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Theorem legtrid 23698
Description: Trichotomy law for the less-than relationship. Proposition 5.10 of [Schwabhauser] p. 42. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
legval.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
legval.d  |-  .-  =  ( dist `  G )
legval.i  |-  I  =  (Itv `  G )
legval.l  |-  .<_  =  (≤G `  G )
legval.g  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
legid.a  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
legid.b  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
legtrd.c  |-  ( ph  ->  C  e.  P )
legtrd.d  |-  ( ph  ->  D  e.  P )
Assertion
Ref Expression
legtrid  |-  ( ph  ->  ( ( A  .-  B )  .<_  ( C 
.-  D )  \/  ( C  .-  D
)  .<_  ( A  .-  B ) ) )

Proof of Theorem legtrid
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 legval.p . . . . 5  |-  P  =  ( Base `  G
)
2 legval.d . . . . 5  |-  .-  =  ( dist `  G )
3 legval.i . . . . 5  |-  I  =  (Itv `  G )
4 legval.l . . . . 5  |-  .<_  =  (≤G `  G )
5 legval.g . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
65adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  G  e. TarskiG )
7 legid.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
87adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  A  e.  P
)
9 legid.b . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
109adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  B  e.  P
)
111, 2, 3, 4, 6, 8, 10legid 23694 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  ( A  .-  B )  .<_  ( A 
.-  B ) )
12 legtrd.c . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  P )
1312adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  C  e.  P
)
14 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  ( # `  P
)  =  1 )
15 legtrd.d . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  e.  P )
1615adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  D  e.  P
)
171, 2, 3, 6, 8, 10, 13, 14, 16tgldim0cgr 23617 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  D ) )
1817breq2d 4452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  ( ( A 
.-  B )  .<_  ( A  .-  B )  <-> 
( A  .-  B
)  .<_  ( C  .-  D ) ) )
1911, 18mpbid 210 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  ( A  .-  B )  .<_  ( C 
.-  D ) )
2019orcd 392 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  ( ( A 
.-  B )  .<_  ( C  .-  D )  \/  ( C  .-  D )  .<_  ( A 
.-  B ) ) )
215ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x ) )  ->  G  e. TarskiG )
2221adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x
) )  /\  (
y  e.  P  /\  ( A  e.  (
x I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) ) ) )  ->  G  e. TarskiG )
23 simplr 754 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x ) )  ->  x  e.  P
)
2423adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x
) )  /\  (
y  e.  P  /\  ( A  e.  (
x I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) ) ) )  ->  x  e.  P )
257ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x ) )  ->  A  e.  P
)
2625adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x
) )  /\  (
y  e.  P  /\  ( A  e.  (
x I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) ) ) )  ->  A  e.  P )
279ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x
) )  /\  (
y  e.  P  /\  ( A  e.  (
x I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) ) ) )  ->  B  e.  P )
28 simprl 755 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x
) )  /\  (
y  e.  P  /\  ( A  e.  (
x I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) ) ) )  -> 
y  e.  P )
29 simplrr 760 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x
) )  /\  (
y  e.  P  /\  ( A  e.  (
x I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) ) ) )  ->  A  =/=  x )
3029necomd 2731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x
) )  /\  (
y  e.  P  /\  ( A  e.  (
x I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) ) ) )  ->  x  =/=  A )
31 simplrl 759 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x
) )  /\  (
y  e.  P  /\  ( A  e.  (
x I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) ) ) )  ->  A  e.  ( B I x ) )
321, 2, 3, 22, 27, 26, 24, 31tgbtwncom 23600 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x
) )  /\  (
y  e.  P  /\  ( A  e.  (
x I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) ) ) )  ->  A  e.  ( x I B ) )
33 simprrl 763 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x
) )  /\  (
y  e.  P  /\  ( A  e.  (
x I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) ) ) )  ->  A  e.  ( x I y ) )
341, 3, 22, 24, 26, 27, 28, 30, 32, 33tgbtwnconn2 23683 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x
) )  /\  (
y  e.  P  /\  ( A  e.  (
x I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) ) ) )  -> 
( B  e.  ( A I y )  \/  y  e.  ( A I B ) ) )
35 simprrr 764 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x
) )  /\  (
y  e.  P  /\  ( A  e.  (
x I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) ) ) )  -> 
( A  .-  y
)  =  ( C 
.-  D ) )
3634, 35jca 532 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x
) )  /\  (
y  e.  P  /\  ( A  e.  (
x I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) ) ) )  -> 
( ( B  e.  ( A I y )  \/  y  e.  ( A I B ) )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D
) ) )
3712ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x ) )  ->  C  e.  P
)
3815ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x ) )  ->  D  e.  P
)
391, 2, 3, 21, 23, 25, 37, 38axtgsegcon 23582 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x ) )  ->  E. y  e.  P  ( A  e.  (
x I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) ) )
4036, 39reximddv 2932 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x ) )  ->  E. y  e.  P  ( ( B  e.  ( A I y )  \/  y  e.  ( A I B ) )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D
) ) )
4140adantllr 718 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x ) )  ->  E. y  e.  P  ( ( B  e.  ( A I y )  \/  y  e.  ( A I B ) )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D
) ) )
425adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  2  <_  (
# `  P )
)  ->  G  e. TarskiG )
439adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  2  <_  (
# `  P )
)  ->  B  e.  P )
447adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  2  <_  (
# `  P )
)  ->  A  e.  P )
45 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  2  <_  (
# `  P )
)  ->  2  <_  (
# `  P )
)
461, 2, 3, 42, 43, 44, 45tgbtwndiff 23618 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  2  <_  (
# `  P )
)  ->  E. x  e.  P  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x ) )
4741, 46r19.29a 2996 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  2  <_  (
# `  P )
)  ->  E. y  e.  P  ( ( B  e.  ( A I y )  \/  y  e.  ( A I B ) )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) ) )
48 andir 864 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  ( A I y )  \/  y  e.  ( A I B ) )  /\  ( A 
.-  y )  =  ( C  .-  D
) )  <->  ( ( B  e.  ( A I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) )  \/  ( y  e.  ( A I B )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) ) ) )
49 eqcom 2469 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D )  <->  ( C  .-  D )  =  ( A  .-  y ) )
5049anbi2i 694 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ( A I B )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) )  <->  ( y  e.  ( A I B )  /\  ( C 
.-  D )  =  ( A  .-  y
) ) )
5150orbi2i 519 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  e.  ( A I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) )  \/  ( y  e.  ( A I B )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D
) ) )  <->  ( ( B  e.  ( A I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) )  \/  ( y  e.  ( A I B )  /\  ( C  .-  D )  =  ( A  .-  y ) ) ) )
5251bibi2i 313 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( B  e.  ( A I y )  \/  y  e.  ( A I B ) )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D
) )  <->  ( ( B  e.  ( A I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) )  \/  ( y  e.  ( A I B )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) ) ) )  <->  ( (
( B  e.  ( A I y )  \/  y  e.  ( A I B ) )  /\  ( A 
.-  y )  =  ( C  .-  D
) )  <->  ( ( B  e.  ( A I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) )  \/  ( y  e.  ( A I B )  /\  ( C  .-  D )  =  ( A  .-  y ) ) ) ) )
5348, 52mpbi 208 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  ( A I y )  \/  y  e.  ( A I B ) )  /\  ( A 
.-  y )  =  ( C  .-  D
) )  <->  ( ( B  e.  ( A I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) )  \/  ( y  e.  ( A I B )  /\  ( C  .-  D )  =  ( A  .-  y ) ) ) )
5453rexbii 2958 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  P  ( ( B  e.  ( A I y )  \/  y  e.  ( A I B ) )  /\  ( A 
.-  y )  =  ( C  .-  D
) )  <->  E. y  e.  P  ( ( B  e.  ( A I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) )  \/  ( y  e.  ( A I B )  /\  ( C  .-  D )  =  ( A  .-  y ) ) ) )
55 r19.43 3010 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  P  ( ( B  e.  ( A I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) )  \/  ( y  e.  ( A I B )  /\  ( C  .-  D )  =  ( A  .-  y
) ) )  <->  ( E. y  e.  P  ( B  e.  ( A I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) )  \/ 
E. y  e.  P  ( y  e.  ( A I B )  /\  ( C  .-  D )  =  ( A  .-  y ) ) ) )
5654, 55bitri 249 . . . 4  |-  ( E. y  e.  P  ( ( B  e.  ( A I y )  \/  y  e.  ( A I B ) )  /\  ( A 
.-  y )  =  ( C  .-  D
) )  <->  ( E. y  e.  P  ( B  e.  ( A I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) )  \/ 
E. y  e.  P  ( y  e.  ( A I B )  /\  ( C  .-  D )  =  ( A  .-  y ) ) ) )
5747, 56sylib 196 . . 3  |-  ( (
ph  /\  2  <_  (
# `  P )
)  ->  ( E. y  e.  P  ( B  e.  ( A I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) )  \/ 
E. y  e.  P  ( y  e.  ( A I B )  /\  ( C  .-  D )  =  ( A  .-  y ) ) ) )
581, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 15legov2 23693 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  .-  B )  .<_  ( C 
.-  D )  <->  E. y  e.  P  ( B  e.  ( A I y )  /\  ( A 
.-  y )  =  ( C  .-  D
) ) ) )
591, 2, 3, 4, 5, 12, 15, 7, 9legov 23692 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( C  .-  D )  .<_  ( A 
.-  B )  <->  E. y  e.  P  ( y  e.  ( A I B )  /\  ( C 
.-  D )  =  ( A  .-  y
) ) ) )
6058, 59orbi12d 709 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( A 
.-  B )  .<_  ( C  .-  D )  \/  ( C  .-  D )  .<_  ( A 
.-  B ) )  <-> 
( E. y  e.  P  ( B  e.  ( A I y )  /\  ( A 
.-  y )  =  ( C  .-  D
) )  \/  E. y  e.  P  (
y  e.  ( A I B )  /\  ( C  .-  D )  =  ( A  .-  y ) ) ) ) )
6160adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  2  <_  (
# `  P )
)  ->  ( (
( A  .-  B
)  .<_  ( C  .-  D )  \/  ( C  .-  D )  .<_  ( A  .-  B ) )  <->  ( E. y  e.  P  ( B  e.  ( A I y )  /\  ( A 
.-  y )  =  ( C  .-  D
) )  \/  E. y  e.  P  (
y  e.  ( A I B )  /\  ( C  .-  D )  =  ( A  .-  y ) ) ) ) )
6257, 61mpbird 232 . 2  |-  ( (
ph  /\  2  <_  (
# `  P )
)  ->  ( ( A  .-  B )  .<_  ( C  .-  D )  \/  ( C  .-  D )  .<_  ( A 
.-  B ) ) )
631, 7tgldimor 23614 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( # `  P
)  =  1  \/  2  <_  ( # `  P
) ) )
6420, 62, 63mpjaodan 784 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  .-  B )  .<_  ( C 
.-  D )  \/  ( C  .-  D
)  .<_  ( A  .-  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762    =/= wne 2655   E.wrex 2808   class class class wbr 4440   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   1c1 9482    <_ cle 9618   2c2 10574   #chash 12360   Basecbs 14479   distcds 14553  TarskiGcstrkg 23546  Itvcitv 23553  ≤Gcleg 23689
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-pm 7413  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-card 8309  df-cda 8537  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-hash 12361  df-word 12495  df-concat 12497  df-s1 12498  df-s2 12763  df-s3 12764  df-trkgc 23565  df-trkgb 23566  df-trkgcb 23567  df-trkg 23571  df-cgrg 23624  df-leg 23690
This theorem is referenced by:  legso  23705  krippen  23769  mideu  23807
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