 12221  df-concat 12223  df-s1 12224  df-s2 12467  df-s3 12468  df-trkgc 22889  df-trkgb 22890  df-trkgcb 22891  df-trkg 22896  df-cgrg 22944  df-leg 22994
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