Theorem legtrid 24179

Description: Trichotomy law for the less-than relationship. Proposition 5.10 of [Schwabhauser] p. 42. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
legval.p	|- P = ( Base ` G )
legval.d	|- .- = ( dist ` G )
legval.i	|- I = (Itv ` G )
legval.l	|- .<_ = (≤G ` G )
legval.g	|- ( ph -> G e. TarskiG )
legid.a	|- ( ph -> A e. P )
legid.b	|- ( ph -> B e. P )
legtrd.c	|- ( ph -> C e. P )
legtrd.d	|- ( ph -> D e. P )

Assertion

Ref	Expression
legtrid	|- ( ph -> ( ( A .- B ) .<_ ( C .- D ) \/ ( C .- D ) .<_ ( A .- B ) ) )

Proof of Theorem legtrid

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		legval.p	. . . . 5 |- P = ( Base ` G )
2		legval.d	. . . . 5 |- .- = ( dist ` G )
3		legval.i	. . . . 5 |- I = (Itv ` G )
4		legval.l	. . . . 5 |- .<_ = (≤G ` G )
5		legval.g	. . . . . 6 |- ( ph -> G e. TarskiG )
6	5	adantr 463	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> G e. TarskiG )
7		legid.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. P )
8	7	adantr 463	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> A e. P )
9		legid.b	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. P )
10	9	adantr 463	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> B e. P )
11	1, 2, 3, 4, 6, 8, 10	legid 24175	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> ( A .- B ) .<_ ( A .- B ) )
12		legtrd.c	. . . . . 6 |- ( ph -> C e. P )
13	12	adantr 463	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> C e. P )
14		simpr 459	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> ( # ` P ) = 1 )
15		legtrd.d	. . . . . 6 |- ( ph -> D e. P )
16	15	adantr 463	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> D e. P )
17	1, 2, 3, 6, 8, 10, 13, 14, 16	tgldim0cgr 24097	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> ( A .- B ) = ( C .- D ) )
18	11, 17	breqtrd 4463	. . 3 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> ( A .- B ) .<_ ( C .- D ) )
19	18	orcd 390	. 2 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> ( ( A .- B ) .<_ ( C .- D ) \/ ( C .- D ) .<_ ( A .- B ) ) )
20	5	ad3antrrr 727	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) ) /\ ( y e. P /\ ( A e. ( x I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) ) ) -> G e. TarskiG )
21		simplr 753	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) ) -> x e. P )
22	21	adantr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) ) /\ ( y e. P /\ ( A e. ( x I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) ) ) -> x e. P )
23	7	ad3antrrr 727	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) ) /\ ( y e. P /\ ( A e. ( x I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) ) ) -> A e. P )
24	9	ad3antrrr 727	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) ) /\ ( y e. P /\ ( A e. ( x I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) ) ) -> B e. P )
25		simprl 754	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) ) /\ ( y e. P /\ ( A e. ( x I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) ) ) -> y e. P )
26		simplrr 760	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) ) /\ ( y e. P /\ ( A e. ( x I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) ) ) -> A =/= x )
27	26	necomd 2725	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) ) /\ ( y e. P /\ ( A e. ( x I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) ) ) -> x =/= A )
28		simplrl 759	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) ) /\ ( y e. P /\ ( A e. ( x I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) ) ) -> A e. ( B I x ) )
29	1, 2, 3, 20, 24, 23, 22, 28	tgbtwncom 24080	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) ) /\ ( y e. P /\ ( A e. ( x I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) ) ) -> A e. ( x I B ) )
30		simprrl 763	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) ) /\ ( y e. P /\ ( A e. ( x I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) ) ) -> A e. ( x I y ) )
31	1, 3, 20, 22, 23, 24, 25, 27, 29, 30	tgbtwnconn2 24164	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) ) /\ ( y e. P /\ ( A e. ( x I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) ) ) -> ( B e. ( A I y ) \/ y e. ( A I B ) ) )
32		simprrr 764	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) ) /\ ( y e. P /\ ( A e. ( x I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) ) ) -> ( A .- y ) = ( C .- D ) )
33	31, 32	jca 530	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) ) /\ ( y e. P /\ ( A e. ( x I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) ) ) -> ( ( B e. ( A I y ) \/ y e. ( A I B ) ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) )
34	5	ad2antrr 723	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) ) -> G e. TarskiG )
35	7	ad2antrr 723	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) ) -> A e. P )
36	12	ad2antrr 723	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) ) -> C e. P )
37	15	ad2antrr 723	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) ) -> D e. P )
38	1, 2, 3, 34, 21, 35, 36, 37	axtgsegcon 24059	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) ) -> E. y e. P ( A e. ( x I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) )
39	33, 38	reximddv 2930	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) ) -> E. y e. P ( ( B e. ( A I y ) \/ y e. ( A I B ) ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) )
40	39	adantllr 716	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ x e. P ) /\ ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) ) -> E. y e. P ( ( B e. ( A I y ) \/ y e. ( A I B ) ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) )
41	5	adantr 463	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> G e. TarskiG )
42	9	adantr 463	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> B e. P )
43	7	adantr 463	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> A e. P )
44		simpr 459	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> 2 <_ ( # ` P ) )
45	1, 2, 3, 41, 42, 43, 44	tgbtwndiff 24098	. . . . 5 |- ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> E. x e. P ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) )
46	40, 45	r19.29a 2996	. . . 4 |- ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> E. y e. P ( ( B e. ( A I y ) \/ y e. ( A I B ) ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) )
47		andir 866	. . . . . . 7 |- ( ( ( B e. ( A I y ) \/ y e. ( A I B ) ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) <-> ( ( B e. ( A I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) \/ ( y e. ( A I B ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) ) )
48		eqcom 2463	. . . . . . . . 9 |- ( ( A .- y ) = ( C .- D ) <-> ( C .- D ) = ( A .- y ) )
49	48	anbi2i 692	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. ( A I B ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) <-> ( y e. ( A I B ) /\ ( C .- D ) = ( A .- y ) ) )
50	49	orbi2i 517	. . . . . . 7 |- ( ( ( B e. ( A I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) \/ ( y e. ( A I B ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) ) <-> ( ( B e. ( A I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) \/ ( y e. ( A I B ) /\ ( C .- D ) = ( A .- y ) ) ) )
51	47, 50	bitri 249	. . . . . 6 |- ( ( ( B e. ( A I y ) \/ y e. ( A I B ) ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) <-> ( ( B e. ( A I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) \/ ( y e. ( A I B ) /\ ( C .- D ) = ( A .- y ) ) ) )
52	51	rexbii 2956	. . . . 5 |- ( E. y e. P ( ( B e. ( A I y ) \/ y e. ( A I B ) ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) <-> E. y e. P ( ( B e. ( A I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) \/ ( y e. ( A I B ) /\ ( C .- D ) = ( A .- y ) ) ) )
53		r19.43 3010	. . . . 5 |- ( E. y e. P ( ( B e. ( A I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) \/ ( y e. ( A I B ) /\ ( C .- D ) = ( A .- y ) ) ) <-> ( E. y e. P ( B e. ( A I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) \/ E. y e. P ( y e. ( A I B ) /\ ( C .- D ) = ( A .- y ) ) ) )
54	52, 53	bitri 249	. . . 4 |- ( E. y e. P ( ( B e. ( A I y ) \/ y e. ( A I B ) ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) <-> ( E. y e. P ( B e. ( A I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) \/ E. y e. P ( y e. ( A I B ) /\ ( C .- D ) = ( A .- y ) ) ) )
55	46, 54	sylib 196	. . 3 |- ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> ( E. y e. P ( B e. ( A I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) \/ E. y e. P ( y e. ( A I B ) /\ ( C .- D ) = ( A .- y ) ) ) )
56	1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 15	legov2 24174	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A .- B ) .<_ ( C .- D ) <-> E. y e. P ( B e. ( A I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) ) )
57	1, 2, 3, 4, 5, 12, 15, 7, 9	legov 24173	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( C .- D ) .<_ ( A .- B ) <-> E. y e. P ( y e. ( A I B ) /\ ( C .- D ) = ( A .- y ) ) ) )
58	56, 57	orbi12d 707	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( A .- B ) .<_ ( C .- D ) \/ ( C .- D ) .<_ ( A .- B ) ) <-> ( E. y e. P ( B e. ( A I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) \/ E. y e. P ( y e. ( A I B ) /\ ( C .- D ) = ( A .- y ) ) ) ) )
59	58	adantr 463	. . 3 |- ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> ( ( ( A .- B ) .<_ ( C .- D ) \/ ( C .- D ) .<_ ( A .- B ) ) <-> ( E. y e. P ( B e. ( A I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) \/ E. y e. P ( y e. ( A I B ) /\ ( C .- D ) = ( A .- y ) ) ) ) )
60	55, 59	mpbird 232	. 2 |- ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> ( ( A .- B ) .<_ ( C .- D ) \/ ( C .- D ) .<_ ( A .- B ) ) )
61	1, 7	tgldimor 24094	. 2 |- ( ph -> ( ( # ` P ) = 1 \/ 2 <_ ( # ` P ) ) )
62	19, 60, 61	mpjaodan 784	1 |- ( ph -> ( ( A .- B ) .<_ ( C .- D ) \/ ( C .- D ) .<_ ( A .- B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 366   /\ wa 367   = wceq 1398   e. wcel 1823   =/= wne 2649   E.wrex 2805   class class class wbr 4439   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   1c1 9482   <_ cle 9618   2c2 10581   #chash 12387   Basecbs 14716   distcds 14793  TarskiGcstrkg 24023  Itvcitv 24030  ≤Gcleg 24170

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-pm 7415  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-hash 12388  df-word 12526  df-concat 12528  df-s1 12529  df-s2 12804  df-s3 12805  df-trkgc 24042  df-trkgb 24043  df-trkgcb 24044  df-trkg 24048  df-cgrg 24104  df-leg 24171

This theorem is referenced by:  legso  24186  krippen  24269  midex  24312  opphllem5  24324  opphllem6  24325