Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgra1v Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem usgra1v 25919
 Description: A class with one (or no) vertex is a simple graph if and only if it has no edges. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
usgra1v ({𝐴} USGrph 𝐸𝐸 = ∅)

Proof of Theorem usgra1v
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 usgrav 25867 . . . . 5 ({𝐴} USGrph 𝐸 → ({𝐴} ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V))
2 isusgra 25873 . . . . . . . . 9 (({𝐴} ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) → ({𝐴} USGrph 𝐸𝐸:dom 𝐸1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 {𝐴} ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) = 2}))
32adantr 480 . . . . . . . 8 ((({𝐴} ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ 𝐴 ∈ V) → ({𝐴} USGrph 𝐸𝐸:dom 𝐸1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 {𝐴} ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) = 2}))
4 eqidd 2611 . . . . . . . . . 10 ((({𝐴} ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝐸 = 𝐸)
5 eqidd 2611 . . . . . . . . . 10 ((({𝐴} ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ 𝐴 ∈ V) → dom 𝐸 = dom 𝐸)
6 pwsn 4366 . . . . . . . . . . . . . 14 𝒫 {𝐴} = {∅, {𝐴}}
76difeq1i 3686 . . . . . . . . . . . . 13 (𝒫 {𝐴} ∖ {∅}) = ({∅, {𝐴}} ∖ {∅})
8 snnzg 4251 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ V → {𝐴} ≠ ∅)
98necomd 2837 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ V → ∅ ≠ {𝐴})
109adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((({𝐴} ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ 𝐴 ∈ V) → ∅ ≠ {𝐴})
11 difprsn1 4271 . . . . . . . . . . . . . 14 (∅ ≠ {𝐴} → ({∅, {𝐴}} ∖ {∅}) = {{𝐴}})
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((({𝐴} ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ 𝐴 ∈ V) → ({∅, {𝐴}} ∖ {∅}) = {{𝐴}})
137, 12syl5eq 2656 . . . . . . . . . . . 12 ((({𝐴} ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝒫 {𝐴} ∖ {∅}) = {{𝐴}})
1413rabeqdv 3167 . . . . . . . . . . 11 ((({𝐴} ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ 𝐴 ∈ V) → {𝑥 ∈ (𝒫 {𝐴} ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) = 2} = {𝑥 ∈ {{𝐴}} ∣ (#‘𝑥) = 2})
15 hashsng 13020 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ V → (#‘{𝐴}) = 1)
16 1ne2 11117 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ≠ 2
17 neeq1 2844 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((#‘{𝐴}) = 1 → ((#‘{𝐴}) ≠ 2 ↔ 1 ≠ 2))
1816, 17mpbiri 247 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((#‘{𝐴}) = 1 → (#‘{𝐴}) ≠ 2)
1918neneqd 2787 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((#‘{𝐴}) = 1 → ¬ (#‘{𝐴}) = 2)
2015, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ V → ¬ (#‘{𝐴}) = 2)
21 0ne2 11116 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ≠ 2
2221a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐴 ∈ V → 0 ≠ 2)
2322neneqd 2787 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐴 ∈ V → ¬ 0 = 2)
24 snprc 4197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐴 ∈ V ↔ {𝐴} = ∅)
2524biimpi 205 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐴 ∈ V → {𝐴} = ∅)
2625fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐴 ∈ V → (#‘{𝐴}) = (#‘∅))
27 hash0 13019 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (#‘∅) = 0
2826, 27syl6eq 2660 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐴 ∈ V → (#‘{𝐴}) = 0)
2928eqeq1d 2612 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐴 ∈ V → ((#‘{𝐴}) = 2 ↔ 0 = 2))
3023, 29mtbird 314 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐴 ∈ V → ¬ (#‘{𝐴}) = 2)
3120, 30pm2.61i 175 . . . . . . . . . . . . 13 ¬ (#‘{𝐴}) = 2
32 snex 4835 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝐴} ∈ V
33 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = {𝐴} → (#‘𝑥) = (#‘{𝐴}))
3433eqeq1d 2612 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = {𝐴} → ((#‘𝑥) = 2 ↔ (#‘{𝐴}) = 2))
3534notbid 307 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = {𝐴} → (¬ (#‘𝑥) = 2 ↔ ¬ (#‘{𝐴}) = 2))
3632, 35ralsn 4169 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑥 ∈ {{𝐴}} ¬ (#‘𝑥) = 2 ↔ ¬ (#‘{𝐴}) = 2)
3731, 36mpbir 220 . . . . . . . . . . . 12 𝑥 ∈ {{𝐴}} ¬ (#‘𝑥) = 2
38 rabeq0 3911 . . . . . . . . . . . 12 ({𝑥 ∈ {{𝐴}} ∣ (#‘𝑥) = 2} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ {{𝐴}} ¬ (#‘𝑥) = 2)
3937, 38mpbir 220 . . . . . . . . . . 11 {𝑥 ∈ {{𝐴}} ∣ (#‘𝑥) = 2} = ∅
4014, 39syl6eq 2660 . . . . . . . . . 10 ((({𝐴} ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ 𝐴 ∈ V) → {𝑥 ∈ (𝒫 {𝐴} ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) = 2} = ∅)
414, 5, 40f1eq123d 6044 . . . . . . . . 9 ((({𝐴} ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐸:dom 𝐸1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 {𝐴} ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) = 2} ↔ 𝐸:dom 𝐸1-1→∅))
42 f1f 6014 . . . . . . . . . 10 (𝐸:dom 𝐸1-1→∅ → 𝐸:dom 𝐸⟶∅)
43 f00 6000 . . . . . . . . . . 11 (𝐸:dom 𝐸⟶∅ ↔ (𝐸 = ∅ ∧ dom 𝐸 = ∅))
4443simplbi 475 . . . . . . . . . 10 (𝐸:dom 𝐸⟶∅ → 𝐸 = ∅)
4542, 44syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐸:dom 𝐸1-1→∅ → 𝐸 = ∅)
4641, 45syl6bi 242 . . . . . . . 8 ((({𝐴} ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐸:dom 𝐸1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 {𝐴} ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) = 2} → 𝐸 = ∅))
473, 46sylbid 229 . . . . . . 7 ((({𝐴} ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ 𝐴 ∈ V) → ({𝐴} USGrph 𝐸𝐸 = ∅))
4847ex 449 . . . . . 6 (({𝐴} ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) → (𝐴 ∈ V → ({𝐴} USGrph 𝐸𝐸 = ∅)))
4948com23 84 . . . . 5 (({𝐴} ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) → ({𝐴} USGrph 𝐸 → (𝐴 ∈ V → 𝐸 = ∅)))
501, 49mpcom 37 . . . 4 ({𝐴} USGrph 𝐸 → (𝐴 ∈ V → 𝐸 = ∅))
5150com12 32 . . 3 (𝐴 ∈ V → ({𝐴} USGrph 𝐸𝐸 = ∅))
52 usgra0 25899 . . . . 5 ({𝐴} ∈ V → {𝐴} USGrph ∅)
5332, 52ax-mp 5 . . . 4 {𝐴} USGrph ∅
54 breq2 4587 . . . 4 (𝐸 = ∅ → ({𝐴} USGrph 𝐸 ↔ {𝐴} USGrph ∅))
5553, 54mpbiri 247 . . 3 (𝐸 = ∅ → {𝐴} USGrph 𝐸)
5651, 55impbid1 214 . 2 (𝐴 ∈ V → ({𝐴} USGrph 𝐸𝐸 = ∅))
57 breq1 4586 . . . 4 ({𝐴} = ∅ → ({𝐴} USGrph 𝐸 ↔ ∅ USGrph 𝐸))
58 usgra0v 25900 . . . 4 (∅ USGrph 𝐸𝐸 = ∅)
5957, 58syl6bb 275 . . 3 ({𝐴} = ∅ → ({𝐴} USGrph 𝐸𝐸 = ∅))
6024, 59sylbi 206 . 2 𝐴 ∈ V → ({𝐴} USGrph 𝐸𝐸 = ∅))
6156, 60pm2.61i 175 1 ({𝐴} USGrph 𝐸𝐸 = ∅)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  {crab 2900  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537  ∅c0 3874  𝒫 cpw 4108  {csn 4125  {cpr 4127   class class class wbr 4583  dom cdm 5038  ⟶wf 5800  –1-1→wf1 5801  ‘cfv 5804  0cc0 9815  1c1 9816  2c2 10947  #chash 12979   USGrph cusg 25859 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-hash 12980  df-usgra 25862 This theorem is referenced by:  usgrafisindb1  25938  vdfrgra0  26549
 Copyright terms: Public domain W3C validator