Theorem 0trl 26076

Description: A pair of an empty set (of edges) and a second set (of vertices) is a trail if and only if the second set contains exactly one vertex (in an undirected graph). (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Oct-2017.) (Proof shortened by AV, 7-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
0trl	⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑍) → (∅(𝑉 Trails 𝐸)𝑃 ↔ 𝑃:(0...0)⟶𝑉))

Proof of Theorem 0trl

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4718	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
2		istrl 26067	. . 3 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ (∅ ∈ V ∧ 𝑃 ∈ 𝑍)) → (∅(𝑉 Trails 𝐸)𝑃 ↔ ((∅ ∈ Word dom 𝐸 ∧ Fun ◡∅) ∧ 𝑃:(0...(#‘∅))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘∅))(𝐸‘(∅‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})))
3	1, 2	mpanr1 715	. 2 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑍) → (∅(𝑉 Trails 𝐸)𝑃 ↔ ((∅ ∈ Word dom 𝐸 ∧ Fun ◡∅) ∧ 𝑃:(0...(#‘∅))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘∅))(𝐸‘(∅‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})))
4		ral0 4028	. . . . 5 ⊢ ∀𝑘 ∈ ∅ (𝐸‘(∅‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}
5		hash0 13019	. . . . . . . 8 ⊢ (#‘∅) = 0
6	5	oveq2i 6560	. . . . . . 7 ⊢ (0..^(#‘∅)) = (0..^0)
7		fzo0 12361	. . . . . . 7 ⊢ (0..^0) = ∅
8	6, 7	eqtri 2632	. . . . . 6 ⊢ (0..^(#‘∅)) = ∅
9	8	raleqi 3119	. . . . 5 ⊢ (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘∅))(𝐸‘(∅‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ↔ ∀𝑘 ∈ ∅ (𝐸‘(∅‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))})
10	4, 9	mpbir 220	. . . 4 ⊢ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘∅))(𝐸‘(∅‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}
11	10	biantru 525	. . 3 ⊢ (((∅ ∈ Word dom 𝐸 ∧ Fun ◡∅) ∧ 𝑃:(0...(#‘∅))⟶𝑉) ↔ (((∅ ∈ Word dom 𝐸 ∧ Fun ◡∅) ∧ 𝑃:(0...(#‘∅))⟶𝑉) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘∅))(𝐸‘(∅‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}))
12	5	eqcomi 2619	. . . . . 6 ⊢ 0 = (#‘∅)
13	12	oveq2i 6560	. . . . 5 ⊢ (0...0) = (0...(#‘∅))
14	13	feq2i 5950	. . . 4 ⊢ (𝑃:(0...0)⟶𝑉 ↔ 𝑃:(0...(#‘∅))⟶𝑉)
15		wrd0 13185	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ Word dom 𝐸
16		funcnv0 5869	. . . . . 6 ⊢ Fun ◡∅
17	15, 16	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ Word dom 𝐸 ∧ Fun ◡∅)
18	17	biantrur 526	. . . 4 ⊢ (𝑃:(0...(#‘∅))⟶𝑉 ↔ ((∅ ∈ Word dom 𝐸 ∧ Fun ◡∅) ∧ 𝑃:(0...(#‘∅))⟶𝑉))
19	14, 18	bitri 263	. . 3 ⊢ (𝑃:(0...0)⟶𝑉 ↔ ((∅ ∈ Word dom 𝐸 ∧ Fun ◡∅) ∧ 𝑃:(0...(#‘∅))⟶𝑉))
20		df-3an 1033	. . 3 ⊢ (((∅ ∈ Word dom 𝐸 ∧ Fun ◡∅) ∧ 𝑃:(0...(#‘∅))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘∅))(𝐸‘(∅‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}) ↔ (((∅ ∈ Word dom 𝐸 ∧ Fun ◡∅) ∧ 𝑃:(0...(#‘∅))⟶𝑉) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘∅))(𝐸‘(∅‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}))
21	11, 19, 20	3bitr4ri 292	. 2 ⊢ (((∅ ∈ Word dom 𝐸 ∧ Fun ◡∅) ∧ 𝑃:(0...(#‘∅))⟶𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘∅))(𝐸‘(∅‘𝑘)) = {(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))}) ↔ 𝑃:(0...0)⟶𝑉)
22	3, 21	syl6bb 275	1 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝐸 ∈ 𝑌) ∧ 𝑃 ∈ 𝑍) → (∅(𝑉 Trails 𝐸)𝑃 ↔ 𝑃:(0...0)⟶𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  Vcvv 3173  ∅c0 3874  {cpr 4127   class class class wbr 4583  ^◡ccnv 5037  dom cdm 5038  Fun wfun 5798  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146   Trails ctrail 26027

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-wlk 26036  df-trail 26037

This theorem is referenced by:  0trlon  26078  0pth  26100  0spth  26101  0crct  26154