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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > legtrid | Structured version Unicode version |
Description: Trichotomy law for the less-than relationship. Proposition 5.10 of [Schwabhauser] p. 42. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jun-2019.) |
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legtrd.d |
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legtrid |
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1 | legval.p |
. . . . 5
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2 | legval.d |
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3 | legval.i |
. . . . 5
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4 | legval.l |
. . . . 5
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5 | legval.g |
. . . . . 6
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6 | 5 | adantr 465 |
. . . . 5
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7 | legid.a |
. . . . . 6
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8 | 7 | adantr 465 |
. . . . 5
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9 | legid.b |
. . . . . 6
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10 | 9 | adantr 465 |
. . . . 5
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11 | 1, 2, 3, 4, 6, 8, 10 | legid 23139 |
. . . 4
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12 | legtrd.c |
. . . . . . 7
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13 | 12 | adantr 465 |
. . . . . 6
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14 | simpr 461 |
. . . . . 6
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15 | legtrd.d |
. . . . . . 7
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16 | 15 | adantr 465 |
. . . . . 6
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17 | 1, 2, 3, 6, 8, 10, 13, 14, 16 | tgldim0cgr 23076 |
. . . . 5
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18 | 17 | breq2d 4402 |
. . . 4
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19 | 11, 18 | mpbid 210 |
. . 3
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20 | 19 | orcd 392 |
. 2
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21 | 5 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . 10
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22 | 21 | adantr 465 |
. . . . . . . . 9
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23 | simplr 754 |
. . . . . . . . . 10
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24 | 23 | adantr 465 |
. . . . . . . . 9
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25 | 7 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . 10
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26 | 25 | adantr 465 |
. . . . . . . . 9
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27 | 9 | ad3antrrr 729 |
. . . . . . . . 9
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28 | simprl 755 |
. . . . . . . . 9
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29 | simplrr 760 |
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30 | 29 | necomd 2719 |
. . . . . . . . 9
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31 | simplrl 759 |
. . . . . . . . . 10
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32 | 1, 2, 3, 22, 27, 26, 24, 31 | tgbtwncom 23059 |
. . . . . . . . 9
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33 | simprrl 763 |
. . . . . . . . 9
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34 | 1, 3, 22, 24, 26, 27, 28, 30, 32, 33 | tgbtwnconn2 23128 |
. . . . . . . 8
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35 | simprrr 764 |
. . . . . . . 8
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36 | 34, 35 | jca 532 |
. . . . . . 7
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37 | 12 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . 8
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38 | 15 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . 8
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39 | 1, 2, 3, 21, 23, 25, 37, 38 | axtgsegcon 23041 |
. . . . . . 7
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40 | 36, 39 | reximddv 2925 |
. . . . . 6
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41 | 40 | adantllr 718 |
. . . . 5
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42 | 5 | adantr 465 |
. . . . . 6
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43 | 9 | adantr 465 |
. . . . . 6
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44 | 7 | adantr 465 |
. . . . . 6
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45 | simpr 461 |
. . . . . 6
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46 | 1, 2, 3, 42, 43, 44, 45 | tgbtwndiff 23077 |
. . . . 5
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47 | 41, 46 | r19.29a 2958 |
. . . 4
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48 | andir 863 |
. . . . . . 7
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49 | eqcom 2460 |
. . . . . . . . . 10
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50 | 49 | anbi2i 694 |
. . . . . . . . 9
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51 | 50 | orbi2i 519 |
. . . . . . . 8
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52 | 51 | bibi2i 313 |
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53 | 48, 52 | mpbi 208 |
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54 | 53 | rexbii 2847 |
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55 | r19.43 2972 |
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56 | 54, 55 | bitri 249 |
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57 | 47, 56 | sylib 196 |
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58 | 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 15 | legov2 23138 |
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59 | 1, 2, 3, 4, 5, 12, 15, 7, 9 | legov 23137 |
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60 | 58, 59 | orbi12d 709 |
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61 | 60 | adantr 465 |
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62 | 57, 61 | mpbird 232 |
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63 | 1, 7 | tgldimor 23073 |
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64 | 20, 62, 63 | mpjaodan 784 |
1
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1592 ax-4 1603 ax-5 1671 ax-6 1710 ax-7 1730 ax-8 1760 ax-9 1762 ax-10 1777 ax-11 1782 ax-12 1794 ax-13 1952 ax-ext 2430 ax-rep 4501 ax-sep 4511 ax-nul 4519 ax-pow 4568 ax-pr 4629 ax-un 6472 ax-cnex 9439 ax-resscn 9440 ax-1cn 9441 ax-icn 9442 ax-addcl 9443 ax-addrcl 9444 ax-mulcl 9445 ax-mulrcl 9446 ax-mulcom 9447 ax-addass 9448 ax-mulass 9449 ax-distr 9450 ax-i2m1 9451 ax-1ne0 9452 ax-1rid 9453 ax-rnegex 9454 ax-rrecex 9455 ax-cnre 9456 ax-pre-lttri 9457 ax-pre-lttrn 9458 ax-pre-ltadd 9459 ax-pre-mulgt0 9460 |
This theorem depends on definitions: df-bi 185 df-or 370 df-an 371 df-3or 966 df-3an 967 df-tru 1373 df-ex 1588 df-nf 1591 df-sb 1703 df-eu 2264 df-mo 2265 df-clab 2437 df-cleq 2443 df-clel 2446 df-nfc 2601 df-ne 2646 df-nel 2647 df-ral 2800 df-rex 2801 df-reu 2802 df-rmo 2803 df-rab 2804 df-v 3070 df-sbc 3285 df-csb 3387 df-dif 3429 df-un 3431 df-in 3433 df-ss 3440 df-pss 3442 df-nul 3736 df-if 3890 df-pw 3960 df-sn 3976 df-pr 3978 df-tp 3980 df-op 3982 df-uni 4190 df-int 4227 df-iun 4271 df-br 4391 df-opab 4449 df-mpt 4450 df-tr 4484 df-eprel 4730 df-id 4734 df-po 4739 df-so 4740 df-fr 4777 df-we 4779 df-ord 4820 df-on 4821 df-lim 4822 df-suc 4823 df-xp 4944 df-rel 4945 df-cnv 4946 df-co 4947 df-dm 4948 df-rn 4949 df-res 4950 df-ima 4951 df-iota 5479 df-fun 5518 df-fn 5519 df-f 5520 df-f1 5521 df-fo 5522 df-f1o 5523 df-fv 5524 df-riota 6151 df-ov 6193 df-oprab 6194 df-mpt2 6195 df-om 6577 df-1st 6677 df-2nd 6678 df-recs 6932 df-rdg 6966 df-1o 7020 df-oadd 7024 df-er 7201 df-pm 7317 df-en 7411 df-dom 7412 df-sdom 7413 df-fin 7414 df-card 8210 df-cda 8438 df-pnf 9521 df-mnf 9522 df-xr 9523 df-ltxr 9524 df-le 9525 df-sub 9698 df-neg 9699 df-nn 10424 df-2 10481 df-3 10482 df-n0 10681 df-z 10748 df-uz 10963 df-fz 11539 df-fzo 11650 df-hash 12205 df-word 12331 df-concat 12333 df-s1 12334 df-s2 12577 df-s3 12578 df-trkgc 23024 df-trkgb 23025 df-trkgcb 23026 df-trkg 23030 df-cgrg 23083 df-leg 23135 |
This theorem is referenced by: krippen 23211 mideu 23245 |
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