Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  f1ocnt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1ocnt 28946
 Description: Given a countable set 𝐴, number its elements by providing a one-to-one mapping either with ℕ or an integer range starting from 1. The domain of the function can then be used with iundisjcnt 28944 or iundisj2cnt 28945. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
f1ocnt (𝐴 ≼ ω → ∃𝑓(𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝐴 ∧ (dom 𝑓 = ℕ ∨ dom 𝑓 = (1..^((#‘𝐴) + 1)))))
Distinct variable group:   𝐴,𝑓

Proof of Theorem f1ocnt
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1o0 6085 . . . . . . 7 ∅:∅–1-1-onto→∅
2 eqidd 2611 . . . . . . . 8 (𝐴 = ∅ → ∅ = ∅)
3 dm0 5260 . . . . . . . . 9 dom ∅ = ∅
43a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐴 = ∅ → dom ∅ = ∅)
5 id 22 . . . . . . . 8 (𝐴 = ∅ → 𝐴 = ∅)
62, 4, 5f1oeq123d 6046 . . . . . . 7 (𝐴 = ∅ → (∅:dom ∅–1-1-onto𝐴 ↔ ∅:∅–1-1-onto→∅))
71, 6mpbiri 247 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → ∅:dom ∅–1-1-onto𝐴)
8 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 = ∅ → (#‘𝐴) = (#‘∅))
9 hash0 13019 . . . . . . . . . . . . 13 (#‘∅) = 0
108, 9syl6eq 2660 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 = ∅ → (#‘𝐴) = 0)
1110oveq1d 6564 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = ∅ → ((#‘𝐴) + 1) = (0 + 1))
12 0p1e1 11009 . . . . . . . . . . 11 (0 + 1) = 1
1311, 12syl6eq 2660 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = ∅ → ((#‘𝐴) + 1) = 1)
1413oveq2d 6565 . . . . . . . . 9 (𝐴 = ∅ → (1..^((#‘𝐴) + 1)) = (1..^1))
15 fzo0 12361 . . . . . . . . 9 (1..^1) = ∅
1614, 15syl6eq 2660 . . . . . . . 8 (𝐴 = ∅ → (1..^((#‘𝐴) + 1)) = ∅)
174, 16eqtr4d 2647 . . . . . . 7 (𝐴 = ∅ → dom ∅ = (1..^((#‘𝐴) + 1)))
1817olcd 407 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → (dom ∅ = ℕ ∨ dom ∅ = (1..^((#‘𝐴) + 1))))
197, 18jca 553 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → (∅:dom ∅–1-1-onto𝐴 ∧ (dom ∅ = ℕ ∨ dom ∅ = (1..^((#‘𝐴) + 1)))))
20 0ex 4718 . . . . . 6 ∅ ∈ V
21 id 22 . . . . . . . 8 (𝑓 = ∅ → 𝑓 = ∅)
22 dmeq 5246 . . . . . . . 8 (𝑓 = ∅ → dom 𝑓 = dom ∅)
23 eqidd 2611 . . . . . . . 8 (𝑓 = ∅ → 𝐴 = 𝐴)
2421, 22, 23f1oeq123d 6046 . . . . . . 7 (𝑓 = ∅ → (𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝐴 ↔ ∅:dom ∅–1-1-onto𝐴))
2522eqeq1d 2612 . . . . . . . 8 (𝑓 = ∅ → (dom 𝑓 = ℕ ↔ dom ∅ = ℕ))
2622eqeq1d 2612 . . . . . . . 8 (𝑓 = ∅ → (dom 𝑓 = (1..^((#‘𝐴) + 1)) ↔ dom ∅ = (1..^((#‘𝐴) + 1))))
2725, 26orbi12d 742 . . . . . . 7 (𝑓 = ∅ → ((dom 𝑓 = ℕ ∨ dom 𝑓 = (1..^((#‘𝐴) + 1))) ↔ (dom ∅ = ℕ ∨ dom ∅ = (1..^((#‘𝐴) + 1)))))
2824, 27anbi12d 743 . . . . . 6 (𝑓 = ∅ → ((𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝐴 ∧ (dom 𝑓 = ℕ ∨ dom 𝑓 = (1..^((#‘𝐴) + 1)))) ↔ (∅:dom ∅–1-1-onto𝐴 ∧ (dom ∅ = ℕ ∨ dom ∅ = (1..^((#‘𝐴) + 1))))))
2920, 28spcev 3273 . . . . 5 ((∅:dom ∅–1-1-onto𝐴 ∧ (dom ∅ = ℕ ∨ dom ∅ = (1..^((#‘𝐴) + 1)))) → ∃𝑓(𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝐴 ∧ (dom 𝑓 = ℕ ∨ dom 𝑓 = (1..^((#‘𝐴) + 1)))))
3019, 29syl 17 . . . 4 (𝐴 = ∅ → ∃𝑓(𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝐴 ∧ (dom 𝑓 = ℕ ∨ dom 𝑓 = (1..^((#‘𝐴) + 1)))))
3130adantl 481 . . 3 (((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ 𝐴 = ∅) → ∃𝑓(𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝐴 ∧ (dom 𝑓 = ℕ ∨ dom 𝑓 = (1..^((#‘𝐴) + 1)))))
32 f1odm 6054 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴 → dom 𝑓 = (1...(#‘𝐴)))
33 f1oeq2 6041 . . . . . . . . . . 11 (dom 𝑓 = (1...(#‘𝐴)) → (𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝐴𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴))
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴 → (𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝐴𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴))
3534ibir 256 . . . . . . . . 9 (𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝐴)
3635adantl 481 . . . . . . . 8 (((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → 𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝐴)
3732adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → dom 𝑓 = (1...(#‘𝐴)))
38 simpl 472 . . . . . . . . . . . 12 (((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → (#‘𝐴) ∈ ℕ)
3938nnzd 11357 . . . . . . . . . . 11 (((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → (#‘𝐴) ∈ ℤ)
40 fzval3 12404 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝐴) ∈ ℤ → (1...(#‘𝐴)) = (1..^((#‘𝐴) + 1)))
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . 10 (((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → (1...(#‘𝐴)) = (1..^((#‘𝐴) + 1)))
4237, 41eqtrd 2644 . . . . . . . . 9 (((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → dom 𝑓 = (1..^((#‘𝐴) + 1)))
4342olcd 407 . . . . . . . 8 (((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → (dom 𝑓 = ℕ ∨ dom 𝑓 = (1..^((#‘𝐴) + 1))))
4436, 43jca 553 . . . . . . 7 (((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → (𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝐴 ∧ (dom 𝑓 = ℕ ∨ dom 𝑓 = (1..^((#‘𝐴) + 1)))))
4544ex 449 . . . . . 6 ((#‘𝐴) ∈ ℕ → (𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴 → (𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝐴 ∧ (dom 𝑓 = ℕ ∨ dom 𝑓 = (1..^((#‘𝐴) + 1))))))
4645eximdv 1833 . . . . 5 ((#‘𝐴) ∈ ℕ → (∃𝑓 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴 → ∃𝑓(𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝐴 ∧ (dom 𝑓 = ℕ ∨ dom 𝑓 = (1..^((#‘𝐴) + 1))))))
4746imp 444 . . . 4 (((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → ∃𝑓(𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝐴 ∧ (dom 𝑓 = ℕ ∨ dom 𝑓 = (1..^((#‘𝐴) + 1)))))
4847adantl 481 . . 3 (((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ∈ Fin) ∧ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → ∃𝑓(𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝐴 ∧ (dom 𝑓 = ℕ ∨ dom 𝑓 = (1..^((#‘𝐴) + 1)))))
49 fz1f1o 14288 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 = ∅ ∨ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴)))
5049adantl 481 . . 3 ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 = ∅ ∨ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴)))
5131, 48, 50mpjaodan 823 . 2 ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑓(𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝐴 ∧ (dom 𝑓 = ℕ ∨ dom 𝑓 = (1..^((#‘𝐴) + 1)))))
52 isfinite 8432 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 ≺ ω)
5352notbii 309 . . . . . . . . 9 𝐴 ∈ Fin ↔ ¬ 𝐴 ≺ ω)
5453biimpi 205 . . . . . . . 8 𝐴 ∈ Fin → ¬ 𝐴 ≺ ω)
5554anim2i 591 . . . . . . 7 ((𝐴 ≼ ω ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ≼ ω ∧ ¬ 𝐴 ≺ ω))
56 bren2 7872 . . . . . . 7 (𝐴 ≈ ω ↔ (𝐴 ≼ ω ∧ ¬ 𝐴 ≺ ω))
5755, 56sylibr 223 . . . . . 6 ((𝐴 ≼ ω ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≈ ω)
58 nnenom 12641 . . . . . . 7 ℕ ≈ ω
5958ensymi 7892 . . . . . 6 ω ≈ ℕ
60 entr 7894 . . . . . 6 ((𝐴 ≈ ω ∧ ω ≈ ℕ) → 𝐴 ≈ ℕ)
6157, 59, 60sylancl 693 . . . . 5 ((𝐴 ≼ ω ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴 ≈ ℕ)
62 bren 7850 . . . . 5 (𝐴 ≈ ℕ ↔ ∃𝑔 𝑔:𝐴1-1-onto→ℕ)
6361, 62sylib 207 . . . 4 ((𝐴 ≼ ω ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑔 𝑔:𝐴1-1-onto→ℕ)
64 f1oexbi 7009 . . . 4 (∃𝑔 𝑔:𝐴1-1-onto→ℕ ↔ ∃𝑓 𝑓:ℕ–1-1-onto𝐴)
6563, 64sylib 207 . . 3 ((𝐴 ≼ ω ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑓 𝑓:ℕ–1-1-onto𝐴)
66 f1odm 6054 . . . . . . 7 (𝑓:ℕ–1-1-onto𝐴 → dom 𝑓 = ℕ)
67 f1oeq2 6041 . . . . . . 7 (dom 𝑓 = ℕ → (𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝐴𝑓:ℕ–1-1-onto𝐴))
6866, 67syl 17 . . . . . 6 (𝑓:ℕ–1-1-onto𝐴 → (𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝐴𝑓:ℕ–1-1-onto𝐴))
6968ibir 256 . . . . 5 (𝑓:ℕ–1-1-onto𝐴𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝐴)
7066orcd 406 . . . . 5 (𝑓:ℕ–1-1-onto𝐴 → (dom 𝑓 = ℕ ∨ dom 𝑓 = (1..^((#‘𝐴) + 1))))
7169, 70jca 553 . . . 4 (𝑓:ℕ–1-1-onto𝐴 → (𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝐴 ∧ (dom 𝑓 = ℕ ∨ dom 𝑓 = (1..^((#‘𝐴) + 1)))))
7271eximi 1752 . . 3 (∃𝑓 𝑓:ℕ–1-1-onto𝐴 → ∃𝑓(𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝐴 ∧ (dom 𝑓 = ℕ ∨ dom 𝑓 = (1..^((#‘𝐴) + 1)))))
7365, 72syl 17 . 2 ((𝐴 ≼ ω ∧ ¬ 𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑓(𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝐴 ∧ (dom 𝑓 = ℕ ∨ dom 𝑓 = (1..^((#‘𝐴) + 1)))))
7451, 73pm2.61dan 828 1 (𝐴 ≼ ω → ∃𝑓(𝑓:dom 𝑓1-1-onto𝐴 ∧ (dom 𝑓 = ℕ ∨ dom 𝑓 = (1..^((#‘𝐴) + 1)))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977  ∅c0 3874   class class class wbr 4583  dom cdm 5038  –1-1-onto→wf1o 5803  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ωcom 6957   ≈ cen 7838   ≼ cdom 7839   ≺ csdm 7840  Fincfn 7841  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818  ℕcn 10897  ℤcz 11254  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334  #chash 12979 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator