Theorem hash1snb 13068

Description: The size of a set is 1 if and only if it is a singleton (containing a set). (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
hash1snb	⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → ((#‘𝑉) = 1 ↔ ∃𝑎 𝑉 = {𝑎}))

Distinct variable group:   𝑉,𝑎

Allowed substitution hint:   𝑊(𝑎)

Proof of Theorem hash1snb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ ((#‘𝑉) = 1 → (#‘𝑉) = 1)
2		hash1 13053	. . . . . . . . 9 ⊢ (#‘1𝑜) = 1
3	1, 2	syl6eqr 2662	. . . . . . . 8 ⊢ ((#‘𝑉) = 1 → (#‘𝑉) = (#‘1𝑜))
4	3	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ (#‘𝑉) = 1) → (#‘𝑉) = (#‘1𝑜))
5		1onn 7606	. . . . . . . . 9 ⊢ 1𝑜 ∈ ω
6		nnfi 8038	. . . . . . . . 9 ⊢ (1𝑜 ∈ ω → 1𝑜 ∈ Fin)
7	5, 6	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ ((#‘𝑉) = 1 → 1𝑜 ∈ Fin)
8		hashen 12997	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 1𝑜 ∈ Fin) → ((#‘𝑉) = (#‘1𝑜) ↔ 𝑉 ≈ 1𝑜))
9	7, 8	sylan2 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ (#‘𝑉) = 1) → ((#‘𝑉) = (#‘1𝑜) ↔ 𝑉 ≈ 1𝑜))
10	4, 9	mpbid 221	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ (#‘𝑉) = 1) → 𝑉 ≈ 1𝑜)
11		en1 7909	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ≈ 1𝑜 ↔ ∃𝑎 𝑉 = {𝑎})
12	10, 11	sylib 207	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ (#‘𝑉) = 1) → ∃𝑎 𝑉 = {𝑎})
13	12	ex 449	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → ((#‘𝑉) = 1 → ∃𝑎 𝑉 = {𝑎}))
14	13	a1d 25	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → (𝑉 ∈ 𝑊 → ((#‘𝑉) = 1 → ∃𝑎 𝑉 = {𝑎})))
15		hashinf 12984	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ ¬ 𝑉 ∈ Fin) → (#‘𝑉) = +∞)
16		eqeq1 2614	. . . . . 6 ⊢ ((#‘𝑉) = +∞ → ((#‘𝑉) = 1 ↔ +∞ = 1))
17		1re 9918	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
18		renepnf 9966	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ ℝ → 1 ≠ +∞)
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ≠ +∞
20		df-ne 2782	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ≠ +∞ ↔ ¬ 1 = +∞)
21		pm2.21 119	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 1 = +∞ → (1 = +∞ → ∃𝑎 𝑉 = {𝑎}))
22	20, 21	sylbi 206	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ≠ +∞ → (1 = +∞ → ∃𝑎 𝑉 = {𝑎}))
23	19, 22	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (1 = +∞ → ∃𝑎 𝑉 = {𝑎})
24	23	eqcoms 2618	. . . . . 6 ⊢ (+∞ = 1 → ∃𝑎 𝑉 = {𝑎})
25	16, 24	syl6bi 242	. . . . 5 ⊢ ((#‘𝑉) = +∞ → ((#‘𝑉) = 1 → ∃𝑎 𝑉 = {𝑎}))
26	15, 25	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ ¬ 𝑉 ∈ Fin) → ((#‘𝑉) = 1 → ∃𝑎 𝑉 = {𝑎}))
27	26	expcom 450	. . 3 ⊢ (¬ 𝑉 ∈ Fin → (𝑉 ∈ 𝑊 → ((#‘𝑉) = 1 → ∃𝑎 𝑉 = {𝑎})))
28	14, 27	pm2.61i 175	. 2 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → ((#‘𝑉) = 1 → ∃𝑎 𝑉 = {𝑎}))
29		fveq2 6103	. . . 4 ⊢ (𝑉 = {𝑎} → (#‘𝑉) = (#‘{𝑎}))
30		vex 3176	. . . . 5 ⊢ 𝑎 ∈ V
31		hashsng 13020	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ V → (#‘{𝑎}) = 1)
32	30, 31	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (#‘{𝑎}) = 1
33	29, 32	syl6eq 2660	. . 3 ⊢ (𝑉 = {𝑎} → (#‘𝑉) = 1)
34	33	exlimiv 1845	. 2 ⊢ (∃𝑎 𝑉 = {𝑎} → (#‘𝑉) = 1)
35	28, 34	impbid1 214	1 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → ((#‘𝑉) = 1 ↔ ∃𝑎 𝑉 = {𝑎}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  Vcvv 3173  {csn 4125   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  ωcom 6957  1_𝑜c1o 7440   ≈ cen 7838  Fincfn 7841  ℝcr 9814  1c1 9816  +∞cpnf 9950  #chash 12979

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-hash 12980

This theorem is referenced by:  hashge2el2difr  13118  hash1to3  13128  cshwrepswhash1  15647  mat1scmat  20164  tgldim0eq  25198  upgredg  25811  usgrafisindb1  25938  rusgrasn  26472  vdfrgra0  26549  vdn1frgrav2  26552  vdgn1frgrav2  26553  frgrawopreg1  26577  frgrawopreg2  26578  hash1n0  40370  lfuhgr1v0e  40480  usgr1v0e  40545  nbgr1vtx  40580  uvtxa01vtx0  40623  cplgr1vlem  40651  cplgr1v  40652  1loopgrvd2  40718  vdgn1frgrv2  41466  frgrwopreg1  41487  frgrwopreg2  41488  c0snmgmhm  41704