Theorem legtrid 23002

Description: Trichotomy law for the less-than relationship. Proposition 5.10 of [Schwabhauser] p. 42. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
legval.p	|- P = ( Base ` G )
legval.d	|- .- = ( dist ` G )
legval.i	|- I = (Itv ` G )
legval.l	|- .<_ = (≤G ` G )
legval.g	|- ( ph -> G e. TarskiG )
legid.a	|- ( ph -> A e. P )
legid.b	|- ( ph -> B e. P )
legtrd.c	|- ( ph -> C e. P )
legtrd.d	|- ( ph -> D e. P )

Assertion

Ref	Expression
legtrid	|- ( ph -> ( ( A .- B ) .<_ ( C .- D ) \/ ( C .- D ) .<_ ( A .- B ) ) )

Proof of Theorem legtrid

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		legval.p	. . . . 5 |- P = ( Base ` G )
2		legval.d	. . . . 5 |- .- = ( dist ` G )
3		legval.i	. . . . 5 |- I = (Itv ` G )
4		legval.l	. . . . 5 |- .<_ = (≤G ` G )
5		legval.g	. . . . . 6 |- ( ph -> G e. TarskiG )
6	5	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> G e. TarskiG )
7		legid.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. P )
8	7	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> A e. P )
9		legid.b	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. P )
10	9	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> B e. P )
11	1, 2, 3, 4, 6, 8, 10	legid 22998	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> ( A .- B ) .<_ ( A .- B ) )
12		legtrd.c	. . . . . . 7 |- ( ph -> C e. P )
13	12	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> C e. P )
14		simpr 461	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> ( # ` P ) = 1 )
15		legtrd.d	. . . . . . 7 |- ( ph -> D e. P )
16	15	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> D e. P )
17	1, 2, 3, 6, 8, 10, 13, 14, 16	tgldim0cgr 22938	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> ( A .- B ) = ( C .- D ) )
18	17	breq2d 4299	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> ( ( A .- B ) .<_ ( A .- B ) <-> ( A .- B ) .<_ ( C .- D ) ) )
19	11, 18	mpbid 210	. . 3 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> ( A .- B ) .<_ ( C .- D ) )
20	19	orcd 392	. 2 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> ( ( A .- B ) .<_ ( C .- D ) \/ ( C .- D ) .<_ ( A .- B ) ) )
21	5	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) ) -> G e. TarskiG )
22	21	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) ) /\ ( y e. P /\ ( A e. ( x I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) ) ) -> G e. TarskiG )
23		simplr 754	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) ) -> x e. P )
24	23	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) ) /\ ( y e. P /\ ( A e. ( x I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) ) ) -> x e. P )
25	7	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) ) -> A e. P )
26	25	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) ) /\ ( y e. P /\ ( A e. ( x I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) ) ) -> A e. P )
27	9	ad3antrrr 729	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) ) /\ ( y e. P /\ ( A e. ( x I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) ) ) -> B e. P )
28		simprl 755	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) ) /\ ( y e. P /\ ( A e. ( x I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) ) ) -> y e. P )
29		simplrr 760	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) ) /\ ( y e. P /\ ( A e. ( x I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) ) ) -> A =/= x )
30	29	necomd 2690	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) ) /\ ( y e. P /\ ( A e. ( x I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) ) ) -> x =/= A )
31		simplrl 759	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) ) /\ ( y e. P /\ ( A e. ( x I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) ) ) -> A e. ( B I x ) )
32	1, 2, 3, 22, 27, 26, 24, 31	tgbtwncom 22922	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) ) /\ ( y e. P /\ ( A e. ( x I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) ) ) -> A e. ( x I B ) )
33		simprrl 763	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) ) /\ ( y e. P /\ ( A e. ( x I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) ) ) -> A e. ( x I y ) )
34	1, 3, 22, 24, 26, 27, 28, 30, 32, 33	tgbtwnconn2 22988	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) ) /\ ( y e. P /\ ( A e. ( x I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) ) ) -> ( B e. ( A I y ) \/ y e. ( A I B ) ) )
35		simprrr 764	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) ) /\ ( y e. P /\ ( A e. ( x I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) ) ) -> ( A .- y ) = ( C .- D ) )
36	34, 35	jca 532	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) ) /\ ( y e. P /\ ( A e. ( x I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) ) ) -> ( ( B e. ( A I y ) \/ y e. ( A I B ) ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) )
37	12	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) ) -> C e. P )
38	15	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) ) -> D e. P )
39	1, 2, 3, 21, 23, 25, 37, 38	axtgsegcon 22905	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) ) -> E. y e. P ( A e. ( x I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) )
40	36, 39	reximddv 2824	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) ) -> E. y e. P ( ( B e. ( A I y ) \/ y e. ( A I B ) ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) )
41	40	adantllr 718	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ x e. P ) /\ ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) ) -> E. y e. P ( ( B e. ( A I y ) \/ y e. ( A I B ) ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) )
42	5	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> G e. TarskiG )
43	9	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> B e. P )
44	7	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> A e. P )
45		simpr 461	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> 2 <_ ( # ` P ) )
46	1, 2, 3, 42, 43, 44, 45	tgbtwndiff 22939	. . . . 5 |- ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> E. x e. P ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) )
47	41, 46	r19.29a 2857	. . . 4 |- ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> E. y e. P ( ( B e. ( A I y ) \/ y e. ( A I B ) ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) )
48		andir 863	. . . . . . 7 |- ( ( ( B e. ( A I y ) \/ y e. ( A I B ) ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) <-> ( ( B e. ( A I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) \/ ( y e. ( A I B ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) ) )
49		eqcom 2440	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A .- y ) = ( C .- D ) <-> ( C .- D ) = ( A .- y ) )
50	49	anbi2i 694	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. ( A I B ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) <-> ( y e. ( A I B ) /\ ( C .- D ) = ( A .- y ) ) )
51	50	orbi2i 519	. . . . . . . 8 |- ( ( ( B e. ( A I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) \/ ( y e. ( A I B ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) ) <-> ( ( B e. ( A I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) \/ ( y e. ( A I B ) /\ ( C .- D ) = ( A .- y ) ) ) )
52	51	bibi2i 313	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( B e. ( A I y ) \/ y e. ( A I B ) ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) <-> ( ( B e. ( A I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) \/ ( y e. ( A I B ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) ) ) <-> ( ( ( B e. ( A I y ) \/ y e. ( A I B ) ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) <-> ( ( B e. ( A I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) \/ ( y e. ( A I B ) /\ ( C .- D ) = ( A .- y ) ) ) ) )
53	48, 52	mpbi 208	. . . . . 6 |- ( ( ( B e. ( A I y ) \/ y e. ( A I B ) ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) <-> ( ( B e. ( A I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) \/ ( y e. ( A I B ) /\ ( C .- D ) = ( A .- y ) ) ) )
54	53	rexbii 2735	. . . . 5 |- ( E. y e. P ( ( B e. ( A I y ) \/ y e. ( A I B ) ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) <-> E. y e. P ( ( B e. ( A I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) \/ ( y e. ( A I B ) /\ ( C .- D ) = ( A .- y ) ) ) )
55		r19.43 2871	. . . . 5 |- ( E. y e. P ( ( B e. ( A I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) \/ ( y e. ( A I B ) /\ ( C .- D ) = ( A .- y ) ) ) <-> ( E. y e. P ( B e. ( A I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) \/ E. y e. P ( y e. ( A I B ) /\ ( C .- D ) = ( A .- y ) ) ) )
56	54, 55	bitri 249	. . . 4 |- ( E. y e. P ( ( B e. ( A I y ) \/ y e. ( A I B ) ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) <-> ( E. y e. P ( B e. ( A I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) \/ E. y e. P ( y e. ( A I B ) /\ ( C .- D ) = ( A .- y ) ) ) )
57	47, 56	sylib 196	. . 3 |- ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> ( E. y e. P ( B e. ( A I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) \/ E. y e. P ( y e. ( A I B ) /\ ( C .- D ) = ( A .- y ) ) ) )
58	1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 15	legov2 22997	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A .- B ) .<_ ( C .- D ) <-> E. y e. P ( B e. ( A I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) ) )
59	1, 2, 3, 4, 5, 12, 15, 7, 9	legov 22996	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( C .- D ) .<_ ( A .- B ) <-> E. y e. P ( y e. ( A I B ) /\ ( C .- D ) = ( A .- y ) ) ) )
60	58, 59	orbi12d 709	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( A .- B ) .<_ ( C .- D ) \/ ( C .- D ) .<_ ( A .- B ) ) <-> ( E. y e. P ( B e. ( A I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) \/ E. y e. P ( y e. ( A I B ) /\ ( C .- D ) = ( A .- y ) ) ) ) )
61	60	adantr 465	. . 3 |- ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> ( ( ( A .- B ) .<_ ( C .- D ) \/ ( C .- D ) .<_ ( A .- B ) ) <-> ( E. y e. P ( B e. ( A I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) \/ E. y e. P ( y e. ( A I B ) /\ ( C .- D ) = ( A .- y ) ) ) ) )
62	57, 61	mpbird 232	. 2 |- ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> ( ( A .- B ) .<_ ( C .- D ) \/ ( C .- D ) .<_ ( A .- B ) ) )
63	1, 7	tgldimor 22935	. 2 |- ( ph -> ( ( # ` P ) = 1 \/ 2 <_ ( # ` P ) ) )
64	20, 62, 63	mpjaodan 784	1 |- ( ph -> ( ( A .- B ) .<_ ( C .- D ) \/ ( C .- D ) .<_ ( A .- B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   =/= wne 2601   E.wrex 2711   class class class wbr 4287   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   1c1 9275   <_ cle 9411   2c2 10363   #chash 12095   Basecbs 14166   distcds 14239  TarskiGcstrkg 22869  Itvcitv 22877  ≤Gcleg 22993

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-pm 7209  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-card 8101  df-cda 8329  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-hash 12096  df-word 12221  df-concat 12223  df-s1 12224  df-s2 12467  df-s3 12468  df-trkgc 22889  df-trkgb 22890  df-trkgcb 22891  df-trkg 22896  df-cgrg 22944  df-leg 22994

This theorem is referenced by:  krippen  23062