MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgldimor Structured version   Unicode version

Theorem tgldimor 23614
Description: Excluded-middle like statement allowing to treat dimension zero as a special case. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tgldimor.p  |-  P  =  ( E `  F
)
tgldimor.a  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
Assertion
Ref Expression
tgldimor  |-  ( ph  ->  ( ( # `  P
)  =  1  \/  2  <_  ( # `  P
) ) )

Proof of Theorem tgldimor
StepHypRef Expression
1 tgldimor.p . . . . . . 7  |-  P  =  ( E `  F
)
2 fvex 5867 . . . . . . 7  |-  ( E `
 F )  e. 
_V
31, 2eqeltri 2544 . . . . . 6  |-  P  e. 
_V
4 hashv01gt1 12373 . . . . . 6  |-  ( P  e.  _V  ->  (
( # `  P )  =  0  \/  ( # `
 P )  =  1  \/  1  < 
( # `  P ) ) )
53, 4ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( (
# `  P )  =  0  \/  ( # `
 P )  =  1  \/  1  < 
( # `  P ) )
6 3orass 971 . . . . 5  |-  ( ( ( # `  P
)  =  0  \/  ( # `  P
)  =  1  \/  1  <  ( # `  P ) )  <->  ( ( # `
 P )  =  0  \/  ( (
# `  P )  =  1  \/  1  <  ( # `  P
) ) ) )
75, 6mpbi 208 . . . 4  |-  ( (
# `  P )  =  0  \/  (
( # `  P )  =  1  \/  1  <  ( # `  P
) ) )
87a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( # `  P
)  =  0  \/  ( ( # `  P
)  =  1  \/  1  <  ( # `  P ) ) ) )
9 1p1e2 10638 . . . . . . 7  |-  ( 1  +  1 )  =  2
10 1z 10883 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  ZZ
11 nn0z 10876 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( # `  P
)  e.  ZZ )
12 zltp1le 10901 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( # `  P )  e.  ZZ )  -> 
( 1  <  ( # `
 P )  <->  ( 1  +  1 )  <_ 
( # `  P ) ) )
1310, 11, 12sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( 1  <  ( # `  P
)  <->  ( 1  +  1 )  <_  ( # `
 P ) ) )
1413biimpac 486 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  <  ( # `  P )  /\  ( # `
 P )  e. 
NN0 )  ->  (
1  +  1 )  <_  ( # `  P
) )
159, 14syl5eqbrr 4474 . . . . . 6  |-  ( ( 1  <  ( # `  P )  /\  ( # `
 P )  e. 
NN0 )  ->  2  <_  ( # `  P
) )
16 2re 10594 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  RR
1716rexri 9635 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  RR*
18 pnfge 11328 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  e.  RR*  ->  2  <_ +oo )
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  2  <_ +oo
20 breq2 4444 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  P )  = +oo  ->  ( 2  <_  ( # `  P
)  <->  2  <_ +oo )
)
2119, 20mpbiri 233 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  P )  = +oo  ->  2  <_  (
# `  P )
)
2221adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( 1  <  ( # `  P )  /\  ( # `
 P )  = +oo )  ->  2  <_  ( # `  P
) )
23 hashnn0pnf 12370 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  _V  ->  (
( # `  P )  e.  NN0  \/  ( # `
 P )  = +oo ) )
243, 23ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  \/  ( # `  P )  = +oo )
2524a1i 11 . . . . . 6  |-  ( 1  <  ( # `  P
)  ->  ( ( # `
 P )  e. 
NN0  \/  ( # `  P
)  = +oo )
)
2615, 22, 25mpjaodan 784 . . . . 5  |-  ( 1  <  ( # `  P
)  ->  2  <_  (
# `  P )
)
2726orim2i 518 . . . 4  |-  ( ( ( # `  P
)  =  1  \/  1  <  ( # `  P ) )  -> 
( ( # `  P
)  =  1  \/  2  <_  ( # `  P
) ) )
2827orim2i 518 . . 3  |-  ( ( ( # `  P
)  =  0  \/  ( ( # `  P
)  =  1  \/  1  <  ( # `  P ) ) )  ->  ( ( # `  P )  =  0  \/  ( ( # `  P )  =  1  \/  2  <_  ( # `
 P ) ) ) )
298, 28syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( # `  P
)  =  0  \/  ( ( # `  P
)  =  1  \/  2  <_  ( # `  P
) ) ) )
30 tgldimor.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
31 ne0i 3784 . . . 4  |-  ( A  e.  P  ->  P  =/=  (/) )
32 hasheq0 12388 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  _V  ->  (
( # `  P )  =  0  <->  P  =  (/) ) )
333, 32ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( (
# `  P )  =  0  <->  P  =  (/) )
3433biimpi 194 . . . . 5  |-  ( (
# `  P )  =  0  ->  P  =  (/) )
3534necon3ai 2688 . . . 4  |-  ( P  =/=  (/)  ->  -.  ( # `
 P )  =  0 )
3630, 31, 353syl 20 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  ( # `  P
)  =  0 )
37 biorf 405 . . 3  |-  ( -.  ( # `  P
)  =  0  -> 
( ( ( # `  P )  =  1  \/  2  <_  ( # `
 P ) )  <-> 
( ( # `  P
)  =  0  \/  ( ( # `  P
)  =  1  \/  2  <_  ( # `  P
) ) ) ) )
3836, 37syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( # `  P )  =  1  \/  2  <_  ( # `
 P ) )  <-> 
( ( # `  P
)  =  0  \/  ( ( # `  P
)  =  1  \/  2  <_  ( # `  P
) ) ) ) )
3929, 38mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  ( ( # `  P
)  =  1  \/  2  <_  ( # `  P
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    \/ w3o 967    = wceq 1374    e. wcel 1762    =/= wne 2655   _Vcvv 3106   (/)c0 3778   class class class wbr 4440   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   0cc0 9481   1c1 9482    + caddc 9484   +oocpnf 9614   RR*cxr 9616    < clt 9617    <_ cle 9618   2c2 10574   NN0cn0 10784   ZZcz 10853   #chash 12360
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-card 8309  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-2 10583  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-fz 11662  df-hash 12361
This theorem is referenced by:  tgifscgr  23621  tgcgrxfr  23630  tgbtwnconn3  23684  legtrid  23698
  Copyright terms: Public domain W3C validator