Theorem npcand 10275

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
npcand	⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem npcand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		npcan 10169	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 691	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  (class class class)co 6549  ℂcc 9813   + caddc 9818   − cmin 10145

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-ltxr 9958  df-sub 10147

This theorem is referenced by:  addlsub  10326  npcan1  10334  ltsubadd  10377  lesubadd  10379  lesub1  10401  lincmb01cmp  12186  expaddzlem  12765  bcpasc  12970  bcn2m1  12973  swrdccatwrd  13320  cshwidxmod  13400  shftuz  13657  o1dif  14208  arisum2  14432  ntrivcvg  14468  ntrivcvgtail  14471  prodrblem  14498  fprodser  14518  fprodm1  14536  risefacval2  14580  fallfacval2  14581  fallfacfwd  14606  binomfallfaclem2  14610  sin01bnd  14754  moddvds  14829  dvdsexp  14887  bitscmp  14998  hashdvds  15318  vdwlem5  15527  vdwlem6  15528  vdwlem8  15530  srgbinomlem4  18366  uniioombllem3  23159  i1faddlem  23266  itg1addlem4  23272  dvcnp2  23489  ftc1lem4  23606  dgrcolem2  23834  plydivlem4  23855  aaliou3lem8  23904  dvtaylp  23928  dvntaylp0  23930  taylthlem1  23931  efif1olem4  24095  tanarg  24169  quart1  24383  dmgmaddnn0  24553  lgamgulm2  24562  gamfac  24593  basellem9  24615  chtublem  24736  logexprlim  24750  dchrptlem1  24789  lgsquadlem1  24905  mudivsum  25019  logsqvma  25031  log2sumbnd  25033  selberglem2  25035  pntrlog2bndlem5  25070  pntlem3  25098  ostth2lem2  25123  brbtwn2  25585  cusgrasize2inds  26005  fargshiftfo  26166  clwlkisclwwlklem1  26315  clwwlkel  26321  clwwlkf  26322  clwwisshclww  26335  numclwlk1lem2fo  26622  numclwwlk2  26634  fzspl  28938  fzsplit3  28940  bcm1n  28941  omndmul3  29044  psgnfzto1stlem  29181  ballotlemfc0  29881  ballotlemfcc  29882  signstfvn  29972  bcm1nt  30876  itg2addnclem  32631  ftc1cnnclem  32653  ftc1anc  32663  caushft  32727  pellexlem6  36416  rmspecfund  36492  rmyluc  36520  jm2.18  36573  jm2.25  36584  hbtlem4  36715  bccm1k  37563  binomcxplemwb  37569  binomcxplemnotnn0  37577  oddfl  38430  zltlesub  38438  fzisoeu  38455  fperiodmul  38459  fzdifsuc2  38466  iccshift  38591  iooshift  38595  fmul01lt1lem2  38652  limcperiod  38695  sumnnodd  38697  cncfperiod  38764  fperdvper  38808  dvbdfbdioolem2  38819  dvnmul  38833  itgsinexp  38846  itgperiod  38873  stoweidlem11  38904  stoweidlem14  38907  stoweidlem26  38919  stoweidlem34  38927  wallispilem5  38962  stirlinglem5  38971  stirlinglem11  38977  stirlinglem12  38978  dirkercncflem1  38996  fourierdlem11  39011  fourierdlem15  39015  fourierdlem26  39026  fourierdlem41  39041  fourierdlem42  39042  fourierdlem48  39047  fourierdlem49  39048  fourierdlem63  39062  fourierdlem64  39063  fourierdlem65  39064  fourierdlem74  39073  fourierdlem75  39074  fourierdlem79  39078  fourierdlem81  39080  fourierdlem84  39083  fourierdlem88  39087  fourierdlem90  39089  fourierdlem92  39091  fourierdlem95  39094  fourierdlem97  39096  fourierdlem103  39102  fourierdlem104  39103  fourierdlem109  39108  fourierdlem111  39110  fourierswlem  39123  fouriersw  39124  elaa2lem  39126  etransclem23  39150  etransclem24  39151  etransclem28  39155  etransclem38  39165  smfmullem1  39676  lighneallem3  40062  nnsum4primeseven  40216  nnsum4primesevenALTV  40217  bgoldbtbndlem4  40224  bgoldbtbnd  40225  ccatpfx  40272  cusgrsize2inds  40669  clwlkclwwlklem2  41209  clwwlksel  41221  clwwlksf  41222  clwwisshclwws  41235  av-numclwlk1lem2fo  41525  av-numclwwlk2  41537  m1modmmod  42110  dignn0flhalflem1  42207