Theorem hashprgOLD 13044

Description: Obsolete version of hashprg 13043 as of 18-Sep-2021. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2016.) TODO-AV: to be removed after revision of graph theory! (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hashprgOLD	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ (#‘{𝐴, 𝐵}) = 2))

Proof of Theorem hashprgOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 476	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 𝐵 ∈ 𝑉)
2		elsni 4142	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ {𝐴} → 𝐵 = 𝐴)
3	2	eqcomd 2616	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ {𝐴} → 𝐴 = 𝐵)
4	3	necon3ai 2807	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ¬ 𝐵 ∈ {𝐴})
5		snfi 7923	. . . . . 6 ⊢ {𝐴} ∈ Fin
6		hashunsng 13042	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (({𝐴} ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ {𝐴}) → (#‘({𝐴} ∪ {𝐵})) = ((#‘{𝐴}) + 1)))
7	6	imp 444	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ({𝐴} ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ {𝐴})) → (#‘({𝐴} ∪ {𝐵})) = ((#‘{𝐴}) + 1))
8	5, 7	mpanr1 715	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ¬ 𝐵 ∈ {𝐴}) → (#‘({𝐴} ∪ {𝐵})) = ((#‘{𝐴}) + 1))
9	1, 4, 8	syl2an 493	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (#‘({𝐴} ∪ {𝐵})) = ((#‘{𝐴}) + 1))
10		hashsng 13020	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (#‘{𝐴}) = 1)
11	10	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (#‘{𝐴}) = 1)
12	11	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (#‘{𝐴}) = 1)
13	12	oveq1d 6564	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ((#‘{𝐴}) + 1) = (1 + 1))
14	9, 13	eqtrd 2644	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (#‘({𝐴} ∪ {𝐵})) = (1 + 1))
15		df-pr 4128	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
16	15	fveq2i 6106	. . 3 ⊢ (#‘{𝐴, 𝐵}) = (#‘({𝐴} ∪ {𝐵}))
17		df-2 10956	. . 3 ⊢ 2 = (1 + 1)
18	14, 16, 17	3eqtr4g 2669	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (#‘{𝐴, 𝐵}) = 2)
19		1ne2 11117	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 2
20	19	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → 1 ≠ 2)
21	11, 20	eqnetrd 2849	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (#‘{𝐴}) ≠ 2)
22		dfsn2 4138	. . . . . . . 8 ⊢ {𝐴} = {𝐴, 𝐴}
23		preq2 4213	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐴} = {𝐴, 𝐵})
24	22, 23	syl5req 2657	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐵} = {𝐴})
25	24	fveq2d 6107	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (#‘{𝐴, 𝐵}) = (#‘{𝐴}))
26	25	neeq1d 2841	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ((#‘{𝐴, 𝐵}) ≠ 2 ↔ (#‘{𝐴}) ≠ 2))
27	21, 26	syl5ibrcom 236	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 = 𝐵 → (#‘{𝐴, 𝐵}) ≠ 2))
28	27	necon2d 2805	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → ((#‘{𝐴, 𝐵}) = 2 → 𝐴 ≠ 𝐵))
29	28	imp 444	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ (#‘{𝐴, 𝐵}) = 2) → 𝐴 ≠ 𝐵)
30	18, 29	impbida 873	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ (#‘{𝐴, 𝐵}) = 2))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   ∪ cun 3538  {csn 4125  {cpr 4127  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  1c1 9816   + caddc 9818  2c2 10947  #chash 12979

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-hash 12980

This theorem is referenced by:  umgraex  25852  usgra1  25902  usgranloopv  25907  usgraexmplef  25929  cusgraexi  25997  cusgrafilem1  26007  2trllemA  26080  2pthon  26132  2pthon3v  26134  nbhashuvtx1  26442  eupath  26508