Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  wspn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wspn0 41131
 Description: If there are no vertices, then there are no simple paths (of any length), too. (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Mar-2018.) (Revised by AV, 16-May-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
wspn0.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
wspn0 (𝑉 = ∅ → (𝑁 WSPathsN 𝐺) = ∅)

Proof of Theorem wspn0
Dummy variables 𝑓 𝑤 𝑔 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wspthsn 41046 . . . . 5 (𝑁 WSPathsN 𝐺) = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺) ∣ ∃𝑓 𝑓(SPathS‘𝐺)𝑤}
21a1i 11 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐺 ∈ V) ∧ 𝑉 = ∅) → (𝑁 WSPathsN 𝐺) = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺) ∣ ∃𝑓 𝑓(SPathS‘𝐺)𝑤})
3 wwlknbp2 41063 . . . . . . . 8 (𝑤 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺) → (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = (𝑁 + 1)))
4 wspn0.v . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
5 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑉 = ∅ → 𝑉 = ∅)
64, 5syl5eqr 2658 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑉 = ∅ → (Vtx‘𝐺) = ∅)
7 wrdeq 13182 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Vtx‘𝐺) = ∅ → Word (Vtx‘𝐺) = Word ∅)
86, 7syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑉 = ∅ → Word (Vtx‘𝐺) = Word ∅)
98eleq2d 2673 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑉 = ∅ → (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ↔ 𝑤 ∈ Word ∅))
10 0wrd0 13186 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 ∈ Word ∅ ↔ 𝑤 = ∅)
119, 10syl6bb 275 . . . . . . . . . . . 12 (𝑉 = ∅ → (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ↔ 𝑤 = ∅))
1211adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐺 ∈ V) ∧ 𝑉 = ∅) → (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ↔ 𝑤 = ∅))
13 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 = ∅ → (#‘𝑤) = (#‘∅))
14 hash0 13019 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (#‘∅) = 0
1513, 14syl6eq 2660 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 = ∅ → (#‘𝑤) = 0)
1615eqeq1d 2612 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 = ∅ → ((#‘𝑤) = (𝑁 + 1) ↔ 0 = (𝑁 + 1)))
1716adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑤 = ∅) → ((#‘𝑤) = (𝑁 + 1) ↔ 0 = (𝑁 + 1)))
18 nn0p1gt0 11199 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 < (𝑁 + 1))
1918gt0ne0d 10471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ≠ 0)
20 eqneqall 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 + 1) = 0 → ((𝑁 + 1) ≠ 0 → ¬ ∃𝑓 𝑓(SPathS‘𝐺)𝑤))
2120eqcoms 2618 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 = (𝑁 + 1) → ((𝑁 + 1) ≠ 0 → ¬ ∃𝑓 𝑓(SPathS‘𝐺)𝑤))
2221com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 + 1) ≠ 0 → (0 = (𝑁 + 1) → ¬ ∃𝑓 𝑓(SPathS‘𝐺)𝑤))
2319, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 = (𝑁 + 1) → ¬ ∃𝑓 𝑓(SPathS‘𝐺)𝑤))
2423adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑤 = ∅) → (0 = (𝑁 + 1) → ¬ ∃𝑓 𝑓(SPathS‘𝐺)𝑤))
2517, 24sylbid 229 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑤 = ∅) → ((#‘𝑤) = (𝑁 + 1) → ¬ ∃𝑓 𝑓(SPathS‘𝐺)𝑤))
2625ex 449 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑤 = ∅ → ((#‘𝑤) = (𝑁 + 1) → ¬ ∃𝑓 𝑓(SPathS‘𝐺)𝑤)))
2726adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐺 ∈ V) → (𝑤 = ∅ → ((#‘𝑤) = (𝑁 + 1) → ¬ ∃𝑓 𝑓(SPathS‘𝐺)𝑤)))
2827adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐺 ∈ V) ∧ 𝑉 = ∅) → (𝑤 = ∅ → ((#‘𝑤) = (𝑁 + 1) → ¬ ∃𝑓 𝑓(SPathS‘𝐺)𝑤)))
2912, 28sylbid 229 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐺 ∈ V) ∧ 𝑉 = ∅) → (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ((#‘𝑤) = (𝑁 + 1) → ¬ ∃𝑓 𝑓(SPathS‘𝐺)𝑤)))
3029com3l 87 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ((#‘𝑤) = (𝑁 + 1) → (((𝑁 ∈ ℕ0𝐺 ∈ V) ∧ 𝑉 = ∅) → ¬ ∃𝑓 𝑓(SPathS‘𝐺)𝑤)))
3130imp 444 . . . . . . . 8 ((𝑤 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑤) = (𝑁 + 1)) → (((𝑁 ∈ ℕ0𝐺 ∈ V) ∧ 𝑉 = ∅) → ¬ ∃𝑓 𝑓(SPathS‘𝐺)𝑤))
323, 31syl 17 . . . . . . 7 (𝑤 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺) → (((𝑁 ∈ ℕ0𝐺 ∈ V) ∧ 𝑉 = ∅) → ¬ ∃𝑓 𝑓(SPathS‘𝐺)𝑤))
3332impcom 445 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐺 ∈ V) ∧ 𝑉 = ∅) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺)) → ¬ ∃𝑓 𝑓(SPathS‘𝐺)𝑤)
3433ralrimiva 2949 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐺 ∈ V) ∧ 𝑉 = ∅) → ∀𝑤 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺) ¬ ∃𝑓 𝑓(SPathS‘𝐺)𝑤)
35 rabeq0 3911 . . . . 5 ({𝑤 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺) ∣ ∃𝑓 𝑓(SPathS‘𝐺)𝑤} = ∅ ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺) ¬ ∃𝑓 𝑓(SPathS‘𝐺)𝑤)
3634, 35sylibr 223 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐺 ∈ V) ∧ 𝑉 = ∅) → {𝑤 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺) ∣ ∃𝑓 𝑓(SPathS‘𝐺)𝑤} = ∅)
372, 36eqtrd 2644 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐺 ∈ V) ∧ 𝑉 = ∅) → (𝑁 WSPathsN 𝐺) = ∅)
3837ex 449 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐺 ∈ V) → (𝑉 = ∅ → (𝑁 WSPathsN 𝐺) = ∅))
39 df-wspthsn 41036 . . . 4 WSPathsN = (𝑛 ∈ ℕ0, 𝑔 ∈ V ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 WWalkSN 𝑔) ∣ ∃𝑓 𝑓(SPathS‘𝑔)𝑤})
4039mpt2ndm0 6773 . . 3 (¬ (𝑁 ∈ ℕ0𝐺 ∈ V) → (𝑁 WSPathsN 𝐺) = ∅)
4140a1d 25 . 2 (¬ (𝑁 ∈ ℕ0𝐺 ∈ V) → (𝑉 = ∅ → (𝑁 WSPathsN 𝐺) = ∅))
4238, 41pm2.61i 175 1 (𝑉 = ∅ → (𝑁 WSPathsN 𝐺) = ∅)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  {crab 2900  Vcvv 3173  ∅c0 3874   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818  ℕ0cn0 11169  #chash 12979  Word cword 13146  Vtxcvtx 25673  SPathScspths 40920   WWalkSN cwwlksn 41029   WSPathsN cwwspthsn 41031 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-wwlks 41033  df-wwlksn 41034  df-wspthsn 41036 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator