Theorem eluzelcn 11575

Description: A member of an upper set of integers is a complex number. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Assertion

Ref	Expression
eluzelcn	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℂ)

Proof of Theorem eluzelcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelre 11574	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)
2	1	recnd 9947	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1977  ‘cfv 5804  ℂcc 9813  ℤ_≥cuz 11563

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-fv 5812  df-ov 6552  df-neg 10148  df-z 11255  df-uz 11564

This theorem is referenced by:  uzp1  11597  peano2uzr  11619  uzaddcl  11620  eluzgtdifelfzo  12397  fldiv4lem1div2uz2  12499  mulp1mod1  12573  seqm1  12680  bcval5  12967  swrdfv2  13298  relexpaddg  13641  shftuz  13657  seqshft  13673  climshftlem  14153  climshft  14155  isumshft  14410  dvdsexp  14887  pclem  15381  efgtlen  17962  dvradcnv  23979  clwwlkext2edg  26330  extwwlkfablem1  26601  extwwlkfablem2  26605  numclwwlkovf2ex  26613  numclwlk1lem2foa  26618  numclwlk1lem2fo  26622  numclwwlk2  26634  nn0prpwlem  31487  rmspecsqrtnq  36488  rmspecsqrtnqOLD  36489  rmxm1  36517  rmym1  36518  rmxluc  36519  rmyluc  36520  rmyluc2  36521  jm2.17a  36545  relexpaddss  37029  trclfvdecomr  37039  binomcxplemnn0  37570  stoweidlem14  38907  fmtnorec3  39998  lighneallem4a  40063  lighneallem4b  40064  evengpop3  40214  evengpoap3  40215  nnsum4primeseven  40216  nnsum4primesevenALTV  40217  fzosplitpr  40362  clwwlksext2edg  41230  av-extwwlkfablem1  41508  av-extwwlkfablem2  41510  av-numclwwlkovf2ex  41517  av-numclwlk1lem2foa  41521  av-numclwlk1lem2fo  41525  av-numclwwlk2  41537  expnegico01  42102  dignn0ldlem  42194  dignnld  42195  digexp  42199  dig1  42200  nn0sumshdiglemB  42212