Theorem hash0 13019

Description: The empty set has size zero. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
hash0	⊢ (#‘∅) = 0

Proof of Theorem hash0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2610	. 2 ⊢ ∅ = ∅
2		0ex 4718	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
3		hasheq0 13015	. . 3 ⊢ (∅ ∈ V → ((#‘∅) = 0 ↔ ∅ = ∅))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((#‘∅) = 0 ↔ ∅ = ∅)
5	1, 4	mpbir 220	1 ⊢ (#‘∅) = 0

Syntax hints:   ↔ wb 195   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173  ∅c0 3874  ‘cfv 5804  0cc0 9815  #chash 12979

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-hash 12980

This theorem is referenced by:  hashrabrsn  13022  hashrabsn01  13023  hashrabsn1  13024  hashge0  13037  elprchashprn2  13045  hash1  13053  hashsn01  13065  hashgt12el  13070  hashgt12el2  13071  hashfzo  13076  hashfzp1  13078  hashxplem  13080  hashmap  13082  hashbc  13094  hashf1lem2  13097  hashf1  13098  hash2pwpr  13115  lsw0g  13206  ccatlid  13222  ccatrid  13223  s1nzOLD  13240  rev0  13364  repswsymballbi  13378  fsumconst  14364  incexclem  14407  incexc  14408  fprodconst  14547  sumodd  14949  hashgcdeq  15332  prmreclem4  15461  prmreclem5  15462  0hashbc  15549  ramz2  15566  cshws0  15646  psgnunilem2  17738  psgnunilem4  17740  psgn0fv0  17754  psgnsn  17763  psgnprfval1  17765  efginvrel2  17963  efgredleme  17979  efgcpbllemb  17991  frgpnabllem1  18099  gsumconst  18157  ltbwe  19293  fta1g  23731  fta1  23867  birthdaylem3  24480  ppi1  24690  musum  24717  rpvmasum  25015  umgrislfupgrlem  25788  usgraedgprv  25905  usgra1v  25919  usgrafisindb0  25937  usgrafisindb1  25938  0wlk  26075  0trl  26076  0wlkon  26077  0pth  26100  0crct  26154  0cycl  26155  0clwlk  26293  vdgr0  26427  vdgr1b  26431  vdgr1a  26433  vdusgraval  26434  rusgranumwlkl1  26474  rusgra0edg  26482  eupath  26508  f1ocnt  28946  esumcst  29452  cntmeas  29616  ballotlemfval0  29884  signsvtn0  29973  signstfvneq0  29975  signstfveq0  29980  signsvf0  29983  derangsn  30406  subfacp1lem6  30421  poimirlem25  32604  poimirlem26  32605  poimirlem27  32606  poimirlem28  32607  rp-isfinite6  36883  fzisoeu  38455  lfuhgr1v0e  40480  uvtxa01vtx  40624  vtxdg0e  40689  vtxdlfgrval  40700  rusgr1vtxlem  40787  wspn0  41131  rusgrnumwwlkl1  41172  rusgr0edg  41176  0ewlk  41282  01wlk  41284  0wlkOn  41288  0pth-av  41293  0clWlk  41298  0Crct  41300  0Cycl  41301  eupth0  41382  eulerpathpr  41408