MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgldimor Structured version   Unicode version

Theorem tgldimor 24019
Description: Excluded-middle like statement allowing to treat dimension zero as a special case. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tgldimor.p  |-  P  =  ( E `  F
)
tgldimor.a  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
Assertion
Ref Expression
tgldimor  |-  ( ph  ->  ( ( # `  P
)  =  1  \/  2  <_  ( # `  P
) ) )

Proof of Theorem tgldimor
StepHypRef Expression
1 tgldimor.p . . . . . 6  |-  P  =  ( E `  F
)
2 fvex 5882 . . . . . 6  |-  ( E `
 F )  e. 
_V
31, 2eqeltri 2541 . . . . 5  |-  P  e. 
_V
4 hashv01gt1 12421 . . . . 5  |-  ( P  e.  _V  ->  (
( # `  P )  =  0  \/  ( # `
 P )  =  1  \/  1  < 
( # `  P ) ) )
53, 4ax-mp 5 . . . 4  |-  ( (
# `  P )  =  0  \/  ( # `
 P )  =  1  \/  1  < 
( # `  P ) )
6 3orass 976 . . . 4  |-  ( ( ( # `  P
)  =  0  \/  ( # `  P
)  =  1  \/  1  <  ( # `  P ) )  <->  ( ( # `
 P )  =  0  \/  ( (
# `  P )  =  1  \/  1  <  ( # `  P
) ) ) )
75, 6mpbi 208 . . 3  |-  ( (
# `  P )  =  0  \/  (
( # `  P )  =  1  \/  1  <  ( # `  P
) ) )
8 1p1e2 10670 . . . . . . 7  |-  ( 1  +  1 )  =  2
9 1z 10915 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  ZZ
10 nn0z 10908 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( # `  P
)  e.  ZZ )
11 zltp1le 10934 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( # `  P )  e.  ZZ )  -> 
( 1  <  ( # `
 P )  <->  ( 1  +  1 )  <_ 
( # `  P ) ) )
129, 10, 11sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( 1  <  ( # `  P
)  <->  ( 1  +  1 )  <_  ( # `
 P ) ) )
1312biimpac 486 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  <  ( # `  P )  /\  ( # `
 P )  e. 
NN0 )  ->  (
1  +  1 )  <_  ( # `  P
) )
148, 13syl5eqbrr 4490 . . . . . 6  |-  ( ( 1  <  ( # `  P )  /\  ( # `
 P )  e. 
NN0 )  ->  2  <_  ( # `  P
) )
15 2re 10626 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  RR
1615rexri 9663 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  RR*
17 pnfge 11364 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  e.  RR*  ->  2  <_ +oo )
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  2  <_ +oo
19 breq2 4460 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  P )  = +oo  ->  ( 2  <_  ( # `  P
)  <->  2  <_ +oo )
)
2018, 19mpbiri 233 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  P )  = +oo  ->  2  <_  (
# `  P )
)
2120adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( 1  <  ( # `  P )  /\  ( # `
 P )  = +oo )  ->  2  <_  ( # `  P
) )
22 hashnn0pnf 12418 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  _V  ->  (
( # `  P )  e.  NN0  \/  ( # `
 P )  = +oo ) )
233, 22mp1i 12 . . . . . 6  |-  ( 1  <  ( # `  P
)  ->  ( ( # `
 P )  e. 
NN0  \/  ( # `  P
)  = +oo )
)
2414, 21, 23mpjaodan 786 . . . . 5  |-  ( 1  <  ( # `  P
)  ->  2  <_  (
# `  P )
)
2524orim2i 518 . . . 4  |-  ( ( ( # `  P
)  =  1  \/  1  <  ( # `  P ) )  -> 
( ( # `  P
)  =  1  \/  2  <_  ( # `  P
) ) )
2625orim2i 518 . . 3  |-  ( ( ( # `  P
)  =  0  \/  ( ( # `  P
)  =  1  \/  1  <  ( # `  P ) ) )  ->  ( ( # `  P )  =  0  \/  ( ( # `  P )  =  1  \/  2  <_  ( # `
 P ) ) ) )
277, 26mp1i 12 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( # `  P
)  =  0  \/  ( ( # `  P
)  =  1  \/  2  <_  ( # `  P
) ) ) )
28 tgldimor.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
29 ne0i 3799 . . . 4  |-  ( A  e.  P  ->  P  =/=  (/) )
30 hasheq0 12436 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  _V  ->  (
( # `  P )  =  0  <->  P  =  (/) ) )
313, 30ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( (
# `  P )  =  0  <->  P  =  (/) )
3231biimpi 194 . . . . 5  |-  ( (
# `  P )  =  0  ->  P  =  (/) )
3332necon3ai 2685 . . . 4  |-  ( P  =/=  (/)  ->  -.  ( # `
 P )  =  0 )
3428, 29, 333syl 20 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  ( # `  P
)  =  0 )
35 biorf 405 . . 3  |-  ( -.  ( # `  P
)  =  0  -> 
( ( ( # `  P )  =  1  \/  2  <_  ( # `
 P ) )  <-> 
( ( # `  P
)  =  0  \/  ( ( # `  P
)  =  1  \/  2  <_  ( # `  P
) ) ) ) )
3634, 35syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( # `  P )  =  1  \/  2  <_  ( # `
 P ) )  <-> 
( ( # `  P
)  =  0  \/  ( ( # `  P
)  =  1  \/  2  <_  ( # `  P
) ) ) ) )
3727, 36mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  ( ( # `  P
)  =  1  \/  2  <_  ( # `  P
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    \/ w3o 972    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   _Vcvv 3109   (/)c0 3793   class class class wbr 4456   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512   +oocpnf 9642   RR*cxr 9644    < clt 9645    <_ cle 9646   2c2 10606   NN0cn0 10816   ZZcz 10885   #chash 12408
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-hash 12409
This theorem is referenced by:  tgifscgr  24026  tgcgrxfr  24035  tgbtwnconn3  24090  legtrid  24104  hpgerlem  24260
  Copyright terms: Public domain W3C validator