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Theorem av-numclwlk1lem2fo 41525
 Description: 𝑇 is an onto function. (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Sep-2018.) (Revised by AV, 29-May-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
av-extwwlkfab.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
av-extwwlkfab.f 𝐹 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalkSN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})
av-extwwlkfab.c 𝐶 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalkSN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = (𝑤‘0))})
av-numclwwlk.t 𝑇 = (𝑤 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↦ ⟨(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (𝑤‘(𝑁 − 1))⟩)
Assertion
Ref Expression
av-numclwlk1lem2fo ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → 𝑇:(𝑋𝐶𝑁)–onto→((𝑋𝐹(𝑁 − 2)) × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐺,𝑣,𝑤   𝑛,𝑁,𝑣,𝑤   𝑛,𝑉,𝑣,𝑤   𝑛,𝑋,𝑣,𝑤   𝑤,𝐹   𝑤,𝐶
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑣,𝑛)   𝑇(𝑤,𝑣,𝑛)   𝐹(𝑣,𝑛)

Proof of Theorem av-numclwlk1lem2fo
Dummy variables 𝑖 𝑝 𝑎 𝑏 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 av-extwwlkfab.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 av-extwwlkfab.f . . 3 𝐹 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalkSN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})
3 av-extwwlkfab.c . . 3 𝐶 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalkSN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = (𝑤‘0))})
4 av-numclwwlk.t . . 3 𝑇 = (𝑤 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↦ ⟨(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (𝑤‘(𝑁 − 1))⟩)
51, 2, 3, 4av-numclwlk1lem2f 41522 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → 𝑇:(𝑋𝐶𝑁)⟶((𝑋𝐹(𝑁 − 2)) × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))
6 elxp 5055 . . . . 5 (𝑝 ∈ ((𝑋𝐹(𝑁 − 2)) × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) ↔ ∃𝑎𝑏(𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))))
71, 2, 3av-numclwlk1lem2foa 41521 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) → ((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁)))
87com12 32 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁)))
98adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁)))
109imp 444 . . . . . . . 8 (((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → ((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁))
11 simpl 472 . . . . . . . . 9 ((((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)))) → ((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁))
12 fveq2 6103 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) → (𝑇𝑥) = (𝑇‘((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)))
1312eqeq2d 2620 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) → (𝑝 = (𝑇𝑥) ↔ 𝑝 = (𝑇‘((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩))))
141, 2, 3, 4av-numclwlk1lem2fv 41523 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁) → (𝑇‘((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)) = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)
1514adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)))) → (𝑇‘((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)) = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)
1615eqeq2d 2620 . . . . . . . . . 10 ((((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)))) → (𝑝 = (𝑇‘((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)) ↔ 𝑝 = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩))
1713, 16sylan9bbr 733 . . . . . . . . 9 (((((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)))) ∧ 𝑥 = ((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)) → (𝑝 = (𝑇𝑥) ↔ 𝑝 = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩))
18 simprll 798 . . . . . . . . . 10 ((((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)))) → 𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩)
191nbgrisvtx 40581 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) → 𝑏𝑉)
2019ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐺 ∈ USGraph → (𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) → 𝑏𝑉))
21203ad2ant1 1075 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) → 𝑏𝑉))
22 simp1 1054 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → 𝐺 ∈ USGraph )
23 uz3m2nn 11607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ)
24233ad2ant3 1077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ)
25 simp2 1055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → 𝑋𝑉)
26 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
272, 1, 26av-numclwwlkovfel2 41514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑁 − 2) ∈ ℕ ∧ 𝑋𝑉) → (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ↔ ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑎) − 1)){(𝑎𝑖), (𝑎‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑎), (𝑎‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋)))
2822, 24, 25, 27syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ↔ ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑎) − 1)){(𝑎𝑖), (𝑎‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑎), (𝑎‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋)))
29 df-3an 1033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑎) − 1)){(𝑎𝑖), (𝑎‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑎), (𝑎‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ↔ (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑎) − 1)){(𝑎𝑖), (𝑎‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑎), (𝑎‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋))
3028, 29syl6bb 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ↔ (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑎) − 1)){(𝑎𝑖), (𝑎‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑎), (𝑎‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋)))
31 simplll 794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ 𝑏𝑉) → 𝑎 ∈ Word 𝑉)
32 s1cl 13235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑋𝑉 → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉)
3332adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉)
3433adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉)
3534adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ 𝑏𝑉) → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉)
36 s1cl 13235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑏𝑉 → ⟨“𝑏”⟩ ∈ Word 𝑉)
3736adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ 𝑏𝑉) → ⟨“𝑏”⟩ ∈ Word 𝑉)
38 ccatass 13224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑏”⟩ ∈ Word 𝑉) → ((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) = (𝑎 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑏”⟩)))
3938oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑏”⟩ ∈ Word 𝑉) → (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = ((𝑎 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑏”⟩)) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩))
4031, 35, 37, 39syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ 𝑏𝑉) → (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = ((𝑎 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑏”⟩)) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩))
41 ccatcl 13212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑏”⟩ ∈ Word 𝑉) → (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ Word 𝑉)
4234, 36, 41syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ 𝑏𝑉) → (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ Word 𝑉)
43 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) → (#‘𝑎) = (𝑁 − 2))
4443eqcomd 2616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) → (𝑁 − 2) = (#‘𝑎))
4544adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (𝑁 − 2) = (#‘𝑎))
4645adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ 𝑏𝑉) → (𝑁 − 2) = (#‘𝑎))
47 swrdccatid 13348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 − 2) = (#‘𝑎)) → ((𝑎 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑏”⟩)) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = 𝑎)
4831, 42, 46, 47syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ 𝑏𝑉) → ((𝑎 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑏”⟩)) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = 𝑎)
4940, 48eqtr2d 2645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ 𝑏𝑉) → 𝑎 = (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩))
50 ovex 6577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ V
51 lsw 13204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ V → ( lastS ‘((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)) = (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘((#‘((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)) − 1)))
5250, 51ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ( lastS ‘((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)) = (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘((#‘((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)) − 1))
53 simpl 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) → 𝑎 ∈ Word 𝑉)
54 ccatcl 13212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉) → (𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉)
5553, 33, 54syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉)
56 lswccats1 13263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉𝑏𝑉) → ( lastS ‘((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)) = 𝑏)
5755, 56sylan 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ 𝑏𝑉) → ( lastS ‘((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)) = 𝑏)
58 ccatlen 13213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑏”⟩ ∈ Word 𝑉) → (#‘((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)) = ((#‘(𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩)) + (#‘⟨“𝑏”⟩)))
5955, 36, 58syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ 𝑏𝑉) → (#‘((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)) = ((#‘(𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩)) + (#‘⟨“𝑏”⟩)))
6053, 33anim12i 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉))
6160adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ 𝑏𝑉) → (𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉))
62 ccatlen 13213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉) → (#‘(𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = ((#‘𝑎) + (#‘⟨“𝑋”⟩)))
6361, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ 𝑏𝑉) → (#‘(𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = ((#‘𝑎) + (#‘⟨“𝑋”⟩)))
64 s1len 13238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (#‘⟨“𝑏”⟩) = 1
6564a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ 𝑏𝑉) → (#‘⟨“𝑏”⟩) = 1)
6663, 65oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ 𝑏𝑉) → ((#‘(𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩)) + (#‘⟨“𝑏”⟩)) = (((#‘𝑎) + (#‘⟨“𝑋”⟩)) + 1))
67 s1len 13238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (#‘⟨“𝑋”⟩) = 1
6867a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (#‘⟨“𝑋”⟩) = 1)
6943, 68oveqan12d 6568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → ((#‘𝑎) + (#‘⟨“𝑋”⟩)) = ((𝑁 − 2) + 1))
7069oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (((#‘𝑎) + (#‘⟨“𝑋”⟩)) + 1) = (((𝑁 − 2) + 1) + 1))
71 eluzelcn 11575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ ℂ)
72 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑁 ∈ ℂ → 𝑁 ∈ ℂ)
73 2cnd 10970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑁 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
7472, 73subcld 10271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 − 2) ∈ ℂ)
75 1cnd 9935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑁 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
7674, 75, 75addassd 9941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑁 ∈ ℂ → (((𝑁 − 2) + 1) + 1) = ((𝑁 − 2) + (1 + 1)))
77 1p1e2 11011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (1 + 1) = 2
7877a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑁 ∈ ℂ → (1 + 1) = 2)
7978oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 2) + (1 + 1)) = ((𝑁 − 2) + 2))
8076, 79eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑁 ∈ ℂ → (((𝑁 − 2) + 1) + 1) = ((𝑁 − 2) + 2))
8171, 80syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (((𝑁 − 2) + 1) + 1) = ((𝑁 − 2) + 2))
82 2cnd 10970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 2 ∈ ℂ)
8371, 82npcand 10275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → ((𝑁 − 2) + 2) = 𝑁)
8481, 83eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (((𝑁 − 2) + 1) + 1) = 𝑁)
8584adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (((𝑁 − 2) + 1) + 1) = 𝑁)
8685adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (((𝑁 − 2) + 1) + 1) = 𝑁)
8770, 86eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (((#‘𝑎) + (#‘⟨“𝑋”⟩)) + 1) = 𝑁)
8887adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ 𝑏𝑉) → (((#‘𝑎) + (#‘⟨“𝑋”⟩)) + 1) = 𝑁)
8959, 66, 883eqtrd 2648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ 𝑏𝑉) → (#‘((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)) = 𝑁)
9089oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ 𝑏𝑉) → ((#‘((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)) − 1) = (𝑁 − 1))
9190fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ 𝑏𝑉) → (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘((#‘((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)) − 1)) = (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1)))
9252, 57, 913eqtr3a 2668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ 𝑏𝑉) → 𝑏 = (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1)))
9349, 92opeq12d 4348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ 𝑏𝑉) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)
9493exp31 628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) → ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑏𝑉 → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)))
95943ad2antl1 1216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑎) − 1)){(𝑎𝑖), (𝑎‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑎), (𝑎‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) → ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑏𝑉 → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)))
9695adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑎) − 1)){(𝑎𝑖), (𝑎‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑎), (𝑎‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) → ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑏𝑉 → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)))
9796com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑎) − 1)){(𝑎𝑖), (𝑎‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑎), (𝑎‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) → (𝑏𝑉 → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)))
98973adant1 1072 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑎) − 1)){(𝑎𝑖), (𝑎‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑎), (𝑎‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) → (𝑏𝑉 → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)))
9930, 98sylbid 229 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) → (𝑏𝑉 → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)))
10099com23 84 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑏𝑉 → (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)))
10121, 100syld 46 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) → (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)))
102101com13 86 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) → (𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)))
103102imp 444 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩))
104103adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩))
105104imp 444 . . . . . . . . . . 11 (((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)
106105adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)))) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)
10718, 106eqtrd 2644 . . . . . . . . 9 ((((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)))) → 𝑝 = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)
10811, 17, 107rspcedvd 3289 . . . . . . . 8 ((((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)))) → ∃𝑥 ∈ (𝑋𝐶𝑁)𝑝 = (𝑇𝑥))
10910, 108mpancom 700 . . . . . . 7 (((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → ∃𝑥 ∈ (𝑋𝐶𝑁)𝑝 = (𝑇𝑥))
110109ex 449 . . . . . 6 ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ∃𝑥 ∈ (𝑋𝐶𝑁)𝑝 = (𝑇𝑥)))
111110exlimivv 1847 . . . . 5 (∃𝑎𝑏(𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ∃𝑥 ∈ (𝑋𝐶𝑁)𝑝 = (𝑇𝑥)))
1126, 111sylbi 206 . . . 4 (𝑝 ∈ ((𝑋𝐹(𝑁 − 2)) × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ∃𝑥 ∈ (𝑋𝐶𝑁)𝑝 = (𝑇𝑥)))
113112impcom 445 . . 3 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑋𝐹(𝑁 − 2)) × (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) → ∃𝑥 ∈ (𝑋𝐶𝑁)𝑝 = (𝑇𝑥))
114113ralrimiva 2949 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ∀𝑝 ∈ ((𝑋𝐹(𝑁 − 2)) × (𝐺 NeighbVtx 𝑋))∃𝑥 ∈ (𝑋𝐶𝑁)𝑝 = (𝑇𝑥))
115 dffo3 6282 . 2 (𝑇:(𝑋𝐶𝑁)–onto→((𝑋𝐹(𝑁 − 2)) × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) ↔ (𝑇:(𝑋𝐶𝑁)⟶((𝑋𝐹(𝑁 − 2)) × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) ∧ ∀𝑝 ∈ ((𝑋𝐹(𝑁 − 2)) × (𝐺 NeighbVtx 𝑋))∃𝑥 ∈ (𝑋𝐶𝑁)𝑝 = (𝑇𝑥)))
1165, 114, 115sylanbrc 695 1 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → 𝑇:(𝑋𝐶𝑁)–onto→((𝑋𝐹(𝑁 − 2)) × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  {crab 2900  Vcvv 3173  {cpr 4127  ⟨cop 4131   ↦ cmpt 4643   × cxp 5036  ⟶wf 5800  –onto→wfo 5802  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↦ cmpt2 6551  ℂcc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   − cmin 10145  ℕcn 10897  2c2 10947  3c3 10948  ℤ≥cuz 11563  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146   lastS clsw 13147   ++ cconcat 13148  ⟨“cs1 13149   substr csubstr 13150  Vtxcvtx 25673  Edgcedga 25792   USGraph cusgr 40379   NeighbVtx cnbgr 40550   ClWWalkSN cclwwlksn 41184 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-lsw 13155  df-concat 13156  df-s1 13157  df-substr 13158  df-upgr 25749  df-umgr 25750  df-edga 25793  df-usgr 40381  df-nbgr 40554  df-clwwlks 41185  df-clwwlksn 41186 This theorem is referenced by:  av-numclwlk1lem2f1o  41526
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