Theorem usgra1v 25919

Description: A class with one (or no) vertex is a simple graph if and only if it has no edges. (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Oct-2017.)

Assertion

Ref	Expression
usgra1v	⊢ ({𝐴} USGrph 𝐸 ↔ 𝐸 = ∅)

Proof of Theorem usgra1v

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgrav 25867	. . . . 5 ⊢ ({𝐴} USGrph 𝐸 → ({𝐴} ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V))
2		isusgra 25873	. . . . . . . . 9 ⊢ (({𝐴} ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) → ({𝐴} USGrph 𝐸 ↔ 𝐸:dom 𝐸–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 {𝐴} ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) = 2}))
3	2	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((({𝐴} ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ 𝐴 ∈ V) → ({𝐴} USGrph 𝐸 ↔ 𝐸:dom 𝐸–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 {𝐴} ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) = 2}))
4		eqidd 2611	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((({𝐴} ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝐸 = 𝐸)
5		eqidd 2611	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((({𝐴} ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ 𝐴 ∈ V) → dom 𝐸 = dom 𝐸)
6		pwsn 4366	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝒫 {𝐴} = {∅, {𝐴}}
7	6	difeq1i 3686	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝒫 {𝐴} ∖ {∅}) = ({∅, {𝐴}} ∖ {∅})
8		snnzg 4251	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ V → {𝐴} ≠ ∅)
9	8	necomd 2837	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ V → ∅ ≠ {𝐴})
10	9	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((({𝐴} ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ 𝐴 ∈ V) → ∅ ≠ {𝐴})
11		difprsn1 4271	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∅ ≠ {𝐴} → ({∅, {𝐴}} ∖ {∅}) = {{𝐴}})
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((({𝐴} ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ 𝐴 ∈ V) → ({∅, {𝐴}} ∖ {∅}) = {{𝐴}})
13	7, 12	syl5eq 2656	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((({𝐴} ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝒫 {𝐴} ∖ {∅}) = {{𝐴}})
14	13	rabeqdv 3167	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((({𝐴} ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ 𝐴 ∈ V) → {𝑥 ∈ (𝒫 {𝐴} ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) = 2} = {𝑥 ∈ {{𝐴}} ∣ (#‘𝑥) = 2})
15		hashsng 13020	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ V → (#‘{𝐴}) = 1)
16		1ne2 11117	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ≠ 2
17		neeq1 2844	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((#‘{𝐴}) = 1 → ((#‘{𝐴}) ≠ 2 ↔ 1 ≠ 2))
18	16, 17	mpbiri 247	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((#‘{𝐴}) = 1 → (#‘{𝐴}) ≠ 2)
19	18	neneqd 2787	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((#‘{𝐴}) = 1 → ¬ (#‘{𝐴}) = 2)
20	15, 19	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 ∈ V → ¬ (#‘{𝐴}) = 2)
21		0ne2 11116	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 ≠ 2
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → 0 ≠ 2)
23	22	neneqd 2787	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ¬ 0 = 2)
24		snprc 4197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V ↔ {𝐴} = ∅)
25	24	biimpi 205	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → {𝐴} = ∅)
26	25	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (#‘{𝐴}) = (#‘∅))
27		hash0 13019	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (#‘∅) = 0
28	26, 27	syl6eq 2660	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (#‘{𝐴}) = 0)
29	28	eqeq1d 2612	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ((#‘{𝐴}) = 2 ↔ 0 = 2))
30	23, 29	mtbird 314	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ¬ (#‘{𝐴}) = 2)
31	20, 30	pm2.61i 175	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ¬ (#‘{𝐴}) = 2
32		snex 4835	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {𝐴} ∈ V
33		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = {𝐴} → (#‘𝑥) = (#‘{𝐴}))
34	33	eqeq1d 2612	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = {𝐴} → ((#‘𝑥) = 2 ↔ (#‘{𝐴}) = 2))
35	34	notbid 307	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = {𝐴} → (¬ (#‘𝑥) = 2 ↔ ¬ (#‘{𝐴}) = 2))
36	32, 35	ralsn 4169	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑥 ∈ {{𝐴}} ¬ (#‘𝑥) = 2 ↔ ¬ (#‘{𝐴}) = 2)
37	31, 36	mpbir 220	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∀𝑥 ∈ {{𝐴}} ¬ (#‘𝑥) = 2
38		rabeq0 3911	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ({𝑥 ∈ {{𝐴}} ∣ (#‘𝑥) = 2} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ {{𝐴}} ¬ (#‘𝑥) = 2)
39	37, 38	mpbir 220	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑥 ∈ {{𝐴}} ∣ (#‘𝑥) = 2} = ∅
40	14, 39	syl6eq 2660	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((({𝐴} ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ 𝐴 ∈ V) → {𝑥 ∈ (𝒫 {𝐴} ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) = 2} = ∅)
41	4, 5, 40	f1eq123d 6044	. . . . . . . . 9 ⊢ ((({𝐴} ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐸:dom 𝐸–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 {𝐴} ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) = 2} ↔ 𝐸:dom 𝐸–1-1→∅))
42		f1f 6014	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐸:dom 𝐸–1-1→∅ → 𝐸:dom 𝐸⟶∅)
43		f00 6000	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐸:dom 𝐸⟶∅ ↔ (𝐸 = ∅ ∧ dom 𝐸 = ∅))
44	43	simplbi 475	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐸:dom 𝐸⟶∅ → 𝐸 = ∅)
45	42, 44	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐸:dom 𝐸–1-1→∅ → 𝐸 = ∅)
46	41, 45	syl6bi 242	. . . . . . . 8 ⊢ ((({𝐴} ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝐸:dom 𝐸–1-1→{𝑥 ∈ (𝒫 {𝐴} ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) = 2} → 𝐸 = ∅))
47	3, 46	sylbid 229	. . . . . . 7 ⊢ ((({𝐴} ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ 𝐴 ∈ V) → ({𝐴} USGrph 𝐸 → 𝐸 = ∅))
48	47	ex 449	. . . . . 6 ⊢ (({𝐴} ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) → (𝐴 ∈ V → ({𝐴} USGrph 𝐸 → 𝐸 = ∅)))
49	48	com23 84	. . . . 5 ⊢ (({𝐴} ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) → ({𝐴} USGrph 𝐸 → (𝐴 ∈ V → 𝐸 = ∅)))
50	1, 49	mpcom 37	. . . 4 ⊢ ({𝐴} USGrph 𝐸 → (𝐴 ∈ V → 𝐸 = ∅))
51	50	com12 32	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → ({𝐴} USGrph 𝐸 → 𝐸 = ∅))
52		usgra0 25899	. . . . 5 ⊢ ({𝐴} ∈ V → {𝐴} USGrph ∅)
53	32, 52	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ {𝐴} USGrph ∅
54		breq2 4587	. . . 4 ⊢ (𝐸 = ∅ → ({𝐴} USGrph 𝐸 ↔ {𝐴} USGrph ∅))
55	53, 54	mpbiri 247	. . 3 ⊢ (𝐸 = ∅ → {𝐴} USGrph 𝐸)
56	51, 55	impbid1 214	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → ({𝐴} USGrph 𝐸 ↔ 𝐸 = ∅))
57		breq1 4586	. . . 4 ⊢ ({𝐴} = ∅ → ({𝐴} USGrph 𝐸 ↔ ∅ USGrph 𝐸))
58		usgra0v 25900	. . . 4 ⊢ (∅ USGrph 𝐸 ↔ 𝐸 = ∅)
59	57, 58	syl6bb 275	. . 3 ⊢ ({𝐴} = ∅ → ({𝐴} USGrph 𝐸 ↔ 𝐸 = ∅))
60	24, 59	sylbi 206	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ({𝐴} USGrph 𝐸 ↔ 𝐸 = ∅))
61	56, 60	pm2.61i 175	1 ⊢ ({𝐴} USGrph 𝐸 ↔ 𝐸 = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  {crab 2900  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537  ∅c0 3874  𝒫 cpw 4108  {csn 4125  {cpr 4127   class class class wbr 4583  dom cdm 5038  ⟶wf 5800  –1-1→wf1 5801  ‘cfv 5804  0cc0 9815  1c1 9816  2c2 10947  #chash 12979   USGrph cusg 25859

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-hash 12980  df-usgra 25862

This theorem is referenced by:  usgrafisindb1  25938  vdfrgra0  26549