Theorem legtrid 23698

Description: Trichotomy law for the less-than relationship. Proposition 5.10 of [Schwabhauser] p. 42. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
legval.p	|- P = ( Base ` G )
legval.d	|- .- = ( dist ` G )
legval.i	|- I = (Itv ` G )
legval.l	|- .<_ = (≤G ` G )
legval.g	|- ( ph -> G e. TarskiG )
legid.a	|- ( ph -> A e. P )
legid.b	|- ( ph -> B e. P )
legtrd.c	|- ( ph -> C e. P )
legtrd.d	|- ( ph -> D e. P )

Assertion

Ref	Expression
legtrid	|- ( ph -> ( ( A .- B ) .<_ ( C .- D ) \/ ( C .- D ) .<_ ( A .- B ) ) )

Proof of Theorem legtrid

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		legval.p	. . . . 5 |- P = ( Base ` G )
2		legval.d	. . . . 5 |- .- = ( dist ` G )
3		legval.i	. . . . 5 |- I = (Itv ` G )
4		legval.l	. . . . 5 |- .<_ = (≤G ` G )
5		legval.g	. . . . . 6 |- ( ph -> G e. TarskiG )
6	5	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> G e. TarskiG )
7		legid.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. P )
8	7	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> A e. P )
9		legid.b	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. P )
10	9	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> B e. P )
11	1, 2, 3, 4, 6, 8, 10	legid 23694	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> ( A .- B ) .<_ ( A .- B ) )
12		legtrd.c	. . . . . . 7 |- ( ph -> C e. P )
13	12	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> C e. P )
14		simpr 461	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> ( # ` P ) = 1 )
15		legtrd.d	. . . . . . 7 |- ( ph -> D e. P )
16	15	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> D e. P )
17	1, 2, 3, 6, 8, 10, 13, 14, 16	tgldim0cgr 23617	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> ( A .- B ) = ( C .- D ) )
18	17	breq2d 4452	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> ( ( A .- B ) .<_ ( A .- B ) <-> ( A .- B ) .<_ ( C .- D ) ) )
19	11, 18	mpbid 210	. . 3 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> ( A .- B ) .<_ ( C .- D ) )
20	19	orcd 392	. 2 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> ( ( A .- B ) .<_ ( C .- D ) \/ ( C .- D ) .<_ ( A .- B ) ) )
21	5	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) ) -> G e. TarskiG )
22	21	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) ) /\ ( y e. P /\ ( A e. ( x I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) ) ) -> G e. TarskiG )
23		simplr 754	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) ) -> x e. P )
24	23	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) ) /\ ( y e. P /\ ( A e. ( x I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) ) ) -> x e. P )
25	7	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) ) -> A e. P )
26	25	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) ) /\ ( y e. P /\ ( A e. ( x I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) ) ) -> A e. P )
27	9	ad3antrrr 729	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) ) /\ ( y e. P /\ ( A e. ( x I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) ) ) -> B e. P )
28		simprl 755	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) ) /\ ( y e. P /\ ( A e. ( x I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) ) ) -> y e. P )
29		simplrr 760	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) ) /\ ( y e. P /\ ( A e. ( x I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) ) ) -> A =/= x )
30	29	necomd 2731	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) ) /\ ( y e. P /\ ( A e. ( x I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) ) ) -> x =/= A )
31		simplrl 759	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) ) /\ ( y e. P /\ ( A e. ( x I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) ) ) -> A e. ( B I x ) )
32	1, 2, 3, 22, 27, 26, 24, 31	tgbtwncom 23600	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) ) /\ ( y e. P /\ ( A e. ( x I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) ) ) -> A e. ( x I B ) )
33		simprrl 763	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) ) /\ ( y e. P /\ ( A e. ( x I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) ) ) -> A e. ( x I y ) )
34	1, 3, 22, 24, 26, 27, 28, 30, 32, 33	tgbtwnconn2 23683	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) ) /\ ( y e. P /\ ( A e. ( x I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) ) ) -> ( B e. ( A I y ) \/ y e. ( A I B ) ) )
35		simprrr 764	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) ) /\ ( y e. P /\ ( A e. ( x I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) ) ) -> ( A .- y ) = ( C .- D ) )
36	34, 35	jca 532	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) ) /\ ( y e. P /\ ( A e. ( x I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) ) ) -> ( ( B e. ( A I y ) \/ y e. ( A I B ) ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) )
37	12	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) ) -> C e. P )
38	15	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) ) -> D e. P )
39	1, 2, 3, 21, 23, 25, 37, 38	axtgsegcon 23582	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) ) -> E. y e. P ( A e. ( x I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) )
40	36, 39	reximddv 2932	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) ) -> E. y e. P ( ( B e. ( A I y ) \/ y e. ( A I B ) ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) )
41	40	adantllr 718	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ x e. P ) /\ ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) ) -> E. y e. P ( ( B e. ( A I y ) \/ y e. ( A I B ) ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) )
42	5	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> G e. TarskiG )
43	9	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> B e. P )
44	7	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> A e. P )
45		simpr 461	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> 2 <_ ( # ` P ) )
46	1, 2, 3, 42, 43, 44, 45	tgbtwndiff 23618	. . . . 5 |- ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> E. x e. P ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) )
47	41, 46	r19.29a 2996	. . . 4 |- ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> E. y e. P ( ( B e. ( A I y ) \/ y e. ( A I B ) ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) )
48		andir 864	. . . . . . 7 |- ( ( ( B e. ( A I y ) \/ y e. ( A I B ) ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) <-> ( ( B e. ( A I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) \/ ( y e. ( A I B ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) ) )
49		eqcom 2469	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A .- y ) = ( C .- D ) <-> ( C .- D ) = ( A .- y ) )
50	49	anbi2i 694	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. ( A I B ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) <-> ( y e. ( A I B ) /\ ( C .- D ) = ( A .- y ) ) )
51	50	orbi2i 519	. . . . . . . 8 |- ( ( ( B e. ( A I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) \/ ( y e. ( A I B ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) ) <-> ( ( B e. ( A I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) \/ ( y e. ( A I B ) /\ ( C .- D ) = ( A .- y ) ) ) )
52	51	bibi2i 313	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( B e. ( A I y ) \/ y e. ( A I B ) ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) <-> ( ( B e. ( A I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) \/ ( y e. ( A I B ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) ) ) <-> ( ( ( B e. ( A I y ) \/ y e. ( A I B ) ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) <-> ( ( B e. ( A I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) \/ ( y e. ( A I B ) /\ ( C .- D ) = ( A .- y ) ) ) ) )
53	48, 52	mpbi 208	. . . . . 6 |- ( ( ( B e. ( A I y ) \/ y e. ( A I B ) ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) <-> ( ( B e. ( A I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) \/ ( y e. ( A I B ) /\ ( C .- D ) = ( A .- y ) ) ) )
54	53	rexbii 2958	. . . . 5 |- ( E. y e. P ( ( B e. ( A I y ) \/ y e. ( A I B ) ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) <-> E. y e. P ( ( B e. ( A I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) \/ ( y e. ( A I B ) /\ ( C .- D ) = ( A .- y ) ) ) )
55		r19.43 3010	. . . . 5 |- ( E. y e. P ( ( B e. ( A I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) \/ ( y e. ( A I B ) /\ ( C .- D ) = ( A .- y ) ) ) <-> ( E. y e. P ( B e. ( A I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) \/ E. y e. P ( y e. ( A I B ) /\ ( C .- D ) = ( A .- y ) ) ) )
56	54, 55	bitri 249	. . . 4 |- ( E. y e. P ( ( B e. ( A I y ) \/ y e. ( A I B ) ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) <-> ( E. y e. P ( B e. ( A I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) \/ E. y e. P ( y e. ( A I B ) /\ ( C .- D ) = ( A .- y ) ) ) )
57	47, 56	sylib 196	. . 3 |- ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> ( E. y e. P ( B e. ( A I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) \/ E. y e. P ( y e. ( A I B ) /\ ( C .- D ) = ( A .- y ) ) ) )
58	1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 15	legov2 23693	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A .- B ) .<_ ( C .- D ) <-> E. y e. P ( B e. ( A I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) ) )
59	1, 2, 3, 4, 5, 12, 15, 7, 9	legov 23692	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( C .- D ) .<_ ( A .- B ) <-> E. y e. P ( y e. ( A I B ) /\ ( C .- D ) = ( A .- y ) ) ) )
60	58, 59	orbi12d 709	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( A .- B ) .<_ ( C .- D ) \/ ( C .- D ) .<_ ( A .- B ) ) <-> ( E. y e. P ( B e. ( A I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) \/ E. y e. P ( y e. ( A I B ) /\ ( C .- D ) = ( A .- y ) ) ) ) )
61	60	adantr 465	. . 3 |- ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> ( ( ( A .- B ) .<_ ( C .- D ) \/ ( C .- D ) .<_ ( A .- B ) ) <-> ( E. y e. P ( B e. ( A I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) \/ E. y e. P ( y e. ( A I B ) /\ ( C .- D ) = ( A .- y ) ) ) ) )
62	57, 61	mpbird 232	. 2 |- ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> ( ( A .- B ) .<_ ( C .- D ) \/ ( C .- D ) .<_ ( A .- B ) ) )
63	1, 7	tgldimor 23614	. 2 |- ( ph -> ( ( # ` P ) = 1 \/ 2 <_ ( # ` P ) ) )
64	20, 62, 63	mpjaodan 784	1 |- ( ph -> ( ( A .- B ) .<_ ( C .- D ) \/ ( C .- D ) .<_ ( A .- B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   = wceq 1374   e. wcel 1762   =/= wne 2655   E.wrex 2808   class class class wbr 4440   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   1c1 9482   <_ cle 9618   2c2 10574   #chash 12360   Basecbs 14479   distcds 14553  TarskiGcstrkg 23546  Itvcitv 23553  ≤Gcleg 23689

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-pm 7413  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-card 8309  df-cda 8537  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-hash 12361  df-word 12495  df-concat 12497  df-s1 12498  df-s2 12763  df-s3 12764  df-trkgc 23565  df-trkgb 23566  df-trkgcb 23567  df-trkg 23571  df-cgrg 23624  df-leg 23690

This theorem is referenced by:  legso  23705  krippen  23769  mideu  23807