Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashrabsn1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashrabsn1 13024
 Description: If the size of a restricted class abstraction restricted to a singleton is 1, the condition of the class abstraction must hold for the singleton. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
hashrabsn1 ((#‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) = 1 → [𝐴 / 𝑥]𝜑)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem hashrabsn1
StepHypRef Expression
1 eqid 2610 . 2 {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}
2 rabrsn 4203 . 2 ({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} → ({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = ∅ ∨ {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝐴}))
3 fveq2 6103 . . . . 5 ({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = ∅ → (#‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) = (#‘∅))
43eqeq1d 2612 . . . 4 ({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = ∅ → ((#‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) = 1 ↔ (#‘∅) = 1))
5 hash0 13019 . . . . . 6 (#‘∅) = 0
65eqeq1i 2615 . . . . 5 ((#‘∅) = 1 ↔ 0 = 1)
7 0ne1 10965 . . . . . 6 0 ≠ 1
8 eqneqall 2793 . . . . . 6 (0 = 1 → (0 ≠ 1 → [𝐴 / 𝑥]𝜑))
97, 8mpi 20 . . . . 5 (0 = 1 → [𝐴 / 𝑥]𝜑)
106, 9sylbi 206 . . . 4 ((#‘∅) = 1 → [𝐴 / 𝑥]𝜑)
114, 10syl6bi 242 . . 3 ({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = ∅ → ((#‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) = 1 → [𝐴 / 𝑥]𝜑))
12 snidg 4153 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ V → 𝐴 ∈ {𝐴})
1312adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ V ∧ {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝐴}) → 𝐴 ∈ {𝐴})
14 eleq2 2677 . . . . . . . . 9 ({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝐴} → (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} ↔ 𝐴 ∈ {𝐴}))
1514adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ V ∧ {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝐴}) → (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} ↔ 𝐴 ∈ {𝐴}))
1613, 15mpbird 246 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ V ∧ {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝐴}) → 𝐴 ∈ {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑})
17 nfcv 2751 . . . . . . . . 9 𝑥{𝐴}
1817elrabsf 3441 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} ↔ (𝐴 ∈ {𝐴} ∧ [𝐴 / 𝑥]𝜑))
1918simprbi 479 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} → [𝐴 / 𝑥]𝜑)
2016, 19syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ V ∧ {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝐴}) → [𝐴 / 𝑥]𝜑)
2120a1d 25 . . . . 5 ((𝐴 ∈ V ∧ {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝐴}) → ((#‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) = 1 → [𝐴 / 𝑥]𝜑))
2221ex 449 . . . 4 (𝐴 ∈ V → ({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝐴} → ((#‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) = 1 → [𝐴 / 𝑥]𝜑)))
23 snprc 4197 . . . . 5 𝐴 ∈ V ↔ {𝐴} = ∅)
24 eqeq2 2621 . . . . . 6 ({𝐴} = ∅ → ({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝐴} ↔ {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = ∅))
25 ax-1ne0 9884 . . . . . . . . . 10 1 ≠ 0
26 eqneqall 2793 . . . . . . . . . 10 (1 = 0 → (1 ≠ 0 → [𝐴 / 𝑥]𝜑))
2725, 26mpi 20 . . . . . . . . 9 (1 = 0 → [𝐴 / 𝑥]𝜑)
2827eqcoms 2618 . . . . . . . 8 (0 = 1 → [𝐴 / 𝑥]𝜑)
296, 28sylbi 206 . . . . . . 7 ((#‘∅) = 1 → [𝐴 / 𝑥]𝜑)
304, 29syl6bi 242 . . . . . 6 ({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = ∅ → ((#‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) = 1 → [𝐴 / 𝑥]𝜑))
3124, 30syl6bi 242 . . . . 5 ({𝐴} = ∅ → ({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝐴} → ((#‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) = 1 → [𝐴 / 𝑥]𝜑)))
3223, 31sylbi 206 . . . 4 𝐴 ∈ V → ({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝐴} → ((#‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) = 1 → [𝐴 / 𝑥]𝜑)))
3322, 32pm2.61i 175 . . 3 ({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝐴} → ((#‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) = 1 → [𝐴 / 𝑥]𝜑))
3411, 33jaoi 393 . 2 (({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = ∅ ∨ {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑} = {𝐴}) → ((#‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) = 1 → [𝐴 / 𝑥]𝜑))
351, 2, 34mp2b 10 1 ((#‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝜑}) = 1 → [𝐴 / 𝑥]𝜑)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  {crab 2900  Vcvv 3173  [wsbc 3402  ∅c0 3874  {csn 4125  ‘cfv 5804  0cc0 9815  1c1 9816  #chash 12979 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-hash 12980 This theorem is referenced by:  rusgrasn  26472
 Copyright terms: Public domain W3C validator