Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lfgrnloop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lfgrnloop 25791
 Description: A loop-free graph has no loops. (Contributed by AV, 23-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
lfuhgrnloopv.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
lfuhgrnloopv.a 𝐴 = dom 𝐼
lfuhgrnloopv.e 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (#‘𝑥)}
Assertion
Ref Expression
lfgrnloop (𝐼:𝐴𝐸 → {𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}} = ∅)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉   𝑥,𝑈
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem lfgrnloop
StepHypRef Expression
1 nfcv 2751 . . . 4 𝑥𝐼
2 nfcv 2751 . . . 4 𝑥𝐴
3 lfuhgrnloopv.e . . . . 5 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (#‘𝑥)}
4 nfrab1 3099 . . . . 5 𝑥{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (#‘𝑥)}
53, 4nfcxfr 2749 . . . 4 𝑥𝐸
61, 2, 5nff 5954 . . 3 𝑥 𝐼:𝐴𝐸
7 hashsn01 13065 . . . . . . 7 ((#‘{𝑈}) = 0 ∨ (#‘{𝑈}) = 1)
8 2pos 10989 . . . . . . . . . 10 0 < 2
9 0re 9919 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
10 2re 10967 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
119, 10ltnlei 10037 . . . . . . . . . 10 (0 < 2 ↔ ¬ 2 ≤ 0)
128, 11mpbi 219 . . . . . . . . 9 ¬ 2 ≤ 0
13 breq2 4587 . . . . . . . . 9 ((#‘{𝑈}) = 0 → (2 ≤ (#‘{𝑈}) ↔ 2 ≤ 0))
1412, 13mtbiri 316 . . . . . . . 8 ((#‘{𝑈}) = 0 → ¬ 2 ≤ (#‘{𝑈}))
15 1lt2 11071 . . . . . . . . . 10 1 < 2
16 1re 9918 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
1716, 10ltnlei 10037 . . . . . . . . . 10 (1 < 2 ↔ ¬ 2 ≤ 1)
1815, 17mpbi 219 . . . . . . . . 9 ¬ 2 ≤ 1
19 breq2 4587 . . . . . . . . 9 ((#‘{𝑈}) = 1 → (2 ≤ (#‘{𝑈}) ↔ 2 ≤ 1))
2018, 19mtbiri 316 . . . . . . . 8 ((#‘{𝑈}) = 1 → ¬ 2 ≤ (#‘{𝑈}))
2114, 20jaoi 393 . . . . . . 7 (((#‘{𝑈}) = 0 ∨ (#‘{𝑈}) = 1) → ¬ 2 ≤ (#‘{𝑈}))
227, 21ax-mp 5 . . . . . 6 ¬ 2 ≤ (#‘{𝑈})
23 fveq2 6103 . . . . . . 7 ((𝐼𝑥) = {𝑈} → (#‘(𝐼𝑥)) = (#‘{𝑈}))
2423breq2d 4595 . . . . . 6 ((𝐼𝑥) = {𝑈} → (2 ≤ (#‘(𝐼𝑥)) ↔ 2 ≤ (#‘{𝑈})))
2522, 24mtbiri 316 . . . . 5 ((𝐼𝑥) = {𝑈} → ¬ 2 ≤ (#‘(𝐼𝑥)))
26 lfuhgrnloopv.i . . . . . 6 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
27 lfuhgrnloopv.a . . . . . 6 𝐴 = dom 𝐼
2826, 27, 3lfgredgge2 25790 . . . . 5 ((𝐼:𝐴𝐸𝑥𝐴) → 2 ≤ (#‘(𝐼𝑥)))
2925, 28nsyl3 132 . . . 4 ((𝐼:𝐴𝐸𝑥𝐴) → ¬ (𝐼𝑥) = {𝑈})
3029ex 449 . . 3 (𝐼:𝐴𝐸 → (𝑥𝐴 → ¬ (𝐼𝑥) = {𝑈}))
316, 30ralrimi 2940 . 2 (𝐼:𝐴𝐸 → ∀𝑥𝐴 ¬ (𝐼𝑥) = {𝑈})
32 rabeq0 3911 . 2 ({𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}} = ∅ ↔ ∀𝑥𝐴 ¬ (𝐼𝑥) = {𝑈})
3331, 32sylibr 223 1 (𝐼:𝐴𝐸 → {𝑥𝐴 ∣ (𝐼𝑥) = {𝑈}} = ∅)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  {crab 2900  ∅c0 3874  𝒫 cpw 4108  {csn 4125   class class class wbr 4583  dom cdm 5038  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  0cc0 9815  1c1 9816   < clt 9953   ≤ cle 9954  2c2 10947  #chash 12979  iEdgciedg 25674 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-hash 12980 This theorem is referenced by:  vtxdlfgrval  40700
 Copyright terms: Public domain W3C validator