Theorem av-frgraogt3nreg 41551

Description: If a finite friendship graph has an order greater than 3, it cannot be 𝑘-regular for any 𝑘. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Oct-2018.) (Revised by AV, 4-Jun-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
av-frgrareggt1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
av-frgraogt3nreg	⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (#‘𝑉)) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘)

Distinct variable groups:   𝑘,𝐺   𝑘,𝑉

Proof of Theorem av-frgraogt3nreg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1054	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (#‘𝑉)) → 𝐺 ∈ FriendGraph )
2		simp2 1055	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (#‘𝑉)) → 𝑉 ∈ Fin)
3		hashcl 13009	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → (#‘𝑉) ∈ ℕ0)
4		0red 9920	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℝ)
5		3re 10971	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 3 ∈ ℝ
6	5	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 → 3 ∈ ℝ)
7		nn0re 11178	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 → (#‘𝑉) ∈ ℝ)
8	4, 6, 7	3jca 1235	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 → (0 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ (#‘𝑉) ∈ ℝ))
9	8	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((#‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (#‘𝑉)) → (0 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ (#‘𝑉) ∈ ℝ))
10		3pos 10991	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 < 3
11	10	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((#‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (#‘𝑉)) → 0 < 3)
12		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((#‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (#‘𝑉)) → 3 < (#‘𝑉))
13		lttr 9993	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ (#‘𝑉) ∈ ℝ) → ((0 < 3 ∧ 3 < (#‘𝑉)) → 0 < (#‘𝑉)))
14	13	imp 444	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((0 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ (#‘𝑉) ∈ ℝ) ∧ (0 < 3 ∧ 3 < (#‘𝑉))) → 0 < (#‘𝑉))
15	9, 11, 12, 14	syl12anc 1316	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((#‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (#‘𝑉)) → 0 < (#‘𝑉))
16	15	ex 449	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 → (3 < (#‘𝑉) → 0 < (#‘𝑉)))
17		ltne 10013	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 < (#‘𝑉)) → (#‘𝑉) ≠ 0)
18	4, 16, 17	syl6an 566	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 → (3 < (#‘𝑉) → (#‘𝑉) ≠ 0))
19		hasheq0 13015	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → ((#‘𝑉) = 0 ↔ 𝑉 = ∅))
20	19	necon3bid 2826	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → ((#‘𝑉) ≠ 0 ↔ 𝑉 ≠ ∅))
21	20	biimpcd 238	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((#‘𝑉) ≠ 0 → (𝑉 ∈ Fin → 𝑉 ≠ ∅))
22	18, 21	syl6 34	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 → (3 < (#‘𝑉) → (𝑉 ∈ Fin → 𝑉 ≠ ∅)))
23	22	com23 84	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 → (𝑉 ∈ Fin → (3 < (#‘𝑉) → 𝑉 ≠ ∅)))
24	3, 23	mpcom 37	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → (3 < (#‘𝑉) → 𝑉 ≠ ∅))
25	24	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → (𝑉 ∈ Fin → (3 < (#‘𝑉) → 𝑉 ≠ ∅)))
26	25	3imp 1249	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (#‘𝑉)) → 𝑉 ≠ ∅)
27	1, 2, 26	3jca 1235	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (#‘𝑉)) → (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅))
28	27	ad2antrl 760	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝑘 ∧ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (#‘𝑉)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅))
29		simpl 472	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝑘 ∧ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (#‘𝑉)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → 𝐺 RegUSGraph 𝑘)
30		av-frgrareggt1.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
31	30	av-frgraregord13 41550	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝑘) → ((#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))
32	28, 29, 31	syl2anc 691	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝑘 ∧ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (#‘𝑉)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → ((#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3))
33		1red 9934	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((#‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (#‘𝑉)) → 1 ∈ ℝ)
34	5	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((#‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (#‘𝑉)) → 3 ∈ ℝ)
35	7	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((#‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (#‘𝑉)) → (#‘𝑉) ∈ ℝ)
36		1lt3 11073	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 < 3
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((#‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (#‘𝑉)) → 1 < 3)
38	33, 34, 35, 37, 12	lttrd 10077	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((#‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (#‘𝑉)) → 1 < (#‘𝑉))
39	33, 38	gtned 10051	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((#‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (#‘𝑉)) → (#‘𝑉) ≠ 1)
40		eqneqall 2793	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((#‘𝑉) = 1 → ((#‘𝑉) ≠ 1 → ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘))
41	39, 40	syl5com 31	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((#‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (#‘𝑉)) → ((#‘𝑉) = 1 → ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘))
42		ltne 10013	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 3 < (#‘𝑉)) → (#‘𝑉) ≠ 3)
43	6, 42	sylan 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((#‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (#‘𝑉)) → (#‘𝑉) ≠ 3)
44		eqneqall 2793	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((#‘𝑉) = 3 → ((#‘𝑉) ≠ 3 → ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘))
45	43, 44	syl5com 31	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((#‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (#‘𝑉)) → ((#‘𝑉) = 3 → ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘))
46	41, 45	jaod 394	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((#‘𝑉) ∈ ℕ0 ∧ 3 < (#‘𝑉)) → (((#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3) → ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘))
47	46	ex 449	. . . . . . . . 9 ⊢ ((#‘𝑉) ∈ ℕ0 → (3 < (#‘𝑉) → (((#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3) → ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘)))
48	3, 47	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → (3 < (#‘𝑉) → (((#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3) → ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘)))
49	48	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → (𝑉 ∈ Fin → (3 < (#‘𝑉) → (((#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3) → ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘))))
50	49	3imp 1249	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (#‘𝑉)) → (((#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3) → ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘))
51	50	ad2antrl 760	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝑘 ∧ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (#‘𝑉)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → (((#‘𝑉) = 1 ∨ (#‘𝑉) = 3) → ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘))
52	32, 51	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝑘 ∧ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (#‘𝑉)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0)) → ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘)
53	52	ex 449	. . 3 ⊢ (𝐺 RegUSGraph 𝑘 → (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (#‘𝑉)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘))
54		ax-1 6	. . 3 ⊢ (¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘 → (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (#‘𝑉)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘))
55	53, 54	pm2.61i 175	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (#‘𝑉)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘)
56	55	ralrimiva 2949	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (#‘𝑉)) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 ¬ 𝐺 RegUSGraph 𝑘)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∅c0 3874   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  Fincfn 7841  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   < clt 9953  3c3 10948  ℕ₀cn0 11169  #chash 12979  Vtxcvtx 25673   RegUSGraph crusgr 40756   FriendGraph cfrgr 41428

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-ac2 9168  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1007  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-ec 7631  df-qs 7635  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-ac 8822  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-xadd 11823  df-ico 12052  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-word 13154  df-lsw 13155  df-concat 13156  df-s1 13157  df-substr 13158  df-reps 13161  df-csh 13386  df-s2 13444  df-s3 13445  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-dvds 14822  df-gcd 15055  df-prm 15224  df-phi 15309  df-vtx 25675  df-iedg 25676  df-uhgr 25724  df-ushgr 25725  df-upgr 25749  df-umgr 25750  df-edga 25793  df-uspgr 40380  df-usgr 40381  df-fusgr 40536  df-nbgr 40554  df-vtxdg 40682  df-rgr 40757  df-rusgr 40758  df-1wlks 40800  df-wlks 40801  df-wlkson 40802  df-trls 40901  df-trlson 40902  df-pths 40923  df-spths 40924  df-pthson 40925  df-spthson 40926  df-wwlks 41033  df-wwlksn 41034  df-wwlksnon 41035  df-wspthsn 41036  df-wspthsnon 41037  df-clwwlks 41185  df-clwwlksn 41186  df-conngr 41354  df-frgr 41429

This theorem is referenced by:  av-friendshipgt3  41552