Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdgr1b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vdgr1b 26431
 Description: The vertex degree of a one-edge graph, case 2: an edge from the given vertex to some other vertex contributes one to the vertex's degree. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by Alexander van der Vekens, 22-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
vdgr1.1 (𝜑𝑉 ∈ V)
vdgr1.2 (𝜑𝐴 ∈ V)
vdgr1.3 (𝜑𝑈𝑉)
vdgr1.4 (𝜑𝐵𝑉)
vdgr1.5 (𝜑𝐵𝑈)
Assertion
Ref Expression
vdgr1b (𝜑 → ((𝑉 VDeg {⟨𝐴, {𝑈, 𝐵}⟩})‘𝑈) = 1)

Proof of Theorem vdgr1b
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vdgr1.1 . . . 4 (𝜑𝑉 ∈ V)
2 vdgr1.2 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ V)
3 prex 4836 . . . . . 6 {𝑈, 𝐵} ∈ V
4 f1osng 6089 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ V ∧ {𝑈, 𝐵} ∈ V) → {⟨𝐴, {𝑈, 𝐵}⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{{𝑈, 𝐵}})
52, 3, 4sylancl 693 . . . . 5 (𝜑 → {⟨𝐴, {𝑈, 𝐵}⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{{𝑈, 𝐵}})
6 f1ofn 6051 . . . . 5 ({⟨𝐴, {𝑈, 𝐵}⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{{𝑈, 𝐵}} → {⟨𝐴, {𝑈, 𝐵}⟩} Fn {𝐴})
75, 6syl 17 . . . 4 (𝜑 → {⟨𝐴, {𝑈, 𝐵}⟩} Fn {𝐴})
8 snex 4835 . . . . 5 {𝐴} ∈ V
98a1i 11 . . . 4 (𝜑 → {𝐴} ∈ V)
10 vdgr1.3 . . . 4 (𝜑𝑈𝑉)
11 vdgrval 26423 . . . 4 (((𝑉 ∈ V ∧ {⟨𝐴, {𝑈, 𝐵}⟩} Fn {𝐴} ∧ {𝐴} ∈ V) ∧ 𝑈𝑉) → ((𝑉 VDeg {⟨𝐴, {𝑈, 𝐵}⟩})‘𝑈) = ((#‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝑈 ∈ ({⟨𝐴, {𝑈, 𝐵}⟩}‘𝑥)}) +𝑒 (#‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ ({⟨𝐴, {𝑈, 𝐵}⟩}‘𝑥) = {𝑈}})))
121, 7, 9, 10, 11syl31anc 1321 . . 3 (𝜑 → ((𝑉 VDeg {⟨𝐴, {𝑈, 𝐵}⟩})‘𝑈) = ((#‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝑈 ∈ ({⟨𝐴, {𝑈, 𝐵}⟩}‘𝑥)}) +𝑒 (#‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ ({⟨𝐴, {𝑈, 𝐵}⟩}‘𝑥) = {𝑈}})))
13 hashrabrsn 13022 . . . . 5 (#‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝑈 ∈ ({⟨𝐴, {𝑈, 𝐵}⟩}‘𝑥)}) ∈ ℕ0
1413nn0rei 11180 . . . 4 (#‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝑈 ∈ ({⟨𝐴, {𝑈, 𝐵}⟩}‘𝑥)}) ∈ ℝ
15 hashrabrsn 13022 . . . . 5 (#‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ ({⟨𝐴, {𝑈, 𝐵}⟩}‘𝑥) = {𝑈}}) ∈ ℕ0
1615nn0rei 11180 . . . 4 (#‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ ({⟨𝐴, {𝑈, 𝐵}⟩}‘𝑥) = {𝑈}}) ∈ ℝ
17 rexadd 11937 . . . 4 (((#‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝑈 ∈ ({⟨𝐴, {𝑈, 𝐵}⟩}‘𝑥)}) ∈ ℝ ∧ (#‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ ({⟨𝐴, {𝑈, 𝐵}⟩}‘𝑥) = {𝑈}}) ∈ ℝ) → ((#‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝑈 ∈ ({⟨𝐴, {𝑈, 𝐵}⟩}‘𝑥)}) +𝑒 (#‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ ({⟨𝐴, {𝑈, 𝐵}⟩}‘𝑥) = {𝑈}})) = ((#‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝑈 ∈ ({⟨𝐴, {𝑈, 𝐵}⟩}‘𝑥)}) + (#‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ ({⟨𝐴, {𝑈, 𝐵}⟩}‘𝑥) = {𝑈}})))
1814, 16, 17mp2an 704 . . 3 ((#‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝑈 ∈ ({⟨𝐴, {𝑈, 𝐵}⟩}‘𝑥)}) +𝑒 (#‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ ({⟨𝐴, {𝑈, 𝐵}⟩}‘𝑥) = {𝑈}})) = ((#‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝑈 ∈ ({⟨𝐴, {𝑈, 𝐵}⟩}‘𝑥)}) + (#‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ ({⟨𝐴, {𝑈, 𝐵}⟩}‘𝑥) = {𝑈}}))
1912, 18syl6eq 2660 . 2 (𝜑 → ((𝑉 VDeg {⟨𝐴, {𝑈, 𝐵}⟩})‘𝑈) = ((#‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝑈 ∈ ({⟨𝐴, {𝑈, 𝐵}⟩}‘𝑥)}) + (#‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ ({⟨𝐴, {𝑈, 𝐵}⟩}‘𝑥) = {𝑈}})))
20 prid1g 4239 . . . . . . . . . . 11 (𝑈𝑉𝑈 ∈ {𝑈, 𝐵})
2110, 20syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈 ∈ {𝑈, 𝐵})
2221adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝐴}) → 𝑈 ∈ {𝑈, 𝐵})
23 elsni 4142 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ {𝐴} → 𝑥 = 𝐴)
2423fveq2d 6107 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ {𝐴} → ({⟨𝐴, {𝑈, 𝐵}⟩}‘𝑥) = ({⟨𝐴, {𝑈, 𝐵}⟩}‘𝐴))
25 fvsng 6352 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ V ∧ {𝑈, 𝐵} ∈ V) → ({⟨𝐴, {𝑈, 𝐵}⟩}‘𝐴) = {𝑈, 𝐵})
262, 3, 25sylancl 693 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ({⟨𝐴, {𝑈, 𝐵}⟩}‘𝐴) = {𝑈, 𝐵})
2724, 26sylan9eqr 2666 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝐴}) → ({⟨𝐴, {𝑈, 𝐵}⟩}‘𝑥) = {𝑈, 𝐵})
2822, 27eleqtrrd 2691 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ {𝐴}) → 𝑈 ∈ ({⟨𝐴, {𝑈, 𝐵}⟩}‘𝑥))
2928ralrimiva 2949 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ {𝐴}𝑈 ∈ ({⟨𝐴, {𝑈, 𝐵}⟩}‘𝑥))
30 rabid2 3096 . . . . . . 7 ({𝐴} = {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝑈 ∈ ({⟨𝐴, {𝑈, 𝐵}⟩}‘𝑥)} ↔ ∀𝑥 ∈ {𝐴}𝑈 ∈ ({⟨𝐴, {𝑈, 𝐵}⟩}‘𝑥))
3129, 30sylibr 223 . . . . . 6 (𝜑 → {𝐴} = {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝑈 ∈ ({⟨𝐴, {𝑈, 𝐵}⟩}‘𝑥)})
3231fveq2d 6107 . . . . 5 (𝜑 → (#‘{𝐴}) = (#‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝑈 ∈ ({⟨𝐴, {𝑈, 𝐵}⟩}‘𝑥)}))
33 hashsng 13020 . . . . . 6 (𝐴 ∈ V → (#‘{𝐴}) = 1)
342, 33syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (#‘{𝐴}) = 1)
3532, 34eqtr3d 2646 . . . 4 (𝜑 → (#‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝑈 ∈ ({⟨𝐴, {𝑈, 𝐵}⟩}‘𝑥)}) = 1)
36 vdgr1.4 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵𝑉)
37 prid2g 4240 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵𝑉𝐵 ∈ {𝑈, 𝐵})
3836, 37syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ {𝑈, 𝐵})
3938adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ {𝐴}) → 𝐵 ∈ {𝑈, 𝐵})
4039, 27eleqtrrd 2691 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝐴}) → 𝐵 ∈ ({⟨𝐴, {𝑈, 𝐵}⟩}‘𝑥))
41 vdgr1.5 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵𝑈)
42 nelsn 4159 . . . . . . . . . . 11 (𝐵𝑈 → ¬ 𝐵 ∈ {𝑈})
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ {𝑈})
4443adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝐴}) → ¬ 𝐵 ∈ {𝑈})
45 nelneq2 2713 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ({⟨𝐴, {𝑈, 𝐵}⟩}‘𝑥) ∧ ¬ 𝐵 ∈ {𝑈}) → ¬ ({⟨𝐴, {𝑈, 𝐵}⟩}‘𝑥) = {𝑈})
4640, 44, 45syl2anc 691 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ {𝐴}) → ¬ ({⟨𝐴, {𝑈, 𝐵}⟩}‘𝑥) = {𝑈})
4746ralrimiva 2949 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ {𝐴} ¬ ({⟨𝐴, {𝑈, 𝐵}⟩}‘𝑥) = {𝑈})
48 rabeq0 3911 . . . . . . 7 ({𝑥 ∈ {𝐴} ∣ ({⟨𝐴, {𝑈, 𝐵}⟩}‘𝑥) = {𝑈}} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ {𝐴} ¬ ({⟨𝐴, {𝑈, 𝐵}⟩}‘𝑥) = {𝑈})
4947, 48sylibr 223 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑥 ∈ {𝐴} ∣ ({⟨𝐴, {𝑈, 𝐵}⟩}‘𝑥) = {𝑈}} = ∅)
5049fveq2d 6107 . . . . 5 (𝜑 → (#‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ ({⟨𝐴, {𝑈, 𝐵}⟩}‘𝑥) = {𝑈}}) = (#‘∅))
51 hash0 13019 . . . . 5 (#‘∅) = 0
5250, 51syl6eq 2660 . . . 4 (𝜑 → (#‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ ({⟨𝐴, {𝑈, 𝐵}⟩}‘𝑥) = {𝑈}}) = 0)
5335, 52oveq12d 6567 . . 3 (𝜑 → ((#‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝑈 ∈ ({⟨𝐴, {𝑈, 𝐵}⟩}‘𝑥)}) + (#‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ ({⟨𝐴, {𝑈, 𝐵}⟩}‘𝑥) = {𝑈}})) = (1 + 0))
54 1p0e1 11010 . . 3 (1 + 0) = 1
5553, 54syl6eq 2660 . 2 (𝜑 → ((#‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ 𝑈 ∈ ({⟨𝐴, {𝑈, 𝐵}⟩}‘𝑥)}) + (#‘{𝑥 ∈ {𝐴} ∣ ({⟨𝐴, {𝑈, 𝐵}⟩}‘𝑥) = {𝑈}})) = 1)
5619, 55eqtrd 2644 1 (𝜑 → ((𝑉 VDeg {⟨𝐴, {𝑈, 𝐵}⟩})‘𝑈) = 1)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  {crab 2900  Vcvv 3173  ∅c0 3874  {csn 4125  {cpr 4127  ⟨cop 4131   Fn wfn 5799  –1-1-onto→wf1o 5803  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   +𝑒 cxad 11820  #chash 12979   VDeg cvdg 26420 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-xadd 11823  df-fz 12198  df-hash 12980  df-vdgr 26421 This theorem is referenced by:  vdgr1c  26432  eupath2lem3  26506  vdegp1bi  26512
 Copyright terms: Public domain W3C validator