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Theorem extwwlkfablem1 26601
Description: Lemma 1 for extwwlkfab 26617. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
extwwlkfablem1 ((((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑤 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁)) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))) → (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋))

Proof of Theorem extwwlkfablem1
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 clwwlknimp 26304 . . . 4 (𝑤 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁) → ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ ran 𝐸))
2 simplr2 1097 . . . . . 6 (((((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2))) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))) → 𝑋𝑉)
3 simplr1 1096 . . . . . . 7 (((((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2))) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))) → 𝑉 USGrph 𝐸)
4 eluzelcn 11575 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℂ)
5 1e2m1 11013 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 = (2 − 1)
65a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℂ → 1 = (2 − 1))
76oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 − 1) = (𝑁 − (2 − 1)))
8 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℂ → 𝑁 ∈ ℂ)
9 2cnd 10970 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
10 1cnd 9935 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
118, 9, 10subsubd 10299 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 − (2 − 1)) = ((𝑁 − 2) + 1))
127, 11eqtr2d 2645 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 2) + 1) = (𝑁 − 1))
134, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑁 − 2) + 1) = (𝑁 − 1))
1413fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑤‘((𝑁 − 2) + 1)) = (𝑤‘(𝑁 − 1)))
1514preq2d 4219 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → {(𝑤‘(𝑁 − 2)), (𝑤‘((𝑁 − 2) + 1))} = {(𝑤‘(𝑁 − 2)), (𝑤‘(𝑁 − 1))})
16153ad2ant3 1077 . . . . . . . . . 10 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → {(𝑤‘(𝑁 − 2)), (𝑤‘((𝑁 − 2) + 1))} = {(𝑤‘(𝑁 − 2)), (𝑤‘(𝑁 − 1))})
1716adantl 481 . . . . . . . . 9 ((((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2))) → {(𝑤‘(𝑁 − 2)), (𝑤‘((𝑁 − 2) + 1))} = {(𝑤‘(𝑁 − 2)), (𝑤‘(𝑁 − 1))})
18 ige2m2fzo 12398 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 − 2) ∈ (0..^(𝑁 − 1)))
19183ad2ant3 1077 . . . . . . . . . 10 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑁 − 2) ∈ (0..^(𝑁 − 1)))
20 simp2 1055 . . . . . . . . . 10 (((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ ran 𝐸) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)
21 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = (𝑁 − 2) → (𝑤𝑖) = (𝑤‘(𝑁 − 2)))
22 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = (𝑁 − 2) → (𝑖 + 1) = ((𝑁 − 2) + 1))
2322fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = (𝑁 − 2) → (𝑤‘(𝑖 + 1)) = (𝑤‘((𝑁 − 2) + 1)))
2421, 23preq12d 4220 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = (𝑁 − 2) → {(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} = {(𝑤‘(𝑁 − 2)), (𝑤‘((𝑁 − 2) + 1))})
2524eleq1d 2672 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = (𝑁 − 2) → ({(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑤‘(𝑁 − 2)), (𝑤‘((𝑁 − 2) + 1))} ∈ ran 𝐸))
2625rspcva 3280 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 − 2) ∈ (0..^(𝑁 − 1)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) → {(𝑤‘(𝑁 − 2)), (𝑤‘((𝑁 − 2) + 1))} ∈ ran 𝐸)
2719, 20, 26syl2anr 494 . . . . . . . . 9 ((((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2))) → {(𝑤‘(𝑁 − 2)), (𝑤‘((𝑁 − 2) + 1))} ∈ ran 𝐸)
2817, 27eqeltrrd 2689 . . . . . . . 8 ((((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2))) → {(𝑤‘(𝑁 − 2)), (𝑤‘(𝑁 − 1))} ∈ ran 𝐸)
2928adantr 480 . . . . . . 7 (((((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2))) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))) → {(𝑤‘(𝑁 − 2)), (𝑤‘(𝑁 − 1))} ∈ ran 𝐸)
30 usgraedgrnv 25906 . . . . . . . 8 ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ {(𝑤‘(𝑁 − 2)), (𝑤‘(𝑁 − 1))} ∈ ran 𝐸) → ((𝑤‘(𝑁 − 2)) ∈ 𝑉 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ 𝑉))
3130simprd 478 . . . . . . 7 ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ {(𝑤‘(𝑁 − 2)), (𝑤‘(𝑁 − 1))} ∈ ran 𝐸) → (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ 𝑉)
323, 29, 31syl2anc 691 . . . . . 6 (((((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2))) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))) → (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ 𝑉)
33 preq1 4212 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 = (𝑤‘0) → {𝑋, (𝑤‘(𝑁 − 1))} = {(𝑤‘0), (𝑤‘(𝑁 − 1))})
3433eqcoms 2618 . . . . . . . . . 10 ((𝑤‘0) = 𝑋 → {𝑋, (𝑤‘(𝑁 − 1))} = {(𝑤‘0), (𝑤‘(𝑁 − 1))})
35 preq1 4212 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤‘0) = (𝑤‘(𝑁 − 2)) → {(𝑤‘0), (𝑤‘(𝑁 − 1))} = {(𝑤‘(𝑁 − 2)), (𝑤‘(𝑁 − 1))})
3635eqcoms 2618 . . . . . . . . . 10 ((𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0) → {(𝑤‘0), (𝑤‘(𝑁 − 1))} = {(𝑤‘(𝑁 − 2)), (𝑤‘(𝑁 − 1))})
3734, 36sylan9eq 2664 . . . . . . . . 9 (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → {𝑋, (𝑤‘(𝑁 − 1))} = {(𝑤‘(𝑁 − 2)), (𝑤‘(𝑁 − 1))})
3837eleq1d 2672 . . . . . . . 8 (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → ({𝑋, (𝑤‘(𝑁 − 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑤‘(𝑁 − 2)), (𝑤‘(𝑁 − 1))} ∈ ran 𝐸))
3938adantl 481 . . . . . . 7 (((((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2))) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))) → ({𝑋, (𝑤‘(𝑁 − 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑤‘(𝑁 − 2)), (𝑤‘(𝑁 − 1))} ∈ ran 𝐸))
4029, 39mpbird 246 . . . . . 6 (((((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2))) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))) → {𝑋, (𝑤‘(𝑁 − 1))} ∈ ran 𝐸)
41 usgrav 25867 . . . . . . . . . 10 (𝑉 USGrph 𝐸 → (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V))
42413ad2ant1 1075 . . . . . . . . 9 ((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V))
4342adantl 481 . . . . . . . 8 ((((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2))) → (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V))
4443adantr 480 . . . . . . 7 (((((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2))) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))) → (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V))
45 nbgrael 25955 . . . . . . 7 ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) → ((𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) ↔ (𝑋𝑉 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ 𝑉 ∧ {𝑋, (𝑤‘(𝑁 − 1))} ∈ ran 𝐸)))
4644, 45syl 17 . . . . . 6 (((((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2))) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))) → ((𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋) ↔ (𝑋𝑉 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ 𝑉 ∧ {𝑋, (𝑤‘(𝑁 − 1))} ∈ ran 𝐸)))
472, 32, 40, 46mpbir3and 1238 . . . . 5 (((((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2))) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))) → (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋))
4847exp31 628 . . . 4 (((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑤) = 𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘𝑤), (𝑤‘0)} ∈ ran 𝐸) → ((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋))))
491, 48syl 17 . . 3 (𝑤 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁) → ((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋))))
5049impcom 445 . 2 (((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑤 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁)) → (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)) → (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋)))
5150imp 444 1 ((((𝑉 USGrph 𝐸𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑤 ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁)) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))) → (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (⟨𝑉, 𝐸⟩ Neighbors 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wral 2896  Vcvv 3173  {cpr 4127  cop 4131   class class class wbr 4583  ran crn 5039  cfv 5804  (class class class)co 6549  cc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818  cmin 10145  2c2 10947  cuz 11563  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146   lastS clsw 13147   USGrph cusg 25859   Neighbors cnbgra 25946   ClWWalksN cclwwlkn 26277
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-usgra 25862  df-nbgra 25949  df-clwwlk 26279  df-clwwlkn 26280
This theorem is referenced by:  extwwlkfab  26617
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