Theorem eupath 26508

Description: A graph with an Eulerian path has either zero or two vertices of odd degree. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
eupath	⊢ ((𝑉 EulPaths 𝐸) ≠ ∅ → (#‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑥)}) ∈ {0, 2})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐸   𝑥,𝑉

Proof of Theorem eupath

Dummy variables 𝑓 𝑝 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		releupa 26491	. . . . 5 ⊢ Rel (𝑉 EulPaths 𝐸)
2		reldm0 5264	. . . . 5 ⊢ (Rel (𝑉 EulPaths 𝐸) → ((𝑉 EulPaths 𝐸) = ∅ ↔ dom (𝑉 EulPaths 𝐸) = ∅))
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((𝑉 EulPaths 𝐸) = ∅ ↔ dom (𝑉 EulPaths 𝐸) = ∅)
4	3	necon3bii 2834	. . 3 ⊢ ((𝑉 EulPaths 𝐸) ≠ ∅ ↔ dom (𝑉 EulPaths 𝐸) ≠ ∅)
5		n0 3890	. . 3 ⊢ (dom (𝑉 EulPaths 𝐸) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ dom (𝑉 EulPaths 𝐸))
6	4, 5	bitri 263	. 2 ⊢ ((𝑉 EulPaths 𝐸) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ dom (𝑉 EulPaths 𝐸))
7		vex 3176	. . . . 5 ⊢ 𝑓 ∈ V
8	7	eldm 5243	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ dom (𝑉 EulPaths 𝐸) ↔ ∃𝑝 𝑓(𝑉 EulPaths 𝐸)𝑝)
9		eupagra 26493	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓(𝑉 EulPaths 𝐸)𝑝 → 𝑉 UMGrph 𝐸)
10		umgraf2 25846	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 UMGrph 𝐸 → 𝐸:dom 𝐸⟶{𝑦 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑦) ≤ 2})
11		ffn 5958	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐸:dom 𝐸⟶{𝑦 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑦) ≤ 2} → 𝐸 Fn dom 𝐸)
12	9, 10, 11	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓(𝑉 EulPaths 𝐸)𝑝 → 𝐸 Fn dom 𝐸)
13		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓(𝑉 EulPaths 𝐸)𝑝 → 𝑓(𝑉 EulPaths 𝐸)𝑝)
14	12, 13	eupath2 26507	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓(𝑉 EulPaths 𝐸)𝑝 → {𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑥)} = if((𝑝‘0) = (𝑝‘(#‘𝑓)), ∅, {(𝑝‘0), (𝑝‘(#‘𝑓))}))
15	14	fveq2d 6107	. . . . . 6 ⊢ (𝑓(𝑉 EulPaths 𝐸)𝑝 → (#‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑥)}) = (#‘if((𝑝‘0) = (𝑝‘(#‘𝑓)), ∅, {(𝑝‘0), (𝑝‘(#‘𝑓))})))
16		fveq2 6103	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ = if((𝑝‘0) = (𝑝‘(#‘𝑓)), ∅, {(𝑝‘0), (𝑝‘(#‘𝑓))}) → (#‘∅) = (#‘if((𝑝‘0) = (𝑝‘(#‘𝑓)), ∅, {(𝑝‘0), (𝑝‘(#‘𝑓))})))
17	16	eleq1d 2672	. . . . . . 7 ⊢ (∅ = if((𝑝‘0) = (𝑝‘(#‘𝑓)), ∅, {(𝑝‘0), (𝑝‘(#‘𝑓))}) → ((#‘∅) ∈ {0, 2} ↔ (#‘if((𝑝‘0) = (𝑝‘(#‘𝑓)), ∅, {(𝑝‘0), (𝑝‘(#‘𝑓))})) ∈ {0, 2}))
18		fveq2 6103	. . . . . . . 8 ⊢ ({(𝑝‘0), (𝑝‘(#‘𝑓))} = if((𝑝‘0) = (𝑝‘(#‘𝑓)), ∅, {(𝑝‘0), (𝑝‘(#‘𝑓))}) → (#‘{(𝑝‘0), (𝑝‘(#‘𝑓))}) = (#‘if((𝑝‘0) = (𝑝‘(#‘𝑓)), ∅, {(𝑝‘0), (𝑝‘(#‘𝑓))})))
19	18	eleq1d 2672	. . . . . . 7 ⊢ ({(𝑝‘0), (𝑝‘(#‘𝑓))} = if((𝑝‘0) = (𝑝‘(#‘𝑓)), ∅, {(𝑝‘0), (𝑝‘(#‘𝑓))}) → ((#‘{(𝑝‘0), (𝑝‘(#‘𝑓))}) ∈ {0, 2} ↔ (#‘if((𝑝‘0) = (𝑝‘(#‘𝑓)), ∅, {(𝑝‘0), (𝑝‘(#‘𝑓))})) ∈ {0, 2}))
20		hash0 13019	. . . . . . . . 9 ⊢ (#‘∅) = 0
21		c0ex 9913	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ V
22	21	prid1 4241	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ {0, 2}
23	20, 22	eqeltri 2684	. . . . . . . 8 ⊢ (#‘∅) ∈ {0, 2}
24	23	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓(𝑉 EulPaths 𝐸)𝑝 ∧ (𝑝‘0) = (𝑝‘(#‘𝑓))) → (#‘∅) ∈ {0, 2})
25		simpr 476	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑓(𝑉 EulPaths 𝐸)𝑝 ∧ ¬ (𝑝‘0) = (𝑝‘(#‘𝑓))) → ¬ (𝑝‘0) = (𝑝‘(#‘𝑓)))
26	25	neqned 2789	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓(𝑉 EulPaths 𝐸)𝑝 ∧ ¬ (𝑝‘0) = (𝑝‘(#‘𝑓))) → (𝑝‘0) ≠ (𝑝‘(#‘𝑓)))
27		fvex 6113	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝‘0) ∈ V
28		fvex 6113	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝‘(#‘𝑓)) ∈ V
29		hashprgOLD 13044	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑝‘0) ∈ V ∧ (𝑝‘(#‘𝑓)) ∈ V) → ((𝑝‘0) ≠ (𝑝‘(#‘𝑓)) ↔ (#‘{(𝑝‘0), (𝑝‘(#‘𝑓))}) = 2))
30	27, 28, 29	mp2an 704	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝‘0) ≠ (𝑝‘(#‘𝑓)) ↔ (#‘{(𝑝‘0), (𝑝‘(#‘𝑓))}) = 2)
31	26, 30	sylib 207	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓(𝑉 EulPaths 𝐸)𝑝 ∧ ¬ (𝑝‘0) = (𝑝‘(#‘𝑓))) → (#‘{(𝑝‘0), (𝑝‘(#‘𝑓))}) = 2)
32		2ex 10969	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ V
33	32	prid2 4242	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ {0, 2}
34	31, 33	syl6eqel 2696	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑓(𝑉 EulPaths 𝐸)𝑝 ∧ ¬ (𝑝‘0) = (𝑝‘(#‘𝑓))) → (#‘{(𝑝‘0), (𝑝‘(#‘𝑓))}) ∈ {0, 2})
35	17, 19, 24, 34	ifbothda 4073	. . . . . 6 ⊢ (𝑓(𝑉 EulPaths 𝐸)𝑝 → (#‘if((𝑝‘0) = (𝑝‘(#‘𝑓)), ∅, {(𝑝‘0), (𝑝‘(#‘𝑓))})) ∈ {0, 2})
36	15, 35	eqeltrd 2688	. . . . 5 ⊢ (𝑓(𝑉 EulPaths 𝐸)𝑝 → (#‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑥)}) ∈ {0, 2})
37	36	exlimiv 1845	. . . 4 ⊢ (∃𝑝 𝑓(𝑉 EulPaths 𝐸)𝑝 → (#‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑥)}) ∈ {0, 2})
38	8, 37	sylbi 206	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ dom (𝑉 EulPaths 𝐸) → (#‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑥)}) ∈ {0, 2})
39	38	exlimiv 1845	. 2 ⊢ (∃𝑓 𝑓 ∈ dom (𝑉 EulPaths 𝐸) → (#‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑥)}) ∈ {0, 2})
40	6, 39	sylbi 206	1 ⊢ ((𝑉 EulPaths 𝐸) ≠ ∅ → (#‘{𝑥 ∈ 𝑉 ∣ ¬ 2 ∥ ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑥)}) ∈ {0, 2})

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  {crab 2900  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537  ∅c0 3874  ifcif 4036  𝒫 cpw 4108  {csn 4125  {cpr 4127   class class class wbr 4583  dom cdm 5038  Rel wrel 5043   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815   ≤ cle 9954  2c2 10947  #chash 12979   ∥ cdvds 14821   UMGrph cumg 25841   VDeg cvdg 26420   EulPaths ceup 26489

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-xadd 11823  df-fz 12198  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-dvds 14822  df-umgra 25842  df-vdgr 26421  df-eupa 26490

This theorem is referenced by:  konigsberg  26514