Theorem legtrid 24628

Description: Trichotomy law for the less-than relationship. Proposition 5.10 of [Schwabhauser] p. 42. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
legval.p	|- P = ( Base ` G )
legval.d	|- .- = ( dist ` G )
legval.i	|- I = (Itv ` G )
legval.l	|- .<_ = (≤G ` G )
legval.g	|- ( ph -> G e. TarskiG )
legid.a	|- ( ph -> A e. P )
legid.b	|- ( ph -> B e. P )
legtrd.c	|- ( ph -> C e. P )
legtrd.d	|- ( ph -> D e. P )

Assertion

Ref	Expression
legtrid	|- ( ph -> ( ( A .- B ) .<_ ( C .- D ) \/ ( C .- D ) .<_ ( A .- B ) ) )

Proof of Theorem legtrid

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		legval.p	. . . . 5 |- P = ( Base ` G )
2		legval.d	. . . . 5 |- .- = ( dist ` G )
3		legval.i	. . . . 5 |- I = (Itv ` G )
4		legval.l	. . . . 5 |- .<_ = (≤G ` G )
5		legval.g	. . . . . 6 |- ( ph -> G e. TarskiG )
6	5	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> G e. TarskiG )
7		legid.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. P )
8	7	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> A e. P )
9		legid.b	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. P )
10	9	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> B e. P )
11	1, 2, 3, 4, 6, 8, 10	legid 24624	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> ( A .- B ) .<_ ( A .- B ) )
12		legtrd.c	. . . . . 6 |- ( ph -> C e. P )
13	12	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> C e. P )
14		simpr 463	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> ( # ` P ) = 1 )
15		legtrd.d	. . . . . 6 |- ( ph -> D e. P )
16	15	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> D e. P )
17	1, 2, 3, 6, 8, 10, 13, 14, 16	tgldim0cgr 24541	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> ( A .- B ) = ( C .- D ) )
18	11, 17	breqtrd 4446	. . 3 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> ( A .- B ) .<_ ( C .- D ) )
19	18	orcd 394	. 2 |- ( ( ph /\ ( # ` P ) = 1 ) -> ( ( A .- B ) .<_ ( C .- D ) \/ ( C .- D ) .<_ ( A .- B ) ) )
20	5	ad3antrrr 735	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) ) /\ ( y e. P /\ ( A e. ( x I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) ) ) -> G e. TarskiG )
21		simplr 761	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) ) -> x e. P )
22	21	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) ) /\ ( y e. P /\ ( A e. ( x I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) ) ) -> x e. P )
23	7	ad3antrrr 735	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) ) /\ ( y e. P /\ ( A e. ( x I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) ) ) -> A e. P )
24	9	ad3antrrr 735	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) ) /\ ( y e. P /\ ( A e. ( x I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) ) ) -> B e. P )
25		simprl 763	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) ) /\ ( y e. P /\ ( A e. ( x I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) ) ) -> y e. P )
26		simplrr 770	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) ) /\ ( y e. P /\ ( A e. ( x I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) ) ) -> A =/= x )
27	26	necomd 2696	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) ) /\ ( y e. P /\ ( A e. ( x I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) ) ) -> x =/= A )
28		simplrl 769	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) ) /\ ( y e. P /\ ( A e. ( x I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) ) ) -> A e. ( B I x ) )
29	1, 2, 3, 20, 24, 23, 22, 28	tgbtwncom 24524	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) ) /\ ( y e. P /\ ( A e. ( x I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) ) ) -> A e. ( x I B ) )
30		simprrl 773	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) ) /\ ( y e. P /\ ( A e. ( x I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) ) ) -> A e. ( x I y ) )
31	1, 3, 20, 22, 23, 24, 25, 27, 29, 30	tgbtwnconn2 24613	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) ) /\ ( y e. P /\ ( A e. ( x I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) ) ) -> ( B e. ( A I y ) \/ y e. ( A I B ) ) )
32		simprrr 774	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) ) /\ ( y e. P /\ ( A e. ( x I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) ) ) -> ( A .- y ) = ( C .- D ) )
33	31, 32	jca 535	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) ) /\ ( y e. P /\ ( A e. ( x I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) ) ) -> ( ( B e. ( A I y ) \/ y e. ( A I B ) ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) )
34	5	ad2antrr 731	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) ) -> G e. TarskiG )
35	7	ad2antrr 731	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) ) -> A e. P )
36	12	ad2antrr 731	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) ) -> C e. P )
37	15	ad2antrr 731	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) ) -> D e. P )
38	1, 2, 3, 34, 21, 35, 36, 37	axtgsegcon 24504	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) ) -> E. y e. P ( A e. ( x I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) )
39	33, 38	reximddv 2902	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. P ) /\ ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) ) -> E. y e. P ( ( B e. ( A I y ) \/ y e. ( A I B ) ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) )
40	39	adantllr 724	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) /\ x e. P ) /\ ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) ) -> E. y e. P ( ( B e. ( A I y ) \/ y e. ( A I B ) ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) )
41	5	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> G e. TarskiG )
42	9	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> B e. P )
43	7	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> A e. P )
44		simpr 463	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> 2 <_ ( # ` P ) )
45	1, 2, 3, 41, 42, 43, 44	tgbtwndiff 24542	. . . . 5 |- ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> E. x e. P ( A e. ( B I x ) /\ A =/= x ) )
46	40, 45	r19.29a 2971	. . . 4 |- ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> E. y e. P ( ( B e. ( A I y ) \/ y e. ( A I B ) ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) )
47		andir 877	. . . . . . 7 |- ( ( ( B e. ( A I y ) \/ y e. ( A I B ) ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) <-> ( ( B e. ( A I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) \/ ( y e. ( A I B ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) ) )
48		eqcom 2432	. . . . . . . . 9 |- ( ( A .- y ) = ( C .- D ) <-> ( C .- D ) = ( A .- y ) )
49	48	anbi2i 699	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. ( A I B ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) <-> ( y e. ( A I B ) /\ ( C .- D ) = ( A .- y ) ) )
50	49	orbi2i 522	. . . . . . 7 |- ( ( ( B e. ( A I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) \/ ( y e. ( A I B ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) ) <-> ( ( B e. ( A I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) \/ ( y e. ( A I B ) /\ ( C .- D ) = ( A .- y ) ) ) )
51	47, 50	bitri 253	. . . . . 6 |- ( ( ( B e. ( A I y ) \/ y e. ( A I B ) ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) <-> ( ( B e. ( A I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) \/ ( y e. ( A I B ) /\ ( C .- D ) = ( A .- y ) ) ) )
52	51	rexbii 2928	. . . . 5 |- ( E. y e. P ( ( B e. ( A I y ) \/ y e. ( A I B ) ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) <-> E. y e. P ( ( B e. ( A I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) \/ ( y e. ( A I B ) /\ ( C .- D ) = ( A .- y ) ) ) )
53		r19.43 2985	. . . . 5 |- ( E. y e. P ( ( B e. ( A I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) \/ ( y e. ( A I B ) /\ ( C .- D ) = ( A .- y ) ) ) <-> ( E. y e. P ( B e. ( A I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) \/ E. y e. P ( y e. ( A I B ) /\ ( C .- D ) = ( A .- y ) ) ) )
54	52, 53	bitri 253	. . . 4 |- ( E. y e. P ( ( B e. ( A I y ) \/ y e. ( A I B ) ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) <-> ( E. y e. P ( B e. ( A I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) \/ E. y e. P ( y e. ( A I B ) /\ ( C .- D ) = ( A .- y ) ) ) )
55	46, 54	sylib 200	. . 3 |- ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> ( E. y e. P ( B e. ( A I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) \/ E. y e. P ( y e. ( A I B ) /\ ( C .- D ) = ( A .- y ) ) ) )
56	1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 15	legov2 24623	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A .- B ) .<_ ( C .- D ) <-> E. y e. P ( B e. ( A I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) ) )
57	1, 2, 3, 4, 5, 12, 15, 7, 9	legov 24622	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( C .- D ) .<_ ( A .- B ) <-> E. y e. P ( y e. ( A I B ) /\ ( C .- D ) = ( A .- y ) ) ) )
58	56, 57	orbi12d 715	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( A .- B ) .<_ ( C .- D ) \/ ( C .- D ) .<_ ( A .- B ) ) <-> ( E. y e. P ( B e. ( A I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) \/ E. y e. P ( y e. ( A I B ) /\ ( C .- D ) = ( A .- y ) ) ) ) )
59	58	adantr 467	. . 3 |- ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> ( ( ( A .- B ) .<_ ( C .- D ) \/ ( C .- D ) .<_ ( A .- B ) ) <-> ( E. y e. P ( B e. ( A I y ) /\ ( A .- y ) = ( C .- D ) ) \/ E. y e. P ( y e. ( A I B ) /\ ( C .- D ) = ( A .- y ) ) ) ) )
60	55, 59	mpbird 236	. 2 |- ( ( ph /\ 2 <_ ( # ` P ) ) -> ( ( A .- B ) .<_ ( C .- D ) \/ ( C .- D ) .<_ ( A .- B ) ) )
61	1, 7	tgldimor 24538	. 2 |- ( ph -> ( ( # ` P ) = 1 \/ 2 <_ ( # ` P ) ) )
62	19, 60, 61	mpjaodan 794	1 |- ( ph -> ( ( A .- B ) .<_ ( C .- D ) \/ ( C .- D ) .<_ ( A .- B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   \/ wo 370   /\ wa 371   = wceq 1438   e. wcel 1869   =/= wne 2619   E.wrex 2777   class class class wbr 4421   ` cfv 5599  (class class class)co 6303   1c1 9542   <_ cle 9678   2c2 10661   #chash 12516   Basecbs 15114   distcds 15192  TarskiGcstrkg 24470  Itvcitv 24476  ≤Gcleg 24619

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-1o 7188  df-oadd 7192  df-er 7369  df-pm 7481  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-fin 7579  df-card 8376  df-cda 8600  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-nn 10612  df-2 10670  df-3 10671  df-n0 10872  df-z 10940  df-uz 11162  df-fz 11787  df-fzo 11918  df-hash 12517  df-word 12662  df-concat 12664  df-s1 12665  df-s2 12940  df-s3 12941  df-trkgc 24488  df-trkgb 24489  df-trkgcb 24490  df-trkg 24493  df-cgrg 24548  df-leg 24620

This theorem is referenced by:  legso  24636  krippen  24728  midex  24771  opphllem5  24785  opphllem6  24786