Theorem s1len 13238

Description: Length of a singleton word. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)

Assertion

Ref	Expression
s1len	⊢ (#‘⟨“𝐴”⟩) = 1

Proof of Theorem s1len

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-s1 13157	. . 3 ⊢ ⟨“𝐴”⟩ = {⟨0, ( I ‘𝐴)⟩}
2	1	fveq2i 6106	. 2 ⊢ (#‘⟨“𝐴”⟩) = (#‘{⟨0, ( I ‘𝐴)⟩})
3		opex 4859	. . 3 ⊢ ⟨0, ( I ‘𝐴)⟩ ∈ V
4		hashsng 13020	. . 3 ⊢ (⟨0, ( I ‘𝐴)⟩ ∈ V → (#‘{⟨0, ( I ‘𝐴)⟩}) = 1)
5	3, 4	ax-mp 5	. 2 ⊢ (#‘{⟨0, ( I ‘𝐴)⟩}) = 1
6	2, 5	eqtri 2632	1 ⊢ (#‘⟨“𝐴”⟩) = 1

Syntax hints:   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173  {csn 4125  ⟨cop 4131   I cid 4948  ‘cfv 5804  0cc0 9815  1c1 9816  #chash 12979  ⟨“cs1 13149

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-hash 12980  df-s1 13157

This theorem is referenced by:  s1nzOLD  13240  s1dm  13241  lsws1  13244  eqs1  13245  wrdl1s1  13247  ccatws1len  13251  ccat2s1len  13253  ccats1val2  13256  ccat2s1p1  13257  ccat2s1p2  13258  cats1un  13327  revs1  13365  cats1fvn  13454  cats1len  13456  s2fv0  13482  s2fv1  13483  s2len  13484  s2prop  13502  s2eq2s1eq  13531  ofs2  13558  psgnpmtr  17753  efgsval2  17969  efgs1  17971  efgsp1  17973  efgsfo  17975  efgredlemc  17981  pgpfaclem1  18303  wwlknext  26252  wwlknextbi  26253  clwlkisclwwlk2  26318  clwwlkel  26321  wlklenvclwlk  26366  numclwlk1lem2fo  26622  signstf0  29971  signstfvn  29972  signstfvp  29974  signsvf1  29984  signsvfn  29985  signshf  29991  1wlklenvclwlk  40863  wwlksnext  41099  wwlksnextbi  41100  clwlkclwwlk2  41212  clwwlksel  41221  1ewlk  41283  1pthdlem1  41302  1pthdlem2  41303  11wlkdlem1  41304  11wlkdlem4  41307  1pthond  41311  lp1cycl  41319  av-numclwlk1lem2fo  41525