Theorem usgraedgrnv 25906

Description: An edge of an undirected simple graph always connects two vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Oct-2017.)

Assertion

Ref	Expression
usgraedgrnv	⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ {𝑀, 𝑁} ∈ ran 𝐸) → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉))

Proof of Theorem usgraedgrnv

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgraf0 25877	. . 3 ⊢ (𝑉 USGrph 𝐸 → 𝐸:dom 𝐸–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑥) = 2})
2		f1f 6014	. . 3 ⊢ (𝐸:dom 𝐸–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑥) = 2} → 𝐸:dom 𝐸⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑥) = 2})
3		df-f 5808	. . . 4 ⊢ (𝐸:dom 𝐸⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑥) = 2} ↔ (𝐸 Fn dom 𝐸 ∧ ran 𝐸 ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑥) = 2}))
4		ssel2 3563	. . . . . . 7 ⊢ ((ran 𝐸 ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑥) = 2} ∧ {𝑀, 𝑁} ∈ ran 𝐸) → {𝑀, 𝑁} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑥) = 2})
5		fveq2 6103	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = {𝑀, 𝑁} → (#‘𝑥) = (#‘{𝑀, 𝑁}))
6	5	eqeq1d 2612	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = {𝑀, 𝑁} → ((#‘𝑥) = 2 ↔ (#‘{𝑀, 𝑁}) = 2))
7	6	elrab 3331	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑀, 𝑁} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑥) = 2} ↔ ({𝑀, 𝑁} ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (#‘{𝑀, 𝑁}) = 2))
8		prex 4836	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑀, 𝑁} ∈ V
9	8	elpw 4114	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑀, 𝑁} ∈ 𝒫 𝑉 ↔ {𝑀, 𝑁} ⊆ 𝑉)
10		ianor 508	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V) ↔ (¬ 𝑀 ∈ V ∨ ¬ 𝑁 ∈ V))
11		elprchashprn2 13045	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ V → ¬ (#‘{𝑀, 𝑁}) = 2)
12		elprchashprn2 13045	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ V → ¬ (#‘{𝑁, 𝑀}) = 2)
13		prcom 4211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ {𝑁, 𝑀} = {𝑀, 𝑁}
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ V → {𝑁, 𝑀} = {𝑀, 𝑁})
15	14	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ V → (#‘{𝑁, 𝑀}) = (#‘{𝑀, 𝑁}))
16	15	eqeq1d 2612	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ V → ((#‘{𝑁, 𝑀}) = 2 ↔ (#‘{𝑀, 𝑁}) = 2))
17	12, 16	mtbid 313	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (¬ 𝑁 ∈ V → ¬ (#‘{𝑀, 𝑁}) = 2)
18	11, 17	jaoi 393	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((¬ 𝑀 ∈ V ∨ ¬ 𝑁 ∈ V) → ¬ (#‘{𝑀, 𝑁}) = 2)
19	10, 18	sylbi 206	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V) → ¬ (#‘{𝑀, 𝑁}) = 2)
20	19	con4i 112	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((#‘{𝑀, 𝑁}) = 2 → (𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V))
21		prssg 4290	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V) → ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ↔ {𝑀, 𝑁} ⊆ 𝑉))
22	21	biimprd 237	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ V) → ({𝑀, 𝑁} ⊆ 𝑉 → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉)))
23	20, 22	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((#‘{𝑀, 𝑁}) = 2 → ({𝑀, 𝑁} ⊆ 𝑉 → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉)))
24	23	com12 32	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑀, 𝑁} ⊆ 𝑉 → ((#‘{𝑀, 𝑁}) = 2 → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉)))
25	9, 24	sylbi 206	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑀, 𝑁} ∈ 𝒫 𝑉 → ((#‘{𝑀, 𝑁}) = 2 → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉)))
26	25	imp 444	. . . . . . . 8 ⊢ (({𝑀, 𝑁} ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (#‘{𝑀, 𝑁}) = 2) → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉))
27	7, 26	sylbi 206	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑀, 𝑁} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑥) = 2} → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉))
28	4, 27	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((ran 𝐸 ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑥) = 2} ∧ {𝑀, 𝑁} ∈ ran 𝐸) → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉))
29	28	ex 449	. . . . 5 ⊢ (ran 𝐸 ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑥) = 2} → ({𝑀, 𝑁} ∈ ran 𝐸 → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉)))
30	29	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐸 Fn dom 𝐸 ∧ ran 𝐸 ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑥) = 2}) → ({𝑀, 𝑁} ∈ ran 𝐸 → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉)))
31	3, 30	sylbi 206	. . 3 ⊢ (𝐸:dom 𝐸⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (#‘𝑥) = 2} → ({𝑀, 𝑁} ∈ ran 𝐸 → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉)))
32	1, 2, 31	3syl 18	. 2 ⊢ (𝑉 USGrph 𝐸 → ({𝑀, 𝑁} ∈ ran 𝐸 → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉)))
33	32	imp 444	1 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ {𝑀, 𝑁} ∈ ran 𝐸) → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {crab 2900  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540  𝒫 cpw 4108  {cpr 4127   class class class wbr 4583  dom cdm 5038  ran crn 5039   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  –1-1→wf1 5801  ‘cfv 5804  2c2 10947  #chash 12979   USGrph cusg 25859

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-hash 12980  df-usgra 25862

This theorem is referenced by:  nbusgra  25957  nbgra0nb  25958  nbgraeledg  25959  nbgraisvtx  25960  usgra2adedgspthlem2  26140  usgra2adedgspth  26141  usgra2adedgwlk  26142  usgra2adedgwlkon  26143  constr3trllem2  26179  constr3trllem5  26182  frgranbnb  26547  frgraeu  26581  extwwlkfablem1  26601  numclwwlkun  26606