Theorem usgr1v0e 40545

Description: The size of a (finite) simple graph with 1 vertex is 0. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Jan-2018.) (Revised by AV, 22-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fusgredgfi.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
fusgredgfi.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
usgr1v0e	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (#‘𝑉) = 1) → (#‘𝐸) = 0)

Proof of Theorem usgr1v0e

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 472	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 = {𝑣}) → 𝐺 ∈ USGraph )
2		vex 3176	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑣 ∈ V
3	2	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 = {𝑣}) → 𝑣 ∈ V)
4		fusgredgfi.v	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
5	4	eqeq1i 2615	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑉 = {𝑣} ↔ (Vtx‘𝐺) = {𝑣})
6	5	biimpi 205	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 = {𝑣} → (Vtx‘𝐺) = {𝑣})
7	6	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 = {𝑣}) → (Vtx‘𝐺) = {𝑣})
8		usgr1vr 40481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑣 ∈ V ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑣}) → (𝐺 ∈ USGraph → (iEdg‘𝐺) = ∅))
9	8	3adant1 1072	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑣 ∈ V ∧ (Vtx‘𝐺) = {𝑣}) → (𝐺 ∈ USGraph → (iEdg‘𝐺) = ∅))
10	1, 3, 7, 9	syl3anc 1318	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 = {𝑣}) → (𝐺 ∈ USGraph → (iEdg‘𝐺) = ∅))
11	1, 10	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 = {𝑣}) → (iEdg‘𝐺) = ∅)
12		fusgredgfi.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
13	12	eqeq1i 2615	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 = ∅ ↔ (Edg‘𝐺) = ∅)
14		usgruhgr 40413	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UHGraph )
15		uhgriedg0edg0 25801	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ UHGraph → ((Edg‘𝐺) = ∅ ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → ((Edg‘𝐺) = ∅ ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))
17	16	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 = {𝑣}) → ((Edg‘𝐺) = ∅ ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))
18	13, 17	syl5bb 271	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 = {𝑣}) → (𝐸 = ∅ ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))
19	11, 18	mpbird 246	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 = {𝑣}) → 𝐸 = ∅)
20	19	ex 449	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝑉 = {𝑣} → 𝐸 = ∅))
21	20	exlimdv 1848	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (∃𝑣 𝑉 = {𝑣} → 𝐸 = ∅))
22		fvex 6113	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) ∈ V
23	4, 22	eqeltri 2684	. . . 4 ⊢ 𝑉 ∈ V
24		hash1snb 13068	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ V → ((#‘𝑉) = 1 ↔ ∃𝑣 𝑉 = {𝑣}))
25	23, 24	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → ((#‘𝑉) = 1 ↔ ∃𝑣 𝑉 = {𝑣}))
26		fvex 6113	. . . . 5 ⊢ (Edg‘𝐺) ∈ V
27	12, 26	eqeltri 2684	. . . 4 ⊢ 𝐸 ∈ V
28		hasheq0 13015	. . . 4 ⊢ (𝐸 ∈ V → ((#‘𝐸) = 0 ↔ 𝐸 = ∅))
29	27, 28	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → ((#‘𝐸) = 0 ↔ 𝐸 = ∅))
30	21, 25, 29	3imtr4d 282	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → ((#‘𝑉) = 1 → (#‘𝐸) = 0))
31	30	imp 444	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (#‘𝑉) = 1) → (#‘𝐸) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173  ∅c0 3874  {csn 4125  ‘cfv 5804  0cc0 9815  1c1 9816  #chash 12979  Vtxcvtx 25673  iEdgciedg 25674   UHGraph cuhgr 25722  Edgcedga 25792   USGraph cusgr 40379

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-hash 12980  df-uhgr 25724  df-upgr 25749  df-edga 25793  df-uspgr 40380  df-usgr 40381

This theorem is referenced by:  cusgrsizeindb1  40666