Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eupath Structured version   Unicode version

Theorem eupath 25707
 Description: A graph with an Eulerian path has either zero or two vertices of odd degree. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
eupath EulPaths VDeg
Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem eupath
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 releupa 25690 . . . . 5 EulPaths
2 reldm0 5071 . . . . 5 EulPaths EulPaths EulPaths
31, 2ax-mp 5 . . . 4 EulPaths EulPaths
43necon3bii 2688 . . 3 EulPaths EulPaths
5 n0 3771 . . 3 EulPaths EulPaths
64, 5bitri 252 . 2 EulPaths EulPaths
7 vex 3083 . . . . 5
87eldm 5051 . . . 4 EulPaths EulPaths
9 eupagra 25692 . . . . . . . . 9 EulPaths UMGrph
10 umgraf2 25042 . . . . . . . . 9 UMGrph
11 ffn 5746 . . . . . . . . 9
129, 10, 113syl 18 . . . . . . . 8 EulPaths
13 id 22 . . . . . . . 8 EulPaths EulPaths
1412, 13eupath2 25706 . . . . . . 7 EulPaths VDeg
1514fveq2d 5885 . . . . . 6 EulPaths VDeg
16 fveq2 5881 . . . . . . . 8
1716eleq1d 2491 . . . . . . 7
18 fveq2 5881 . . . . . . . 8
1918eleq1d 2491 . . . . . . 7
20 hash0 12554 . . . . . . . . 9
21 c0ex 9644 . . . . . . . . . 10
2221prid1 4108 . . . . . . . . 9
2320, 22eqeltri 2503 . . . . . . . 8
2423a1i 11 . . . . . . 7 EulPaths
25 simpr 462 . . . . . . . . . 10 EulPaths
2625neqned 2623 . . . . . . . . 9 EulPaths
27 fvex 5891 . . . . . . . . . 10
28 fvex 5891 . . . . . . . . . 10
29 hashprg 12578 . . . . . . . . . 10
3027, 28, 29mp2an 676 . . . . . . . . 9
3126, 30sylib 199 . . . . . . . 8 EulPaths
32 2ex 10688 . . . . . . . . 9
3332prid2 4109 . . . . . . . 8
3431, 33syl6eqel 2515 . . . . . . 7 EulPaths
3517, 19, 24, 34ifbothda 3946 . . . . . 6 EulPaths
3615, 35eqeltrd 2507 . . . . 5 EulPaths VDeg
3736exlimiv 1770 . . . 4 EulPaths VDeg
388, 37sylbi 198 . . 3 EulPaths VDeg
3938exlimiv 1770 . 2 EulPaths VDeg
406, 39sylbi 198 1 EulPaths VDeg
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 187   wa 370   wceq 1437  wex 1657   wcel 1872   wne 2614  crab 2775  cvv 3080   cdif 3433  c0 3761  cif 3911  cpw 3981  csn 3998  cpr 4000   class class class wbr 4423   cdm 4853   wrel 4858   wfn 5596  wf 5597  cfv 5601  (class class class)co 6305  cc0 9546   cle 9683  c2 10666  chash 12521   cdvds 14304   UMGrph cumg 25037   VDeg cvdg 25619   EulPaths ceup 25688 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623  ax-pre-sup 9624 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-1o 7193  df-oadd 7197  df-er 7374  df-pm 7486  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-fin 7584  df-sup 7965  df-inf 7966  df-card 8381  df-cda 8605  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-rp 11310  df-xadd 11417  df-fz 11792  df-seq 12220  df-exp 12279  df-hash 12522  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-dvds 14305  df-umgra 25038  df-vdgr 25620  df-eupa 25689 This theorem is referenced by:  konigsberg  25713
 Copyright terms: Public domain W3C validator