Theorem lfgrnloop 25791

Description: A loop-free graph has no loops. (Contributed by AV, 23-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
lfuhgrnloopv.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
lfuhgrnloopv.a	⊢ 𝐴 = dom 𝐼
lfuhgrnloopv.e	⊢ 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (#‘𝑥)}

Assertion

Ref	Expression
lfgrnloop	⊢ (𝐼:𝐴⟶𝐸 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}} = ∅)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉   𝑥,𝑈

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem lfgrnloop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2751	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐼
2		nfcv 2751	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
3		lfuhgrnloopv.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (#‘𝑥)}
4		nfrab1 3099	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (#‘𝑥)}
5	3, 4	nfcxfr 2749	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐸
6	1, 2, 5	nff 5954	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐼:𝐴⟶𝐸
7		hashsn01 13065	. . . . . . 7 ⊢ ((#‘{𝑈}) = 0 ∨ (#‘{𝑈}) = 1)
8		2pos 10989	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 2
9		0re 9919	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
10		2re 10967	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
11	9, 10	ltnlei 10037	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 < 2 ↔ ¬ 2 ≤ 0)
12	8, 11	mpbi 219	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ 2 ≤ 0
13		breq2 4587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((#‘{𝑈}) = 0 → (2 ≤ (#‘{𝑈}) ↔ 2 ≤ 0))
14	12, 13	mtbiri 316	. . . . . . . 8 ⊢ ((#‘{𝑈}) = 0 → ¬ 2 ≤ (#‘{𝑈}))
15		1lt2 11071	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 < 2
16		1re 9918	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
17	16, 10	ltnlei 10037	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 < 2 ↔ ¬ 2 ≤ 1)
18	15, 17	mpbi 219	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ 2 ≤ 1
19		breq2 4587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((#‘{𝑈}) = 1 → (2 ≤ (#‘{𝑈}) ↔ 2 ≤ 1))
20	18, 19	mtbiri 316	. . . . . . . 8 ⊢ ((#‘{𝑈}) = 1 → ¬ 2 ≤ (#‘{𝑈}))
21	14, 20	jaoi 393	. . . . . . 7 ⊢ (((#‘{𝑈}) = 0 ∨ (#‘{𝑈}) = 1) → ¬ 2 ≤ (#‘{𝑈}))
22	7, 21	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ¬ 2 ≤ (#‘{𝑈})
23		fveq2 6103	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼‘𝑥) = {𝑈} → (#‘(𝐼‘𝑥)) = (#‘{𝑈}))
24	23	breq2d 4595	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼‘𝑥) = {𝑈} → (2 ≤ (#‘(𝐼‘𝑥)) ↔ 2 ≤ (#‘{𝑈})))
25	22, 24	mtbiri 316	. . . . 5 ⊢ ((𝐼‘𝑥) = {𝑈} → ¬ 2 ≤ (#‘(𝐼‘𝑥)))
26		lfuhgrnloopv.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
27		lfuhgrnloopv.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = dom 𝐼
28	26, 27, 3	lfgredgge2 25790	. . . . 5 ⊢ ((𝐼:𝐴⟶𝐸 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 2 ≤ (#‘(𝐼‘𝑥)))
29	25, 28	nsyl3 132	. . . 4 ⊢ ((𝐼:𝐴⟶𝐸 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ (𝐼‘𝑥) = {𝑈})
30	29	ex 449	. . 3 ⊢ (𝐼:𝐴⟶𝐸 → (𝑥 ∈ 𝐴 → ¬ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}))
31	6, 30	ralrimi 2940	. 2 ⊢ (𝐼:𝐴⟶𝐸 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝐼‘𝑥) = {𝑈})
32		rabeq0 3911	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ¬ (𝐼‘𝑥) = {𝑈})
33	31, 32	sylibr 223	1 ⊢ (𝐼:𝐴⟶𝐸 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ (𝐼‘𝑥) = {𝑈}} = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  {crab 2900  ∅c0 3874  𝒫 cpw 4108  {csn 4125   class class class wbr 4583  dom cdm 5038  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  0cc0 9815  1c1 9816   < clt 9953   ≤ cle 9954  2c2 10947  #chash 12979  iEdgciedg 25674

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-hash 12980

This theorem is referenced by:  vtxdlfgrval  40700