Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashgt12el2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashgt12el2 13071
 Description: In a set with more than one element are two different elements. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
hashgt12el2 ((𝑉𝑊 ∧ 1 < (#‘𝑉) ∧ 𝐴𝑉) → ∃𝑏𝑉 𝐴𝑏)
Distinct variable groups:   𝑉,𝑏   𝐴,𝑏
Allowed substitution hint:   𝑊(𝑏)

Proof of Theorem hashgt12el2
StepHypRef Expression
1 hash0 13019 . . . 4 (#‘∅) = 0
2 fveq2 6103 . . . 4 (∅ = 𝑉 → (#‘∅) = (#‘𝑉))
31, 2syl5eqr 2658 . . 3 (∅ = 𝑉 → 0 = (#‘𝑉))
4 breq2 4587 . . . . . . 7 ((#‘𝑉) = 0 → (1 < (#‘𝑉) ↔ 1 < 0))
54biimpd 218 . . . . . 6 ((#‘𝑉) = 0 → (1 < (#‘𝑉) → 1 < 0))
65eqcoms 2618 . . . . 5 (0 = (#‘𝑉) → (1 < (#‘𝑉) → 1 < 0))
7 0le1 10430 . . . . . 6 0 ≤ 1
8 0re 9919 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
9 1re 9918 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
108, 9lenlti 10036 . . . . . . 7 (0 ≤ 1 ↔ ¬ 1 < 0)
11 pm2.21 119 . . . . . . 7 (¬ 1 < 0 → (1 < 0 → ∃𝑏𝑉 𝐴𝑏))
1210, 11sylbi 206 . . . . . 6 (0 ≤ 1 → (1 < 0 → ∃𝑏𝑉 𝐴𝑏))
137, 12ax-mp 5 . . . . 5 (1 < 0 → ∃𝑏𝑉 𝐴𝑏)
146, 13syl6com 36 . . . 4 (1 < (#‘𝑉) → (0 = (#‘𝑉) → ∃𝑏𝑉 𝐴𝑏))
15143ad2ant2 1076 . . 3 ((𝑉𝑊 ∧ 1 < (#‘𝑉) ∧ 𝐴𝑉) → (0 = (#‘𝑉) → ∃𝑏𝑉 𝐴𝑏))
163, 15syl5com 31 . 2 (∅ = 𝑉 → ((𝑉𝑊 ∧ 1 < (#‘𝑉) ∧ 𝐴𝑉) → ∃𝑏𝑉 𝐴𝑏))
17 df-ne 2782 . . . 4 (∅ ≠ 𝑉 ↔ ¬ ∅ = 𝑉)
18 necom 2835 . . . 4 (∅ ≠ 𝑉𝑉 ≠ ∅)
1917, 18bitr3i 265 . . 3 (¬ ∅ = 𝑉𝑉 ≠ ∅)
20 ralnex 2975 . . . . . . . . . 10 (∀𝑏𝑉 ¬ 𝐴𝑏 ↔ ¬ ∃𝑏𝑉 𝐴𝑏)
21 nne 2786 . . . . . . . . . . . 12 𝐴𝑏𝐴 = 𝑏)
22 eqcom 2617 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 = 𝑏𝑏 = 𝐴)
2321, 22bitri 263 . . . . . . . . . . 11 𝐴𝑏𝑏 = 𝐴)
2423ralbii 2963 . . . . . . . . . 10 (∀𝑏𝑉 ¬ 𝐴𝑏 ↔ ∀𝑏𝑉 𝑏 = 𝐴)
2520, 24bitr3i 265 . . . . . . . . 9 (¬ ∃𝑏𝑉 𝐴𝑏 ↔ ∀𝑏𝑉 𝑏 = 𝐴)
26 eqsn 4301 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑉 ≠ ∅ → (𝑉 = {𝐴} ↔ ∀𝑏𝑉 𝑏 = 𝐴))
2726bicomd 212 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑉 ≠ ∅ → (∀𝑏𝑉 𝑏 = 𝐴𝑉 = {𝐴}))
2827adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑏𝑉 𝑏 = 𝐴𝑉 = {𝐴}))
2928adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐴𝑉) → (∀𝑏𝑉 𝑏 = 𝐴𝑉 = {𝐴}))
30 hashsnle1 13066 . . . . . . . . . . . . 13 (#‘{𝐴}) ≤ 1
31 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑉 = {𝐴} → (#‘𝑉) = (#‘{𝐴}))
3231breq1d 4593 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑉 = {𝐴} → ((#‘𝑉) ≤ 1 ↔ (#‘{𝐴}) ≤ 1))
3332adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐴𝑉) ∧ 𝑉 = {𝐴}) → ((#‘𝑉) ≤ 1 ↔ (#‘{𝐴}) ≤ 1))
3430, 33mpbiri 247 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐴𝑉) ∧ 𝑉 = {𝐴}) → (#‘𝑉) ≤ 1)
3534ex 449 . . . . . . . . . . 11 (((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐴𝑉) → (𝑉 = {𝐴} → (#‘𝑉) ≤ 1))
3629, 35sylbid 229 . . . . . . . . . 10 (((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐴𝑉) → (∀𝑏𝑉 𝑏 = 𝐴 → (#‘𝑉) ≤ 1))
37 hashxrcl 13010 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑉𝑊 → (#‘𝑉) ∈ ℝ*)
3837adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) → (#‘𝑉) ∈ ℝ*)
3938adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐴𝑉) → (#‘𝑉) ∈ ℝ*)
409rexri 9976 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ*
41 xrlenlt 9982 . . . . . . . . . . 11 (((#‘𝑉) ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → ((#‘𝑉) ≤ 1 ↔ ¬ 1 < (#‘𝑉)))
4239, 40, 41sylancl 693 . . . . . . . . . 10 (((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐴𝑉) → ((#‘𝑉) ≤ 1 ↔ ¬ 1 < (#‘𝑉)))
4336, 42sylibd 228 . . . . . . . . 9 (((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐴𝑉) → (∀𝑏𝑉 𝑏 = 𝐴 → ¬ 1 < (#‘𝑉)))
4425, 43syl5bi 231 . . . . . . . 8 (((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐴𝑉) → (¬ ∃𝑏𝑉 𝐴𝑏 → ¬ 1 < (#‘𝑉)))
4544con4d 113 . . . . . . 7 (((𝑉𝑊𝑉 ≠ ∅) ∧ 𝐴𝑉) → (1 < (#‘𝑉) → ∃𝑏𝑉 𝐴𝑏))
4645exp31 628 . . . . . 6 (𝑉𝑊 → (𝑉 ≠ ∅ → (𝐴𝑉 → (1 < (#‘𝑉) → ∃𝑏𝑉 𝐴𝑏))))
4746com24 93 . . . . 5 (𝑉𝑊 → (1 < (#‘𝑉) → (𝐴𝑉 → (𝑉 ≠ ∅ → ∃𝑏𝑉 𝐴𝑏))))
48473imp 1249 . . . 4 ((𝑉𝑊 ∧ 1 < (#‘𝑉) ∧ 𝐴𝑉) → (𝑉 ≠ ∅ → ∃𝑏𝑉 𝐴𝑏))
4948com12 32 . . 3 (𝑉 ≠ ∅ → ((𝑉𝑊 ∧ 1 < (#‘𝑉) ∧ 𝐴𝑉) → ∃𝑏𝑉 𝐴𝑏))
5019, 49sylbi 206 . 2 (¬ ∅ = 𝑉 → ((𝑉𝑊 ∧ 1 < (#‘𝑉) ∧ 𝐴𝑉) → ∃𝑏𝑉 𝐴𝑏))
5116, 50pm2.61i 175 1 ((𝑉𝑊 ∧ 1 < (#‘𝑉) ∧ 𝐴𝑉) → ∃𝑏𝑉 𝐴𝑏)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  ∅c0 3874  {csn 4125   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  0cc0 9815  1c1 9816  ℝ*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954  #chash 12979 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-hash 12980 This theorem is referenced by:  3cyclfrgrarn  26540  conngrv2edg  41362  3cyclfrgrrn  41456  copisnmnd  41599
 Copyright terms: Public domain W3C validator