Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdgr0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vdgr0 26427
 Description: The degree of a vertex in an empty graph is zero, because there are no edges. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Alexander van der Vekens, 20-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
vdgr0 ((𝑉𝑊𝑈𝑉) → ((𝑉 VDeg ∅)‘𝑈) = 0)

Proof of Theorem vdgr0
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . 4 (𝑉𝑊𝑉𝑊)
2 f0 5999 . . . . 5 ∅:∅⟶∅
3 ffn 5958 . . . . 5 (∅:∅⟶∅ → ∅ Fn ∅)
42, 3mp1i 13 . . . 4 (𝑉𝑊 → ∅ Fn ∅)
5 0ex 4718 . . . . 5 ∅ ∈ V
65a1i 11 . . . 4 (𝑉𝑊 → ∅ ∈ V)
71, 4, 63jca 1235 . . 3 (𝑉𝑊 → (𝑉𝑊 ∧ ∅ Fn ∅ ∧ ∅ ∈ V))
8 vdgrval 26423 . . 3 (((𝑉𝑊 ∧ ∅ Fn ∅ ∧ ∅ ∈ V) ∧ 𝑈𝑉) → ((𝑉 VDeg ∅)‘𝑈) = ((#‘{𝑥 ∈ ∅ ∣ 𝑈 ∈ (∅‘𝑥)}) +𝑒 (#‘{𝑥 ∈ ∅ ∣ (∅‘𝑥) = {𝑈}})))
97, 8sylan 487 . 2 ((𝑉𝑊𝑈𝑉) → ((𝑉 VDeg ∅)‘𝑈) = ((#‘{𝑥 ∈ ∅ ∣ 𝑈 ∈ (∅‘𝑥)}) +𝑒 (#‘{𝑥 ∈ ∅ ∣ (∅‘𝑥) = {𝑈}})))
10 rab0 3909 . . . . . . 7 {𝑥 ∈ ∅ ∣ 𝑈 ∈ (∅‘𝑥)} = ∅
1110fveq2i 6106 . . . . . 6 (#‘{𝑥 ∈ ∅ ∣ 𝑈 ∈ (∅‘𝑥)}) = (#‘∅)
12 hash0 13019 . . . . . 6 (#‘∅) = 0
1311, 12eqtri 2632 . . . . 5 (#‘{𝑥 ∈ ∅ ∣ 𝑈 ∈ (∅‘𝑥)}) = 0
14 rab0 3909 . . . . . . 7 {𝑥 ∈ ∅ ∣ (∅‘𝑥) = {𝑈}} = ∅
1514fveq2i 6106 . . . . . 6 (#‘{𝑥 ∈ ∅ ∣ (∅‘𝑥) = {𝑈}}) = (#‘∅)
1615, 12eqtri 2632 . . . . 5 (#‘{𝑥 ∈ ∅ ∣ (∅‘𝑥) = {𝑈}}) = 0
1713, 16oveq12i 6561 . . . 4 ((#‘{𝑥 ∈ ∅ ∣ 𝑈 ∈ (∅‘𝑥)}) +𝑒 (#‘{𝑥 ∈ ∅ ∣ (∅‘𝑥) = {𝑈}})) = (0 +𝑒 0)
18 0re 9919 . . . . 5 0 ∈ ℝ
19 rexadd 11937 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (0 +𝑒 0) = (0 + 0))
2018, 18, 19mp2an 704 . . . 4 (0 +𝑒 0) = (0 + 0)
2117, 20eqtri 2632 . . 3 ((#‘{𝑥 ∈ ∅ ∣ 𝑈 ∈ (∅‘𝑥)}) +𝑒 (#‘{𝑥 ∈ ∅ ∣ (∅‘𝑥) = {𝑈}})) = (0 + 0)
22 00id 10090 . . 3 (0 + 0) = 0
2321, 22eqtri 2632 . 2 ((#‘{𝑥 ∈ ∅ ∣ 𝑈 ∈ (∅‘𝑥)}) +𝑒 (#‘{𝑥 ∈ ∅ ∣ (∅‘𝑥) = {𝑈}})) = 0
249, 23syl6eq 2660 1 ((𝑉𝑊𝑈𝑉) → ((𝑉 VDeg ∅)‘𝑈) = 0)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {crab 2900  Vcvv 3173  ∅c0 3874  {csn 4125   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815   + caddc 9818   +𝑒 cxad 11820  #chash 12979   VDeg cvdg 26420 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-xadd 11823  df-fz 12198  df-hash 12980  df-vdgr 26421 This theorem is referenced by:  0egra0rgra  26463  eupath2  26507  vdeg0i  26509  vdfrgra0  26549
 Copyright terms: Public domain W3C validator