av-numclwlk1lem2fo - Mathbox for Alexander van der Vekens

	Mathbox for Alexander van der Vekens		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > av-numclwlk1lem2fo		Structured version Visualization version GIF version

Theorem av-numclwlk1lem2fo 41525

Description: 𝑇 is an onto function. (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Sep-2018.) (Revised by AV, 29-May-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
av-extwwlkfab.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
av-extwwlkfab.f	⊢ 𝐹 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalkSN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})
av-extwwlkfab.c	⊢ 𝐶 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalkSN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = (𝑤‘0))})
av-numclwwlk.t	⊢ 𝑇 = (𝑤 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↦ ⟨(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (𝑤‘(𝑁 − 1))⟩)

**Assertion**
Ref	Expression
av-numclwlk1lem2fo	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → 𝑇:(𝑋𝐶𝑁)–onto→((𝑋𝐹(𝑁 − 2)) × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))

Distinct variable groups: 𝑛,𝐺,𝑣,𝑤 𝑛,𝑁,𝑣,𝑤 𝑛,𝑉,𝑣,𝑤 𝑛,𝑋,𝑣,𝑤 𝑤,𝐹 𝑤,𝐶 Allowed substitution hints: 𝐶(𝑣,𝑛) 𝑇(𝑤,𝑣,𝑛) 𝐹(𝑣,𝑛)

Proof of Theorem av-numclwlk1lem2fo Dummy variables 𝑖 𝑝 𝑎 𝑏 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		av-extwwlkfab.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		av-extwwlkfab.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalkSN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})
3		av-extwwlkfab.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ_≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalkSN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = (𝑤‘0))})
4		av-numclwwlk.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑤 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↦ ⟨(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (𝑤‘(𝑁 − 1))⟩)
5	1, 2, 3, 4	av-numclwlk1lem2f 41522	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → 𝑇:(𝑋𝐶𝑁)⟶((𝑋𝐹(𝑁 − 2)) × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))
6		elxp 5055	. . . . 5 ⊢ (𝑝 ∈ ((𝑋𝐹(𝑁 − 2)) × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) ↔ ∃𝑎∃𝑏(𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))))
7	1, 2, 3	av-numclwlk1lem2foa 41521	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) → ((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁)))
8	7	com12 32	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁)))
9	8	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁)))
10	9	imp 444	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) → ((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁))
11		simpl 472	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)))) → ((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁))
12		fveq2 6103	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = ((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) → (𝑇‘𝑥) = (𝑇‘((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)))
13	12	eqeq2d 2620	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = ((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) → (𝑝 = (𝑇‘𝑥) ↔ 𝑝 = (𝑇‘((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩))))
14	1, 2, 3, 4	av-numclwlk1lem2fv 41523	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁) → (𝑇‘((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)) = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)
15	14	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)))) → (𝑇‘((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)) = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)
16	15	eqeq2d 2620	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)))) → (𝑝 = (𝑇‘((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)) ↔ 𝑝 = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩))
17	13, 16	sylan9bbr 733	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)))) ∧ 𝑥 = ((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)) → (𝑝 = (𝑇‘𝑥) ↔ 𝑝 = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩))
18		simprll 798	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)))) → 𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩)
19	1	nbgrisvtx 40581	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) → 𝑏 ∈ 𝑉)
20	19	ex 449	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) → 𝑏 ∈ 𝑉))
21	20	3ad2ant1 1075	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) → 𝑏 ∈ 𝑉))
22		simp1 1054	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → 𝐺 ∈ USGraph )
23		uz3m2nn 11607	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ)
24	23	3ad2ant3 1077	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ)
25		simp2 1055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
26		eqid 2610	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
27	2, 1, 26	av-numclwwlkovfel2 41514	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑁 − 2) ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ↔ ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑎) − 1)){(𝑎‘𝑖), (𝑎‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑎), (𝑎‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋)))
28	22, 24, 25, 27	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ↔ ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑎) − 1)){(𝑎‘𝑖), (𝑎‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑎), (𝑎‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋)))
29		df-3an 1033	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑎) − 1)){(𝑎‘𝑖), (𝑎‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑎), (𝑎‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ↔ (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑎) − 1)){(𝑎‘𝑖), (𝑎‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑎), (𝑎‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋))
30	28, 29	syl6bb 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ↔ (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑎) − 1)){(𝑎‘𝑖), (𝑎‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑎), (𝑎‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋)))
31		simplll 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → 𝑎 ∈ Word 𝑉)
32		s1cl 13235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉)
33	32	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉)
34	33	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉)
35	34	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉)
36		s1cl 13235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑏 ∈ 𝑉 → ⟨“𝑏”⟩ ∈ Word 𝑉)
37	36	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → ⟨“𝑏”⟩ ∈ Word 𝑉)
38		ccatass 13224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑏”⟩ ∈ Word 𝑉) → ((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) = (𝑎 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑏”⟩)))
39	38	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑏”⟩ ∈ Word 𝑉) → (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = ((𝑎 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑏”⟩)) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩))
40	31, 35, 37, 39	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = ((𝑎 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑏”⟩)) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩))
41		ccatcl 13212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑏”⟩ ∈ Word 𝑉) → (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ Word 𝑉)
42	34, 36, 41	syl2an 493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ Word 𝑉)
43		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) → (#‘𝑎) = (𝑁 − 2))
44	43	eqcomd 2616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) → (𝑁 − 2) = (#‘𝑎))
45	44	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) → (𝑁 − 2) = (#‘𝑎))
46	45	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (𝑁 − 2) = (#‘𝑎))
47		swrdccatid 13348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 − 2) = (#‘𝑎)) → ((𝑎 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑏”⟩)) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = 𝑎)
48	31, 42, 46, 47	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → ((𝑎 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑏”⟩)) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = 𝑎)
49	40, 48	eqtr2d 2645	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → 𝑎 = (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩))
50		ovex 6577	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ V
51		lsw 13204	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ V → ( lastS ‘((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)) = (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘((#‘((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)) − 1)))
52	50, 51	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ( lastS ‘((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)) = (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘((#‘((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)) − 1))
53		simpl 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) → 𝑎 ∈ Word 𝑉)
54		ccatcl 13212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉) → (𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉)
55	53, 33, 54	syl2an 493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) → (𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉)
56		lswccats1 13263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → ( lastS ‘((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)) = 𝑏)
57	55, 56	sylan 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → ( lastS ‘((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)) = 𝑏)
58		ccatlen 13213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑏”⟩ ∈ Word 𝑉) → (#‘((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)) = ((#‘(𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩)) + (#‘⟨“𝑏”⟩)))
59	55, 36, 58	syl2an 493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (#‘((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)) = ((#‘(𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩)) + (#‘⟨“𝑏”⟩)))
60	53, 33	anim12i 588	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) → (𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉))
61	60	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉))
62		ccatlen 13213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉) → (#‘(𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = ((#‘𝑎) + (#‘⟨“𝑋”⟩)))
63	61, 62	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (#‘(𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = ((#‘𝑎) + (#‘⟨“𝑋”⟩)))
64		s1len 13238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (#‘⟨“𝑏”⟩) = 1
65	64	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (#‘⟨“𝑏”⟩) = 1)
66	63, 65	oveq12d 6567	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → ((#‘(𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩)) + (#‘⟨“𝑏”⟩)) = (((#‘𝑎) + (#‘⟨“𝑋”⟩)) + 1))
67		s1len 13238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (#‘⟨“𝑋”⟩) = 1
68	67	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (#‘⟨“𝑋”⟩) = 1)
69	43, 68	oveqan12d 6568	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) → ((#‘𝑎) + (#‘⟨“𝑋”⟩)) = ((𝑁 − 2) + 1))
70	69	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) → (((#‘𝑎) + (#‘⟨“𝑋”⟩)) + 1) = (((𝑁 − 2) + 1) + 1))
71		eluzelcn 11575	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 𝑁 ∈ ℂ)
72		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → 𝑁 ∈ ℂ)
73		2cnd 10970	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
74	72, 73	subcld 10271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 − 2) ∈ ℂ)
75		1cnd 9935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
76	74, 75, 75	addassd 9941	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (((𝑁 − 2) + 1) + 1) = ((𝑁 − 2) + (1 + 1)))
77		1p1e2 11011	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (1 + 1) = 2
78	77	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (1 + 1) = 2)
79	78	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 2) + (1 + 1)) = ((𝑁 − 2) + 2))
80	76, 79	eqtrd 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (((𝑁 − 2) + 1) + 1) = ((𝑁 − 2) + 2))
81	71, 80	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (((𝑁 − 2) + 1) + 1) = ((𝑁 − 2) + 2))
82		2cnd 10970	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → 2 ∈ ℂ)
83	71, 82	npcand 10275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → ((𝑁 − 2) + 2) = 𝑁)
84	81, 83	eqtrd 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3) → (((𝑁 − 2) + 1) + 1) = 𝑁)
85	84	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (((𝑁 − 2) + 1) + 1) = 𝑁)
86	85	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) → (((𝑁 − 2) + 1) + 1) = 𝑁)
87	70, 86	eqtrd 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) → (((#‘𝑎) + (#‘⟨“𝑋”⟩)) + 1) = 𝑁)
88	87	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (((#‘𝑎) + (#‘⟨“𝑋”⟩)) + 1) = 𝑁)
89	59, 66, 88	3eqtrd 2648	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (#‘((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)) = 𝑁)
90	89	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → ((#‘((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)) − 1) = (𝑁 − 1))
91	90	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘((#‘((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)) − 1)) = (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1)))
92	52, 57, 91	3eqtr3a 2668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → 𝑏 = (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1)))
93	49, 92	opeq12d 4348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)
94	93	exp31 628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑏 ∈ 𝑉 → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)))
95	94	3ad2antl1 1216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑎) − 1)){(𝑎‘𝑖), (𝑎‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑎), (𝑎‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑏 ∈ 𝑉 → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)))
96	95	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑎) − 1)){(𝑎‘𝑖), (𝑎‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑎), (𝑎‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) → ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑏 ∈ 𝑉 → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)))
97	96	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑎) − 1)){(𝑎‘𝑖), (𝑎‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑎), (𝑎‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) → (𝑏 ∈ 𝑉 → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)))
98	97	3adant1 1072	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑎) − 1)){(𝑎‘𝑖), (𝑎‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑎), (𝑎‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) → (𝑏 ∈ 𝑉 → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)))
99	30, 98	sylbid 229	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) → (𝑏 ∈ 𝑉 → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)))
100	99	com23 84	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑏 ∈ 𝑉 → (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)))
101	21, 100	syld 46	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → (𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) → (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)))
102	101	com13 86	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) → (𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)))
103	102	imp 444	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩))
104	103	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩))
105	104	imp 444	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)
106	105	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)))) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)
107	18, 106	eqtrd 2644	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)))) → 𝑝 = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)
108	11, 17, 107	rspcedvd 3289	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)))) → ∃𝑥 ∈ (𝑋𝐶𝑁)𝑝 = (𝑇‘𝑥))
109	10, 108	mpancom 700	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3))) → ∃𝑥 ∈ (𝑋𝐶𝑁)𝑝 = (𝑇‘𝑥))
110	109	ex 449	. . . . . 6 ⊢ ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ∃𝑥 ∈ (𝑋𝐶𝑁)𝑝 = (𝑇‘𝑥)))
111	110	exlimivv 1847	. . . . 5 ⊢ (∃𝑎∃𝑏(𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ∃𝑥 ∈ (𝑋𝐶𝑁)𝑝 = (𝑇‘𝑥)))
112	6, 111	sylbi 206	. . . 4 ⊢ (𝑝 ∈ ((𝑋𝐹(𝑁 − 2)) × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ∃𝑥 ∈ (𝑋𝐶𝑁)𝑝 = (𝑇‘𝑥)))
113	112	impcom 445	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑋𝐹(𝑁 − 2)) × (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) → ∃𝑥 ∈ (𝑋𝐶𝑁)𝑝 = (𝑇‘𝑥))
114	113	ralrimiva 2949	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → ∀𝑝 ∈ ((𝑋𝐹(𝑁 − 2)) × (𝐺 NeighbVtx 𝑋))∃𝑥 ∈ (𝑋𝐶𝑁)𝑝 = (𝑇‘𝑥))
115		dffo3 6282	. 2 ⊢ (𝑇:(𝑋𝐶𝑁)–onto→((𝑋𝐹(𝑁 − 2)) × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) ↔ (𝑇:(𝑋𝐶𝑁)⟶((𝑋𝐹(𝑁 − 2)) × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) ∧ ∀𝑝 ∈ ((𝑋𝐹(𝑁 − 2)) × (𝐺 NeighbVtx 𝑋))∃𝑥 ∈ (𝑋𝐶𝑁)𝑝 = (𝑇‘𝑥)))
116	5, 114, 115	sylanbrc 695	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘3)) → 𝑇:(𝑋𝐶𝑁)–onto→((𝑋𝐹(𝑁 − 2)) × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 195 ∧ wa 383 ∧ w3a 1031 = wceq 1475 ∃wex 1695 ∈ wcel 1977 ∀wral 2896 ∃wrex 2897 {crab 2900 Vcvv 3173 {cpr 4127 ⟨cop 4131 ↦ cmpt 4643 × cxp 5036 ⟶wf 5800 –onto→wfo 5802 ‘cfv 5804 (class class class)co 6549 ↦ cmpt2 6551 ℂcc 9813 0cc0 9815 1c1 9816 + caddc 9818 − cmin 10145 ℕcn 10897 2c2 10947 3c3 10948 ℤ_≥cuz 11563 ..^cfzo 12334 #chash 12979 Word cword 13146 lastS clsw 13147 ++ cconcat 13148 ⟨“cs1 13149 substr csubstr 13150 Vtxcvtx 25673 Edgcedga 25792 USGraph cusgr 40379 NeighbVtx cnbgr 40550 ClWWalkSN cclwwlksn 41184

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1713 ax-4 1728 ax-5 1827 ax-6 1875 ax-7 1922 ax-8 1979 ax-9 1986 ax-10 2006 ax-11 2021 ax-12 2034 ax-13 2234 ax-ext 2590 ax-rep 4699 ax-sep 4709 ax-nul 4717 ax-pow 4769 ax-pr 4833 ax-un 6847 ax-cnex 9871 ax-resscn 9872 ax-1cn 9873 ax-icn 9874 ax-addcl 9875 ax-addrcl 9876 ax-mulcl 9877 ax-mulrcl 9878 ax-mulcom 9879 ax-addass 9880 ax-mulass 9881 ax-distr 9882 ax-i2m1 9883 ax-1ne0 9884 ax-1rid 9885 ax-rnegex 9886 ax-rrecex 9887 ax-cnre 9888 ax-pre-lttri 9889 ax-pre-lttrn 9890 ax-pre-ltadd 9891 ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions: df-bi 196 df-or 384 df-an 385 df-3or 1032 df-3an 1033 df-tru 1478 df-fal 1481 df-ex 1696 df-nf 1701 df-sb 1868 df-eu 2462 df-mo 2463 df-clab 2597 df-cleq 2603 df-clel 2606 df-nfc 2740 df-ne 2782 df-nel 2783 df-ral 2901 df-rex 2902 df-reu 2903 df-rmo 2904 df-rab 2905 df-v 3175 df-sbc 3403 df-csb 3500 df-dif 3543 df-un 3545 df-in 3547 df-ss 3554 df-pss 3556 df-nul 3875 df-if 4037 df-pw 4110 df-sn 4126 df-pr 4128 df-tp 4130 df-op 4132 df-uni 4373 df-int 4411 df-iun 4457 df-br 4584 df-opab 4644 df-mpt 4645 df-tr 4681 df-eprel 4949 df-id 4953 df-po 4959 df-so 4960 df-fr 4997 df-we 4999 df-xp 5044 df-rel 5045 df-cnv 5046 df-co 5047 df-dm 5048 df-rn 5049 df-res 5050 df-ima 5051 df-pred 5597 df-ord 5643 df-on 5644 df-lim 5645 df-suc 5646 df-iota 5768 df-fun 5806 df-fn 5807 df-f 5808 df-f1 5809 df-fo 5810 df-f1o 5811 df-fv 5812 df-riota 6511 df-ov 6552 df-oprab 6553 df-mpt2 6554 df-om 6958 df-1st 7059 df-2nd 7060 df-wrecs 7294 df-recs 7355 df-rdg 7393 df-1o 7447 df-2o 7448 df-oadd 7451 df-er 7629 df-map 7746 df-pm 7747 df-en 7842 df-dom 7843 df-sdom 7844 df-fin 7845 df-card 8648 df-cda 8873 df-pnf 9955 df-mnf 9956 df-xr 9957 df-ltxr 9958 df-le 9959 df-sub 10147 df-neg 10148 df-nn 10898 df-2 10956 df-3 10957 df-n0 11170 df-z 11255 df-uz 11564 df-rp 11709 df-fz 12198 df-fzo 12335 df-hash 12980 df-word 13154 df-lsw 13155 df-concat 13156 df-s1 13157 df-substr 13158 df-upgr 25749 df-umgr 25750 df-edga 25793 df-usgr 40381 df-nbgr 40554 df-clwwlks 41185 df-clwwlksn 41186

This theorem is referenced by: av-numclwlk1lem2f1o 41526

W3C validator