Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgraedgprv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem usgraedgprv 25905
 Description: In an undirected graph, an edge is an unordered pair of vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
usgraedgprv ((𝑉 USGrph 𝐸𝑋 ∈ dom 𝐸) → ((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} → (𝑀𝑉𝑁𝑉)))

Proof of Theorem usgraedgprv
StepHypRef Expression
1 usgrass 25890 . 2 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑋 ∈ dom 𝐸) → (𝐸𝑋) ⊆ 𝑉)
2 usgraedg2 25904 . 2 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑋 ∈ dom 𝐸) → (#‘(𝐸𝑋)) = 2)
3 sseq1 3589 . . . . 5 ((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} → ((𝐸𝑋) ⊆ 𝑉 ↔ {𝑀, 𝑁} ⊆ 𝑉))
4 fveq2 6103 . . . . . 6 ((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} → (#‘(𝐸𝑋)) = (#‘{𝑀, 𝑁}))
54eqeq1d 2612 . . . . 5 ((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} → ((#‘(𝐸𝑋)) = 2 ↔ (#‘{𝑀, 𝑁}) = 2))
63, 5anbi12d 743 . . . 4 ((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} → (((𝐸𝑋) ⊆ 𝑉 ∧ (#‘(𝐸𝑋)) = 2) ↔ ({𝑀, 𝑁} ⊆ 𝑉 ∧ (#‘{𝑀, 𝑁}) = 2)))
7 prssg 4290 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V) → ((𝑀𝑉𝑁𝑉) ↔ {𝑀, 𝑁} ⊆ 𝑉))
87biimprd 237 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V) → ({𝑀, 𝑁} ⊆ 𝑉 → (𝑀𝑉𝑁𝑉)))
98adantrd 483 . . . . 5 ((𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V) → (({𝑀, 𝑁} ⊆ 𝑉 ∧ (#‘{𝑀, 𝑁}) = 2) → (𝑀𝑉𝑁𝑉)))
10 ianor 508 . . . . . 6 (¬ (𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V) ↔ (¬ 𝑀 ∈ V ∨ ¬ 𝑁 ∈ V))
11 prprc1 4243 . . . . . . . . . . 11 𝑀 ∈ V → {𝑀, 𝑁} = {𝑁})
12 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝑀, 𝑁} = {𝑁} → (#‘{𝑀, 𝑁}) = (#‘{𝑁}))
13 hashsng 13020 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ V → (#‘{𝑁}) = 1)
1412, 13sylan9eqr 2666 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ V ∧ {𝑀, 𝑁} = {𝑁}) → (#‘{𝑀, 𝑁}) = 1)
15 eqtr2 2630 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((#‘{𝑀, 𝑁}) = 1 ∧ (#‘{𝑀, 𝑁}) = 2) → 1 = 2)
16 1ne2 11117 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ≠ 2
1716neii 2784 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ¬ 1 = 2
1817pm2.21i 115 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 = 2 → (𝑀𝑉𝑁𝑉))
1915, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((#‘{𝑀, 𝑁}) = 1 ∧ (#‘{𝑀, 𝑁}) = 2) → (𝑀𝑉𝑁𝑉))
2019ex 449 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘{𝑀, 𝑁}) = 1 → ((#‘{𝑀, 𝑁}) = 2 → (𝑀𝑉𝑁𝑉)))
2114, 20syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ V ∧ {𝑀, 𝑁} = {𝑁}) → ((#‘{𝑀, 𝑁}) = 2 → (𝑀𝑉𝑁𝑉)))
2221expcom 450 . . . . . . . . . . 11 ({𝑀, 𝑁} = {𝑁} → (𝑁 ∈ V → ((#‘{𝑀, 𝑁}) = 2 → (𝑀𝑉𝑁𝑉))))
2311, 22syl 17 . . . . . . . . . 10 𝑀 ∈ V → (𝑁 ∈ V → ((#‘{𝑀, 𝑁}) = 2 → (𝑀𝑉𝑁𝑉))))
2423com12 32 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ V → (¬ 𝑀 ∈ V → ((#‘{𝑀, 𝑁}) = 2 → (𝑀𝑉𝑁𝑉))))
25 prprc 4245 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 𝑁 ∈ V ∧ ¬ 𝑀 ∈ V) → {𝑁, 𝑀} = ∅)
26 prcom 4211 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑁, 𝑀} = {𝑀, 𝑁}
2726eqeq1i 2615 . . . . . . . . . . . 12 ({𝑁, 𝑀} = ∅ ↔ {𝑀, 𝑁} = ∅)
28 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . 13 ({𝑀, 𝑁} = ∅ → (#‘{𝑀, 𝑁}) = (#‘∅))
29 hash0 13019 . . . . . . . . . . . . 13 (#‘∅) = 0
3028, 29syl6eq 2660 . . . . . . . . . . . 12 ({𝑀, 𝑁} = ∅ → (#‘{𝑀, 𝑁}) = 0)
3127, 30sylbi 206 . . . . . . . . . . 11 ({𝑁, 𝑀} = ∅ → (#‘{𝑀, 𝑁}) = 0)
32 eqtr2 2630 . . . . . . . . . . . . 13 (((#‘{𝑀, 𝑁}) = 0 ∧ (#‘{𝑀, 𝑁}) = 2) → 0 = 2)
33 2ne0 10990 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ≠ 0
3433nesymi 2839 . . . . . . . . . . . . . 14 ¬ 0 = 2
3534pm2.21i 115 . . . . . . . . . . . . 13 (0 = 2 → (𝑀𝑉𝑁𝑉))
3632, 35syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((#‘{𝑀, 𝑁}) = 0 ∧ (#‘{𝑀, 𝑁}) = 2) → (𝑀𝑉𝑁𝑉))
3736ex 449 . . . . . . . . . . 11 ((#‘{𝑀, 𝑁}) = 0 → ((#‘{𝑀, 𝑁}) = 2 → (𝑀𝑉𝑁𝑉)))
3825, 31, 373syl 18 . . . . . . . . . 10 ((¬ 𝑁 ∈ V ∧ ¬ 𝑀 ∈ V) → ((#‘{𝑀, 𝑁}) = 2 → (𝑀𝑉𝑁𝑉)))
3938ex 449 . . . . . . . . 9 𝑁 ∈ V → (¬ 𝑀 ∈ V → ((#‘{𝑀, 𝑁}) = 2 → (𝑀𝑉𝑁𝑉))))
4024, 39pm2.61i 175 . . . . . . . 8 𝑀 ∈ V → ((#‘{𝑀, 𝑁}) = 2 → (𝑀𝑉𝑁𝑉)))
41 prprc2 4244 . . . . . . . . . . 11 𝑁 ∈ V → {𝑀, 𝑁} = {𝑀})
42 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝑀, 𝑁} = {𝑀} → (#‘{𝑀, 𝑁}) = (#‘{𝑀}))
43 hashsng 13020 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ V → (#‘{𝑀}) = 1)
4442, 43sylan9eqr 2666 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ V ∧ {𝑀, 𝑁} = {𝑀}) → (#‘{𝑀, 𝑁}) = 1)
4544, 20syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ V ∧ {𝑀, 𝑁} = {𝑀}) → ((#‘{𝑀, 𝑁}) = 2 → (𝑀𝑉𝑁𝑉)))
4645expcom 450 . . . . . . . . . . 11 ({𝑀, 𝑁} = {𝑀} → (𝑀 ∈ V → ((#‘{𝑀, 𝑁}) = 2 → (𝑀𝑉𝑁𝑉))))
4741, 46syl 17 . . . . . . . . . 10 𝑁 ∈ V → (𝑀 ∈ V → ((#‘{𝑀, 𝑁}) = 2 → (𝑀𝑉𝑁𝑉))))
4847com12 32 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ V → (¬ 𝑁 ∈ V → ((#‘{𝑀, 𝑁}) = 2 → (𝑀𝑉𝑁𝑉))))
49 prprc 4245 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 𝑀 ∈ V ∧ ¬ 𝑁 ∈ V) → {𝑀, 𝑁} = ∅)
5049, 30, 373syl 18 . . . . . . . . . 10 ((¬ 𝑀 ∈ V ∧ ¬ 𝑁 ∈ V) → ((#‘{𝑀, 𝑁}) = 2 → (𝑀𝑉𝑁𝑉)))
5150ex 449 . . . . . . . . 9 𝑀 ∈ V → (¬ 𝑁 ∈ V → ((#‘{𝑀, 𝑁}) = 2 → (𝑀𝑉𝑁𝑉))))
5248, 51pm2.61i 175 . . . . . . . 8 𝑁 ∈ V → ((#‘{𝑀, 𝑁}) = 2 → (𝑀𝑉𝑁𝑉)))
5340, 52jaoi 393 . . . . . . 7 ((¬ 𝑀 ∈ V ∨ ¬ 𝑁 ∈ V) → ((#‘{𝑀, 𝑁}) = 2 → (𝑀𝑉𝑁𝑉)))
5453adantld 482 . . . . . 6 ((¬ 𝑀 ∈ V ∨ ¬ 𝑁 ∈ V) → (({𝑀, 𝑁} ⊆ 𝑉 ∧ (#‘{𝑀, 𝑁}) = 2) → (𝑀𝑉𝑁𝑉)))
5510, 54sylbi 206 . . . . 5 (¬ (𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V) → (({𝑀, 𝑁} ⊆ 𝑉 ∧ (#‘{𝑀, 𝑁}) = 2) → (𝑀𝑉𝑁𝑉)))
569, 55pm2.61i 175 . . . 4 (({𝑀, 𝑁} ⊆ 𝑉 ∧ (#‘{𝑀, 𝑁}) = 2) → (𝑀𝑉𝑁𝑉))
576, 56syl6bi 242 . . 3 ((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} → (((𝐸𝑋) ⊆ 𝑉 ∧ (#‘(𝐸𝑋)) = 2) → (𝑀𝑉𝑁𝑉)))
5857com12 32 . 2 (((𝐸𝑋) ⊆ 𝑉 ∧ (#‘(𝐸𝑋)) = 2) → ((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} → (𝑀𝑉𝑁𝑉)))
591, 2, 58syl2anc 691 1 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑋 ∈ dom 𝐸) → ((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} → (𝑀𝑉𝑁𝑉)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  {csn 4125  {cpr 4127   class class class wbr 4583  dom cdm 5038  ‘cfv 5804  0cc0 9815  1c1 9816  2c2 10947  #chash 12979   USGrph cusg 25859 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-hash 12980  df-usgra 25862 This theorem is referenced by:  usgranloopv  25907  usgranloop  25908
 Copyright terms: Public domain W3C validator