Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  vtxdlfgrval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vtxdlfgrval 40700
 Description: The value of the vertex degree function for a loop-free graph 𝐺. (Contributed by AV, 23-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vtxdlfgrval.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vtxdlfgrval.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
vtxdlfgrval.a 𝐴 = dom 𝐼
vtxdlfgrval.d 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
vtxdlfgrval ((𝐼:𝐴⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (#‘𝑥)} ∧ 𝑈𝑉) → (𝐷𝑈) = (#‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼   𝑥,𝑈   𝑥,𝑉
Allowed substitution hint:   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem vtxdlfgrval
StepHypRef Expression
1 vtxdlfgrval.d . . . 4 𝐷 = (VtxDeg‘𝐺)
21fveq1i 6104 . . 3 (𝐷𝑈) = ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈)
3 vtxdlfgrval.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
4 vtxdlfgrval.i . . . . 5 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
5 vtxdlfgrval.a . . . . 5 𝐴 = dom 𝐼
63, 4, 5vtxdgval 40684 . . . 4 (𝑈𝑉 → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = ((#‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}) +𝑒 (#‘{𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}})))
76adantl 481 . . 3 ((𝐼:𝐴⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (#‘𝑥)} ∧ 𝑈𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑈) = ((#‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}) +𝑒 (#‘{𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}})))
82, 7syl5eq 2656 . 2 ((𝐼:𝐴⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (#‘𝑥)} ∧ 𝑈𝑉) → (𝐷𝑈) = ((#‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}) +𝑒 (#‘{𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}})))
9 eqid 2610 . . . . . . 7 {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (#‘𝑥)} = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (#‘𝑥)}
104, 5, 9lfgrnloop 25791 . . . . . 6 (𝐼:𝐴⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (#‘𝑥)} → {𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}} = ∅)
1110adantr 480 . . . . 5 ((𝐼:𝐴⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (#‘𝑥)} ∧ 𝑈𝑉) → {𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}} = ∅)
1211fveq2d 6107 . . . 4 ((𝐼:𝐴⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (#‘𝑥)} ∧ 𝑈𝑉) → (#‘{𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}}) = (#‘∅))
13 hash0 13019 . . . 4 (#‘∅) = 0
1412, 13syl6eq 2660 . . 3 ((𝐼:𝐴⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (#‘𝑥)} ∧ 𝑈𝑉) → (#‘{𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}}) = 0)
1514oveq2d 6565 . 2 ((𝐼:𝐴⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (#‘𝑥)} ∧ 𝑈𝑉) → ((#‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}) +𝑒 (#‘{𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}})) = ((#‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}) +𝑒 0))
164dmeqi 5247 . . . . . . 7 dom 𝐼 = dom (iEdg‘𝐺)
175, 16eqtri 2632 . . . . . 6 𝐴 = dom (iEdg‘𝐺)
18 fvex 6113 . . . . . . 7 (iEdg‘𝐺) ∈ V
1918dmex 6991 . . . . . 6 dom (iEdg‘𝐺) ∈ V
2017, 19eqeltri 2684 . . . . 5 𝐴 ∈ V
2120rabex 4740 . . . 4 {𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)} ∈ V
22 hashxnn0 12989 . . . 4 ({𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)} ∈ V → (#‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}) ∈ ℕ0*)
23 xnn0xr 11245 . . . 4 ((#‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}) ∈ ℕ0* → (#‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}) ∈ ℝ*)
2421, 22, 23mp2b 10 . . 3 (#‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}) ∈ ℝ*
25 xaddid1 11946 . . 3 ((#‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}) ∈ ℝ* → ((#‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}) +𝑒 0) = (#‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}))
2624, 25mp1i 13 . 2 ((𝐼:𝐴⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (#‘𝑥)} ∧ 𝑈𝑉) → ((#‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}) +𝑒 0) = (#‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}))
278, 15, 263eqtrd 2648 1 ((𝐼:𝐴⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (#‘𝑥)} ∧ 𝑈𝑉) → (𝐷𝑈) = (#‘{𝑥𝐴𝑈 ∈ (𝐼𝑥)}))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {crab 2900  Vcvv 3173  ∅c0 3874  𝒫 cpw 4108  {csn 4125   class class class wbr 4583  dom cdm 5038  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  ℝ*cxr 9952   ≤ cle 9954  2c2 10947  ℕ0*cxnn0 11240   +𝑒 cxad 11820  #chash 12979  Vtxcvtx 25673  iEdgciedg 25674  VtxDegcvtxdg 40681 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-xadd 11823  df-fz 12198  df-hash 12980  df-vtxdg 40682 This theorem is referenced by:  vtxdumgrval  40701  1hevtxdg1  40721
 Copyright terms: Public domain W3C validator