MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tgldimor Structured version   Unicode version

Theorem tgldimor 22955
Description: Excluded-middle like statement allowing to treat dimension zero as a special case. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tgldimor.p  |-  P  =  ( E `  F
)
tgldimor.a  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
Assertion
Ref Expression
tgldimor  |-  ( ph  ->  ( ( # `  P
)  =  1  \/  2  <_  ( # `  P
) ) )

Proof of Theorem tgldimor
StepHypRef Expression
1 tgldimor.p . . . . . . 7  |-  P  =  ( E `  F
)
2 fvex 5701 . . . . . . 7  |-  ( E `
 F )  e. 
_V
31, 2eqeltri 2513 . . . . . 6  |-  P  e. 
_V
4 hashv01gt1 12116 . . . . . 6  |-  ( P  e.  _V  ->  (
( # `  P )  =  0  \/  ( # `
 P )  =  1  \/  1  < 
( # `  P ) ) )
53, 4ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( (
# `  P )  =  0  \/  ( # `
 P )  =  1  \/  1  < 
( # `  P ) )
6 3orass 968 . . . . 5  |-  ( ( ( # `  P
)  =  0  \/  ( # `  P
)  =  1  \/  1  <  ( # `  P ) )  <->  ( ( # `
 P )  =  0  \/  ( (
# `  P )  =  1  \/  1  <  ( # `  P
) ) ) )
75, 6mpbi 208 . . . 4  |-  ( (
# `  P )  =  0  \/  (
( # `  P )  =  1  \/  1  <  ( # `  P
) ) )
87a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( # `  P
)  =  0  \/  ( ( # `  P
)  =  1  \/  1  <  ( # `  P ) ) ) )
9 1p1e2 10435 . . . . . . 7  |-  ( 1  +  1 )  =  2
10 1z 10676 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  ZZ
11 nn0z 10669 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( # `  P
)  e.  ZZ )
12 zltp1le 10694 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( # `  P )  e.  ZZ )  -> 
( 1  <  ( # `
 P )  <->  ( 1  +  1 )  <_ 
( # `  P ) ) )
1310, 11, 12sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  ->  ( 1  <  ( # `  P
)  <->  ( 1  +  1 )  <_  ( # `
 P ) ) )
1413biimpac 486 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  <  ( # `  P )  /\  ( # `
 P )  e. 
NN0 )  ->  (
1  +  1 )  <_  ( # `  P
) )
159, 14syl5eqbrr 4326 . . . . . 6  |-  ( ( 1  <  ( # `  P )  /\  ( # `
 P )  e. 
NN0 )  ->  2  <_  ( # `  P
) )
16 2re 10391 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  RR
1716rexri 9436 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  RR*
18 pnfge 11110 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  e.  RR*  ->  2  <_ +oo )
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  2  <_ +oo
20 breq2 4296 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  P )  = +oo  ->  ( 2  <_  ( # `  P
)  <->  2  <_ +oo )
)
2119, 20mpbiri 233 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  P )  = +oo  ->  2  <_  (
# `  P )
)
2221adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( 1  <  ( # `  P )  /\  ( # `
 P )  = +oo )  ->  2  <_  ( # `  P
) )
23 hashnn0pnf 12113 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  _V  ->  (
( # `  P )  e.  NN0  \/  ( # `
 P )  = +oo ) )
243, 23ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( (
# `  P )  e.  NN0  \/  ( # `  P )  = +oo )
2524a1i 11 . . . . . 6  |-  ( 1  <  ( # `  P
)  ->  ( ( # `
 P )  e. 
NN0  \/  ( # `  P
)  = +oo )
)
2615, 22, 25mpjaodan 784 . . . . 5  |-  ( 1  <  ( # `  P
)  ->  2  <_  (
# `  P )
)
2726orim2i 518 . . . 4  |-  ( ( ( # `  P
)  =  1  \/  1  <  ( # `  P ) )  -> 
( ( # `  P
)  =  1  \/  2  <_  ( # `  P
) ) )
2827orim2i 518 . . 3  |-  ( ( ( # `  P
)  =  0  \/  ( ( # `  P
)  =  1  \/  1  <  ( # `  P ) ) )  ->  ( ( # `  P )  =  0  \/  ( ( # `  P )  =  1  \/  2  <_  ( # `
 P ) ) ) )
298, 28syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( # `  P
)  =  0  \/  ( ( # `  P
)  =  1  \/  2  <_  ( # `  P
) ) ) )
30 tgldimor.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
31 ne0i 3643 . . . 4  |-  ( A  e.  P  ->  P  =/=  (/) )
32 hasheq0 12131 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  _V  ->  (
( # `  P )  =  0  <->  P  =  (/) ) )
333, 32ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( (
# `  P )  =  0  <->  P  =  (/) )
3433biimpi 194 . . . . 5  |-  ( (
# `  P )  =  0  ->  P  =  (/) )
3534necon3ai 2651 . . . 4  |-  ( P  =/=  (/)  ->  -.  ( # `
 P )  =  0 )
3630, 31, 353syl 20 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  ( # `  P
)  =  0 )
37 biorf 405 . . 3  |-  ( -.  ( # `  P
)  =  0  -> 
( ( ( # `  P )  =  1  \/  2  <_  ( # `
 P ) )  <-> 
( ( # `  P
)  =  0  \/  ( ( # `  P
)  =  1  \/  2  <_  ( # `  P
) ) ) ) )
3836, 37syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( # `  P )  =  1  \/  2  <_  ( # `
 P ) )  <-> 
( ( # `  P
)  =  0  \/  ( ( # `  P
)  =  1  \/  2  <_  ( # `  P
) ) ) ) )
3929, 38mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  ( ( # `  P
)  =  1  \/  2  <_  ( # `  P
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    \/ w3o 964    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2606   _Vcvv 2972   (/)c0 3637   class class class wbr 4292   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   0cc0 9282   1c1 9283    + caddc 9285   +oocpnf 9415   RR*cxr 9417    < clt 9418    <_ cle 9419   2c2 10371   NN0cn0 10579   ZZcz 10646   #chash 12103
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-card 8109  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-2 10380  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-fz 11438  df-hash 12104
This theorem is referenced by:  tgifscgr  22961  tgcgrxfr  22970  tgbtwnconn3  23009  legtrid  23022
  Copyright terms: Public domain W3C validator