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Theorem legtrid 23143
Description: Trichotomy law for the less-than relationship. Proposition 5.10 of [Schwabhauser] p. 42. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
legval.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
legval.d  |-  .-  =  ( dist `  G )
legval.i  |-  I  =  (Itv `  G )
legval.l  |-  .<_  =  (≤G `  G )
legval.g  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
legid.a  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
legid.b  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
legtrd.c  |-  ( ph  ->  C  e.  P )
legtrd.d  |-  ( ph  ->  D  e.  P )
Assertion
Ref Expression
legtrid  |-  ( ph  ->  ( ( A  .-  B )  .<_  ( C 
.-  D )  \/  ( C  .-  D
)  .<_  ( A  .-  B ) ) )

Proof of Theorem legtrid
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 legval.p . . . . 5  |-  P  =  ( Base `  G
)
2 legval.d . . . . 5  |-  .-  =  ( dist `  G )
3 legval.i . . . . 5  |-  I  =  (Itv `  G )
4 legval.l . . . . 5  |-  .<_  =  (≤G `  G )
5 legval.g . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
65adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  G  e. TarskiG )
7 legid.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
87adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  A  e.  P
)
9 legid.b . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
109adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  B  e.  P
)
111, 2, 3, 4, 6, 8, 10legid 23139 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  ( A  .-  B )  .<_  ( A 
.-  B ) )
12 legtrd.c . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  P )
1312adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  C  e.  P
)
14 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  ( # `  P
)  =  1 )
15 legtrd.d . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  e.  P )
1615adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  D  e.  P
)
171, 2, 3, 6, 8, 10, 13, 14, 16tgldim0cgr 23076 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  D ) )
1817breq2d 4402 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  ( ( A 
.-  B )  .<_  ( A  .-  B )  <-> 
( A  .-  B
)  .<_  ( C  .-  D ) ) )
1911, 18mpbid 210 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  ( A  .-  B )  .<_  ( C 
.-  D ) )
2019orcd 392 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  ( ( A 
.-  B )  .<_  ( C  .-  D )  \/  ( C  .-  D )  .<_  ( A 
.-  B ) ) )
215ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x ) )  ->  G  e. TarskiG )
2221adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x
) )  /\  (
y  e.  P  /\  ( A  e.  (
x I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) ) ) )  ->  G  e. TarskiG )
23 simplr 754 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x ) )  ->  x  e.  P
)
2423adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x
) )  /\  (
y  e.  P  /\  ( A  e.  (
x I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) ) ) )  ->  x  e.  P )
257ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x ) )  ->  A  e.  P
)
2625adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x
) )  /\  (
y  e.  P  /\  ( A  e.  (
x I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) ) ) )  ->  A  e.  P )
279ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x
) )  /\  (
y  e.  P  /\  ( A  e.  (
x I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) ) ) )  ->  B  e.  P )
28 simprl 755 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x
) )  /\  (
y  e.  P  /\  ( A  e.  (
x I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) ) ) )  -> 
y  e.  P )
29 simplrr 760 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x
) )  /\  (
y  e.  P  /\  ( A  e.  (
x I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) ) ) )  ->  A  =/=  x )
3029necomd 2719 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x
) )  /\  (
y  e.  P  /\  ( A  e.  (
x I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) ) ) )  ->  x  =/=  A )
31 simplrl 759 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x
) )  /\  (
y  e.  P  /\  ( A  e.  (
x I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) ) ) )  ->  A  e.  ( B I x ) )
321, 2, 3, 22, 27, 26, 24, 31tgbtwncom 23059 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x
) )  /\  (
y  e.  P  /\  ( A  e.  (
x I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) ) ) )  ->  A  e.  ( x I B ) )
33 simprrl 763 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x
) )  /\  (
y  e.  P  /\  ( A  e.  (
x I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) ) ) )  ->  A  e.  ( x I y ) )
341, 3, 22, 24, 26, 27, 28, 30, 32, 33tgbtwnconn2 23128 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x
) )  /\  (
y  e.  P  /\  ( A  e.  (
x I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) ) ) )  -> 
( B  e.  ( A I y )  \/  y  e.  ( A I B ) ) )
35 simprrr 764 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x
) )  /\  (
y  e.  P  /\  ( A  e.  (
x I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) ) ) )  -> 
( A  .-  y
)  =  ( C 
.-  D ) )
3634, 35jca 532 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x
) )  /\  (
y  e.  P  /\  ( A  e.  (
x I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) ) ) )  -> 
( ( B  e.  ( A I y )  \/  y  e.  ( A I B ) )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D
) ) )
3712ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x ) )  ->  C  e.  P
)
3815ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x ) )  ->  D  e.  P
)
391, 2, 3, 21, 23, 25, 37, 38axtgsegcon 23041 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x ) )  ->  E. y  e.  P  ( A  e.  (
x I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) ) )
4036, 39reximddv 2925 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x ) )  ->  E. y  e.  P  ( ( B  e.  ( A I y )  \/  y  e.  ( A I B ) )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D
) ) )
4140adantllr 718 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x ) )  ->  E. y  e.  P  ( ( B  e.  ( A I y )  \/  y  e.  ( A I B ) )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D
) ) )
425adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  2  <_  (
# `  P )
)  ->  G  e. TarskiG )
439adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  2  <_  (
# `  P )
)  ->  B  e.  P )
447adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  2  <_  (
# `  P )
)  ->  A  e.  P )
45 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  2  <_  (
# `  P )
)  ->  2  <_  (
# `  P )
)
461, 2, 3, 42, 43, 44, 45tgbtwndiff 23077 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  2  <_  (
# `  P )
)  ->  E. x  e.  P  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x ) )
4741, 46r19.29a 2958 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  2  <_  (
# `  P )
)  ->  E. y  e.  P  ( ( B  e.  ( A I y )  \/  y  e.  ( A I B ) )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) ) )
48 andir 863 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  ( A I y )  \/  y  e.  ( A I B ) )  /\  ( A 
.-  y )  =  ( C  .-  D
) )  <->  ( ( B  e.  ( A I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) )  \/  ( y  e.  ( A I B )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) ) ) )
49 eqcom 2460 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D )  <->  ( C  .-  D )  =  ( A  .-  y ) )
5049anbi2i 694 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ( A I B )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) )  <->  ( y  e.  ( A I B )  /\  ( C 
.-  D )  =  ( A  .-  y
) ) )
5150orbi2i 519 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  e.  ( A I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) )  \/  ( y  e.  ( A I B )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D
) ) )  <->  ( ( B  e.  ( A I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) )  \/  ( y  e.  ( A I B )  /\  ( C  .-  D )  =  ( A  .-  y ) ) ) )
5251bibi2i 313 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( B  e.  ( A I y )  \/  y  e.  ( A I B ) )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D
) )  <->  ( ( B  e.  ( A I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) )  \/  ( y  e.  ( A I B )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) ) ) )  <->  ( (
( B  e.  ( A I y )  \/  y  e.  ( A I B ) )  /\  ( A 
.-  y )  =  ( C  .-  D
) )  <->  ( ( B  e.  ( A I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) )  \/  ( y  e.  ( A I B )  /\  ( C  .-  D )  =  ( A  .-  y ) ) ) ) )
5348, 52mpbi 208 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  ( A I y )  \/  y  e.  ( A I B ) )  /\  ( A 
.-  y )  =  ( C  .-  D
) )  <->  ( ( B  e.  ( A I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) )  \/  ( y  e.  ( A I B )  /\  ( C  .-  D )  =  ( A  .-  y ) ) ) )
5453rexbii 2847 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  P  ( ( B  e.  ( A I y )  \/  y  e.  ( A I B ) )  /\  ( A 
.-  y )  =  ( C  .-  D
) )  <->  E. y  e.  P  ( ( B  e.  ( A I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) )  \/  ( y  e.  ( A I B )  /\  ( C  .-  D )  =  ( A  .-  y ) ) ) )
55 r19.43 2972 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  P  ( ( B  e.  ( A I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) )  \/  ( y  e.  ( A I B )  /\  ( C  .-  D )  =  ( A  .-  y
) ) )  <->  ( E. y  e.  P  ( B  e.  ( A I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) )  \/ 
E. y  e.  P  ( y  e.  ( A I B )  /\  ( C  .-  D )  =  ( A  .-  y ) ) ) )
5654, 55bitri 249 . . . 4  |-  ( E. y  e.  P  ( ( B  e.  ( A I y )  \/  y  e.  ( A I B ) )  /\  ( A 
.-  y )  =  ( C  .-  D
) )  <->  ( E. y  e.  P  ( B  e.  ( A I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) )  \/ 
E. y  e.  P  ( y  e.  ( A I B )  /\  ( C  .-  D )  =  ( A  .-  y ) ) ) )
5747, 56sylib 196 . . 3  |-  ( (
ph  /\  2  <_  (
# `  P )
)  ->  ( E. y  e.  P  ( B  e.  ( A I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) )  \/ 
E. y  e.  P  ( y  e.  ( A I B )  /\  ( C  .-  D )  =  ( A  .-  y ) ) ) )
581, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 15legov2 23138 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  .-  B )  .<_  ( C 
.-  D )  <->  E. y  e.  P  ( B  e.  ( A I y )  /\  ( A 
.-  y )  =  ( C  .-  D
) ) ) )
591, 2, 3, 4, 5, 12, 15, 7, 9legov 23137 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( C  .-  D )  .<_  ( A 
.-  B )  <->  E. y  e.  P  ( y  e.  ( A I B )  /\  ( C 
.-  D )  =  ( A  .-  y
) ) ) )
6058, 59orbi12d 709 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( A 
.-  B )  .<_  ( C  .-  D )  \/  ( C  .-  D )  .<_  ( A 
.-  B ) )  <-> 
( E. y  e.  P  ( B  e.  ( A I y )  /\  ( A 
.-  y )  =  ( C  .-  D
) )  \/  E. y  e.  P  (
y  e.  ( A I B )  /\  ( C  .-  D )  =  ( A  .-  y ) ) ) ) )
6160adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  2  <_  (
# `  P )
)  ->  ( (
( A  .-  B
)  .<_  ( C  .-  D )  \/  ( C  .-  D )  .<_  ( A  .-  B ) )  <->  ( E. y  e.  P  ( B  e.  ( A I y )  /\  ( A 
.-  y )  =  ( C  .-  D
) )  \/  E. y  e.  P  (
y  e.  ( A I B )  /\  ( C  .-  D )  =  ( A  .-  y ) ) ) ) )
6257, 61mpbird 232 . 2  |-  ( (
ph  /\  2  <_  (
# `  P )
)  ->  ( ( A  .-  B )  .<_  ( C  .-  D )  \/  ( C  .-  D )  .<_  ( A 
.-  B ) ) )
631, 7tgldimor 23073 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( # `  P
)  =  1  \/  2  <_  ( # `  P
) ) )
6420, 62, 63mpjaodan 784 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  .-  B )  .<_  ( C 
.-  D )  \/  ( C  .-  D
)  .<_  ( A  .-  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2644   E.wrex 2796   class class class wbr 4390   ` cfv 5516  (class class class)co 6190   1c1 9384    <_ cle 9520   2c2 10472   #chash 12204   Basecbs 14276   distcds 14349  TarskiGcstrkg 23005  Itvcitv 23012  ≤Gcleg 23134
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-om 6577  df-1st 6677  df-2nd 6678  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-1o 7020  df-oadd 7024  df-er 7201  df-pm 7317  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-fin 7414  df-card 8210  df-cda 8438  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-nn 10424  df-2 10481  df-3 10482  df-n0 10681  df-z 10748  df-uz 10963  df-fz 11539  df-fzo 11650  df-hash 12205  df-word 12331  df-concat 12333  df-s1 12334  df-s2 12577  df-s3 12578  df-trkgc 23024  df-trkgb 23025  df-trkgcb 23026  df-trkg 23030  df-cgrg 23083  df-leg 23135
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