MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  umgrislfupgrlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem umgrislfupgrlem 25788
Description: Lemma for umgrislfupgr 25789 and usgrislfuspgr 40414. (Contributed by AV, 27-Jan-2021.)
Assertion
Ref Expression
umgrislfupgrlem ({𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2} ∩ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (#‘𝑥)}) = {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) = 2}

Proof of Theorem umgrislfupgrlem
StepHypRef Expression
1 2pos 10989 . . . 4 0 < 2
2 simprl 790 . . . . . . . . 9 ((0 < 2 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑥))) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑉)
3 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = ∅ → (#‘𝑥) = (#‘∅))
4 hash0 13019 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (#‘∅) = 0
53, 4syl6eq 2660 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = ∅ → (#‘𝑥) = 0)
65breq2d 4595 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = ∅ → (2 ≤ (#‘𝑥) ↔ 2 ≤ 0))
7 2re 10967 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℝ
8 0re 9919 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℝ
97, 8lenlti 10036 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 ≤ 0 ↔ ¬ 0 < 2)
10 pm2.21 119 . . . . . . . . . . . . . . 15 (¬ 0 < 2 → (0 < 2 → 𝑥 ≠ ∅))
119, 10sylbi 206 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 ≤ 0 → (0 < 2 → 𝑥 ≠ ∅))
126, 11syl6bi 242 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = ∅ → (2 ≤ (#‘𝑥) → (0 < 2 → 𝑥 ≠ ∅)))
1312adantld 482 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = ∅ → ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑥)) → (0 < 2 → 𝑥 ≠ ∅)))
1413com23 84 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ∅ → (0 < 2 → ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑥)) → 𝑥 ≠ ∅)))
1514impd 446 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ∅ → ((0 < 2 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑥))) → 𝑥 ≠ ∅))
16 ax-1 6 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ≠ ∅ → ((0 < 2 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑥))) → 𝑥 ≠ ∅))
1715, 16pm2.61ine 2865 . . . . . . . . 9 ((0 < 2 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑥))) → 𝑥 ≠ ∅)
18 eldifsn 4260 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑉𝑥 ≠ ∅))
192, 17, 18sylanbrc 695 . . . . . . . 8 ((0 < 2 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑥))) → 𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}))
20 simprr 792 . . . . . . . 8 ((0 < 2 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑥))) → 2 ≤ (#‘𝑥))
2119, 20jca 553 . . . . . . 7 ((0 < 2 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑥))) → (𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∧ 2 ≤ (#‘𝑥)))
2221ex 449 . . . . . 6 (0 < 2 → ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑥)) → (𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∧ 2 ≤ (#‘𝑥))))
23 eldifi 3694 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑉)
2423anim1i 590 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∧ 2 ≤ (#‘𝑥)) → (𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑥)))
2522, 24impbid1 214 . . . . 5 (0 < 2 → ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∧ 2 ≤ (#‘𝑥)) ↔ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∧ 2 ≤ (#‘𝑥))))
2625rabbidva2 3162 . . . 4 (0 < 2 → {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (#‘𝑥)} = {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ 2 ≤ (#‘𝑥)})
271, 26ax-mp 5 . . 3 {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (#‘𝑥)} = {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ 2 ≤ (#‘𝑥)}
2827ineq2i 3773 . 2 ({𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2} ∩ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (#‘𝑥)}) = ({𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2} ∩ {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ 2 ≤ (#‘𝑥)})
29 inrab 3858 . 2 ({𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2} ∩ {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ 2 ≤ (#‘𝑥)}) = {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ ((#‘𝑥) ≤ 2 ∧ 2 ≤ (#‘𝑥))}
30 vex 3176 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ V
31 hashxnn0 12989 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ V → (#‘𝑥) ∈ ℕ0*)
3230, 31ax-mp 5 . . . . . . 7 (#‘𝑥) ∈ ℕ0*
33 xnn0xr 11245 . . . . . . 7 ((#‘𝑥) ∈ ℕ0* → (#‘𝑥) ∈ ℝ*)
3432, 33ax-mp 5 . . . . . 6 (#‘𝑥) ∈ ℝ*
357rexri 9976 . . . . . 6 2 ∈ ℝ*
36 xrletri3 11861 . . . . . 6 (((#‘𝑥) ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ*) → ((#‘𝑥) = 2 ↔ ((#‘𝑥) ≤ 2 ∧ 2 ≤ (#‘𝑥))))
3734, 35, 36mp2an 704 . . . . 5 ((#‘𝑥) = 2 ↔ ((#‘𝑥) ≤ 2 ∧ 2 ≤ (#‘𝑥)))
3837bicomi 213 . . . 4 (((#‘𝑥) ≤ 2 ∧ 2 ≤ (#‘𝑥)) ↔ (#‘𝑥) = 2)
3938a1i 11 . . 3 (𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) → (((#‘𝑥) ≤ 2 ∧ 2 ≤ (#‘𝑥)) ↔ (#‘𝑥) = 2))
4039rabbiia 3161 . 2 {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ ((#‘𝑥) ≤ 2 ∧ 2 ≤ (#‘𝑥))} = {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) = 2}
4128, 29, 403eqtri 2636 1 ({𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) ≤ 2} ∩ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (#‘𝑥)}) = {𝑥 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ (#‘𝑥) = 2}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 195  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  {crab 2900  Vcvv 3173  cdif 3537  cin 3539  c0 3874  𝒫 cpw 4108  {csn 4125   class class class wbr 4583  cfv 5804  0cc0 9815  *cxr 9952   < clt 9953  cle 9954  2c2 10947  0*cxnn0 11240  #chash 12979
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-hash 12980
This theorem is referenced by:  umgrislfupgr  25789  usgrislfuspgr  40414
  Copyright terms: Public domain W3C validator