Theorem elprchashprn2 13045

Description: If one element of an unordered pair is not a set, the size of the unordered pair is not 2. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Oct-2017.)

Assertion

Ref	Expression
elprchashprn2	⊢ (¬ 𝑀 ∈ V → ¬ (#‘{𝑀, 𝑁}) = 2)

Proof of Theorem elprchashprn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prprc1 4243	. 2 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ V → {𝑀, 𝑁} = {𝑁})
2		hashsng 13020	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ V → (#‘{𝑁}) = 1)
3		fveq2 6103	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑀, 𝑁} = {𝑁} → (#‘{𝑀, 𝑁}) = (#‘{𝑁}))
4	3	eqcomd 2616	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑀, 𝑁} = {𝑁} → (#‘{𝑁}) = (#‘{𝑀, 𝑁}))
5	4	eqeq1d 2612	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑀, 𝑁} = {𝑁} → ((#‘{𝑁}) = 1 ↔ (#‘{𝑀, 𝑁}) = 1))
6	5	biimpa 500	. . . . . 6 ⊢ (({𝑀, 𝑁} = {𝑁} ∧ (#‘{𝑁}) = 1) → (#‘{𝑀, 𝑁}) = 1)
7		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ ((#‘{𝑀, 𝑁}) = 1 → (#‘{𝑀, 𝑁}) = 1)
8		1ne2 11117	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ≠ 2
9	8	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((#‘{𝑀, 𝑁}) = 1 → 1 ≠ 2)
10	7, 9	eqnetrd 2849	. . . . . . 7 ⊢ ((#‘{𝑀, 𝑁}) = 1 → (#‘{𝑀, 𝑁}) ≠ 2)
11	10	neneqd 2787	. . . . . 6 ⊢ ((#‘{𝑀, 𝑁}) = 1 → ¬ (#‘{𝑀, 𝑁}) = 2)
12	6, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (({𝑀, 𝑁} = {𝑁} ∧ (#‘{𝑁}) = 1) → ¬ (#‘{𝑀, 𝑁}) = 2)
13	12	expcom 450	. . . 4 ⊢ ((#‘{𝑁}) = 1 → ({𝑀, 𝑁} = {𝑁} → ¬ (#‘{𝑀, 𝑁}) = 2))
14	2, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ V → ({𝑀, 𝑁} = {𝑁} → ¬ (#‘{𝑀, 𝑁}) = 2))
15		snprc 4197	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ V ↔ {𝑁} = ∅)
16		eqeq2 2621	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑁} = ∅ → ({𝑀, 𝑁} = {𝑁} ↔ {𝑀, 𝑁} = ∅))
17	16	biimpa 500	. . . . . 6 ⊢ (({𝑁} = ∅ ∧ {𝑀, 𝑁} = {𝑁}) → {𝑀, 𝑁} = ∅)
18		hash0 13019	. . . . . 6 ⊢ (#‘∅) = 0
19		fveq2 6103	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑀, 𝑁} = ∅ → (#‘{𝑀, 𝑁}) = (#‘∅))
20	19	eqcomd 2616	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑀, 𝑁} = ∅ → (#‘∅) = (#‘{𝑀, 𝑁}))
21	20	eqeq1d 2612	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑀, 𝑁} = ∅ → ((#‘∅) = 0 ↔ (#‘{𝑀, 𝑁}) = 0))
22	21	biimpa 500	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑀, 𝑁} = ∅ ∧ (#‘∅) = 0) → (#‘{𝑀, 𝑁}) = 0)
23		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ ((#‘{𝑀, 𝑁}) = 0 → (#‘{𝑀, 𝑁}) = 0)
24		0ne2 11116	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ≠ 2
25	24	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((#‘{𝑀, 𝑁}) = 0 → 0 ≠ 2)
26	23, 25	eqnetrd 2849	. . . . . . . 8 ⊢ ((#‘{𝑀, 𝑁}) = 0 → (#‘{𝑀, 𝑁}) ≠ 2)
27	26	neneqd 2787	. . . . . . 7 ⊢ ((#‘{𝑀, 𝑁}) = 0 → ¬ (#‘{𝑀, 𝑁}) = 2)
28	22, 27	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (({𝑀, 𝑁} = ∅ ∧ (#‘∅) = 0) → ¬ (#‘{𝑀, 𝑁}) = 2)
29	17, 18, 28	sylancl 693	. . . . 5 ⊢ (({𝑁} = ∅ ∧ {𝑀, 𝑁} = {𝑁}) → ¬ (#‘{𝑀, 𝑁}) = 2)
30	29	ex 449	. . . 4 ⊢ ({𝑁} = ∅ → ({𝑀, 𝑁} = {𝑁} → ¬ (#‘{𝑀, 𝑁}) = 2))
31	15, 30	sylbi 206	. . 3 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ V → ({𝑀, 𝑁} = {𝑁} → ¬ (#‘{𝑀, 𝑁}) = 2))
32	14, 31	pm2.61i 175	. 2 ⊢ ({𝑀, 𝑁} = {𝑁} → ¬ (#‘{𝑀, 𝑁}) = 2)
33	1, 32	syl 17	1 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ V → ¬ (#‘{𝑀, 𝑁}) = 2)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  Vcvv 3173  ∅c0 3874  {csn 4125  {cpr 4127  ‘cfv 5804  0cc0 9815  1c1 9816  2c2 10947  #chash 12979

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-hash 12980

This theorem is referenced by:  hashprb  13046  usgraedgrnv  25906