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Theorem legtrid 24179
Description: Trichotomy law for the less-than relationship. Proposition 5.10 of [Schwabhauser] p. 42. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
legval.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
legval.d  |-  .-  =  ( dist `  G )
legval.i  |-  I  =  (Itv `  G )
legval.l  |-  .<_  =  (≤G `  G )
legval.g  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
legid.a  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
legid.b  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
legtrd.c  |-  ( ph  ->  C  e.  P )
legtrd.d  |-  ( ph  ->  D  e.  P )
Assertion
Ref Expression
legtrid  |-  ( ph  ->  ( ( A  .-  B )  .<_  ( C 
.-  D )  \/  ( C  .-  D
)  .<_  ( A  .-  B ) ) )

Proof of Theorem legtrid
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 legval.p . . . . 5  |-  P  =  ( Base `  G
)
2 legval.d . . . . 5  |-  .-  =  ( dist `  G )
3 legval.i . . . . 5  |-  I  =  (Itv `  G )
4 legval.l . . . . 5  |-  .<_  =  (≤G `  G )
5 legval.g . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
65adantr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  G  e. TarskiG )
7 legid.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
87adantr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  A  e.  P
)
9 legid.b . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
109adantr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  B  e.  P
)
111, 2, 3, 4, 6, 8, 10legid 24175 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  ( A  .-  B )  .<_  ( A 
.-  B ) )
12 legtrd.c . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  P )
1312adantr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  C  e.  P
)
14 simpr 459 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  ( # `  P
)  =  1 )
15 legtrd.d . . . . . 6  |-  ( ph  ->  D  e.  P )
1615adantr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  D  e.  P
)
171, 2, 3, 6, 8, 10, 13, 14, 16tgldim0cgr 24097 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  D ) )
1811, 17breqtrd 4463 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  ( A  .-  B )  .<_  ( C 
.-  D ) )
1918orcd 390 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( # `  P
)  =  1 )  ->  ( ( A 
.-  B )  .<_  ( C  .-  D )  \/  ( C  .-  D )  .<_  ( A 
.-  B ) ) )
205ad3antrrr 727 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x
) )  /\  (
y  e.  P  /\  ( A  e.  (
x I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) ) ) )  ->  G  e. TarskiG )
21 simplr 753 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x ) )  ->  x  e.  P
)
2221adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x
) )  /\  (
y  e.  P  /\  ( A  e.  (
x I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) ) ) )  ->  x  e.  P )
237ad3antrrr 727 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x
) )  /\  (
y  e.  P  /\  ( A  e.  (
x I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) ) ) )  ->  A  e.  P )
249ad3antrrr 727 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x
) )  /\  (
y  e.  P  /\  ( A  e.  (
x I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) ) ) )  ->  B  e.  P )
25 simprl 754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x
) )  /\  (
y  e.  P  /\  ( A  e.  (
x I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) ) ) )  -> 
y  e.  P )
26 simplrr 760 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x
) )  /\  (
y  e.  P  /\  ( A  e.  (
x I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) ) ) )  ->  A  =/=  x )
2726necomd 2725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x
) )  /\  (
y  e.  P  /\  ( A  e.  (
x I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) ) ) )  ->  x  =/=  A )
28 simplrl 759 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x
) )  /\  (
y  e.  P  /\  ( A  e.  (
x I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) ) ) )  ->  A  e.  ( B I x ) )
291, 2, 3, 20, 24, 23, 22, 28tgbtwncom 24080 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x
) )  /\  (
y  e.  P  /\  ( A  e.  (
x I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) ) ) )  ->  A  e.  ( x I B ) )
30 simprrl 763 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x
) )  /\  (
y  e.  P  /\  ( A  e.  (
x I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) ) ) )  ->  A  e.  ( x I y ) )
311, 3, 20, 22, 23, 24, 25, 27, 29, 30tgbtwnconn2 24164 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x
) )  /\  (
y  e.  P  /\  ( A  e.  (
x I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) ) ) )  -> 
( B  e.  ( A I y )  \/  y  e.  ( A I B ) ) )
32 simprrr 764 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x
) )  /\  (
y  e.  P  /\  ( A  e.  (
x I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) ) ) )  -> 
( A  .-  y
)  =  ( C 
.-  D ) )
3331, 32jca 530 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x
) )  /\  (
y  e.  P  /\  ( A  e.  (
x I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) ) ) )  -> 
( ( B  e.  ( A I y )  \/  y  e.  ( A I B ) )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D
) ) )
345ad2antrr 723 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x ) )  ->  G  e. TarskiG )
357ad2antrr 723 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x ) )  ->  A  e.  P
)
3612ad2antrr 723 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x ) )  ->  C  e.  P
)
3715ad2antrr 723 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x ) )  ->  D  e.  P
)
381, 2, 3, 34, 21, 35, 36, 37axtgsegcon 24059 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x ) )  ->  E. y  e.  P  ( A  e.  (
x I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) ) )
3933, 38reximddv 2930 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x ) )  ->  E. y  e.  P  ( ( B  e.  ( A I y )  \/  y  e.  ( A I B ) )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D
) ) )
4039adantllr 716 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  2  <_  ( # `  P
) )  /\  x  e.  P )  /\  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x ) )  ->  E. y  e.  P  ( ( B  e.  ( A I y )  \/  y  e.  ( A I B ) )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D
) ) )
415adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  2  <_  (
# `  P )
)  ->  G  e. TarskiG )
429adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  2  <_  (
# `  P )
)  ->  B  e.  P )
437adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  2  <_  (
# `  P )
)  ->  A  e.  P )
44 simpr 459 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  2  <_  (
# `  P )
)  ->  2  <_  (
# `  P )
)
451, 2, 3, 41, 42, 43, 44tgbtwndiff 24098 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  2  <_  (
# `  P )
)  ->  E. x  e.  P  ( A  e.  ( B I x )  /\  A  =/=  x ) )
4640, 45r19.29a 2996 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  2  <_  (
# `  P )
)  ->  E. y  e.  P  ( ( B  e.  ( A I y )  \/  y  e.  ( A I B ) )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) ) )
47 andir 866 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  ( A I y )  \/  y  e.  ( A I B ) )  /\  ( A 
.-  y )  =  ( C  .-  D
) )  <->  ( ( B  e.  ( A I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) )  \/  ( y  e.  ( A I B )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) ) ) )
48 eqcom 2463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D )  <->  ( C  .-  D )  =  ( A  .-  y ) )
4948anbi2i 692 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ( A I B )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) )  <->  ( y  e.  ( A I B )  /\  ( C 
.-  D )  =  ( A  .-  y
) ) )
5049orbi2i 517 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  e.  ( A I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) )  \/  ( y  e.  ( A I B )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D
) ) )  <->  ( ( B  e.  ( A I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) )  \/  ( y  e.  ( A I B )  /\  ( C  .-  D )  =  ( A  .-  y ) ) ) )
5147, 50bitri 249 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  e.  ( A I y )  \/  y  e.  ( A I B ) )  /\  ( A 
.-  y )  =  ( C  .-  D
) )  <->  ( ( B  e.  ( A I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) )  \/  ( y  e.  ( A I B )  /\  ( C  .-  D )  =  ( A  .-  y ) ) ) )
5251rexbii 2956 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  P  ( ( B  e.  ( A I y )  \/  y  e.  ( A I B ) )  /\  ( A 
.-  y )  =  ( C  .-  D
) )  <->  E. y  e.  P  ( ( B  e.  ( A I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) )  \/  ( y  e.  ( A I B )  /\  ( C  .-  D )  =  ( A  .-  y ) ) ) )
53 r19.43 3010 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  P  ( ( B  e.  ( A I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) )  \/  ( y  e.  ( A I B )  /\  ( C  .-  D )  =  ( A  .-  y
) ) )  <->  ( E. y  e.  P  ( B  e.  ( A I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) )  \/ 
E. y  e.  P  ( y  e.  ( A I B )  /\  ( C  .-  D )  =  ( A  .-  y ) ) ) )
5452, 53bitri 249 . . . 4  |-  ( E. y  e.  P  ( ( B  e.  ( A I y )  \/  y  e.  ( A I B ) )  /\  ( A 
.-  y )  =  ( C  .-  D
) )  <->  ( E. y  e.  P  ( B  e.  ( A I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) )  \/ 
E. y  e.  P  ( y  e.  ( A I B )  /\  ( C  .-  D )  =  ( A  .-  y ) ) ) )
5546, 54sylib 196 . . 3  |-  ( (
ph  /\  2  <_  (
# `  P )
)  ->  ( E. y  e.  P  ( B  e.  ( A I y )  /\  ( A  .-  y )  =  ( C  .-  D ) )  \/ 
E. y  e.  P  ( y  e.  ( A I B )  /\  ( C  .-  D )  =  ( A  .-  y ) ) ) )
561, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 15legov2 24174 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  .-  B )  .<_  ( C 
.-  D )  <->  E. y  e.  P  ( B  e.  ( A I y )  /\  ( A 
.-  y )  =  ( C  .-  D
) ) ) )
571, 2, 3, 4, 5, 12, 15, 7, 9legov 24173 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( C  .-  D )  .<_  ( A 
.-  B )  <->  E. y  e.  P  ( y  e.  ( A I B )  /\  ( C 
.-  D )  =  ( A  .-  y
) ) ) )
5856, 57orbi12d 707 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( A 
.-  B )  .<_  ( C  .-  D )  \/  ( C  .-  D )  .<_  ( A 
.-  B ) )  <-> 
( E. y  e.  P  ( B  e.  ( A I y )  /\  ( A 
.-  y )  =  ( C  .-  D
) )  \/  E. y  e.  P  (
y  e.  ( A I B )  /\  ( C  .-  D )  =  ( A  .-  y ) ) ) ) )
5958adantr 463 . . 3  |-  ( (
ph  /\  2  <_  (
# `  P )
)  ->  ( (
( A  .-  B
)  .<_  ( C  .-  D )  \/  ( C  .-  D )  .<_  ( A  .-  B ) )  <->  ( E. y  e.  P  ( B  e.  ( A I y )  /\  ( A 
.-  y )  =  ( C  .-  D
) )  \/  E. y  e.  P  (
y  e.  ( A I B )  /\  ( C  .-  D )  =  ( A  .-  y ) ) ) ) )
6055, 59mpbird 232 . 2  |-  ( (
ph  /\  2  <_  (
# `  P )
)  ->  ( ( A  .-  B )  .<_  ( C  .-  D )  \/  ( C  .-  D )  .<_  ( A 
.-  B ) ) )
611, 7tgldimor 24094 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( # `  P
)  =  1  \/  2  <_  ( # `  P
) ) )
6219, 60, 61mpjaodan 784 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  .-  B )  .<_  ( C 
.-  D )  \/  ( C  .-  D
)  .<_  ( A  .-  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649   E.wrex 2805   class class class wbr 4439   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   1c1 9482    <_ cle 9618   2c2 10581   #chash 12387   Basecbs 14716   distcds 14793  TarskiGcstrkg 24023  Itvcitv 24030  ≤Gcleg 24170
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-pm 7415  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-hash 12388  df-word 12526  df-concat 12528  df-s1 12529  df-s2 12804  df-s3 12805  df-trkgc 24042  df-trkgb 24043  df-trkgcb 24044  df-trkg 24048  df-cgrg 24104  df-leg 24171
This theorem is referenced by:  legso  24186  krippen  24269  midex  24312  opphllem5  24324  opphllem6  24325
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