Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ccatcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ccatcl 13212
 Description: The concatenation of two words is a word. (Contributed by FL, 2-Feb-2014.) (Proof shortened by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Proof shortened by AV, 29-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
ccatcl ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐵)

Proof of Theorem ccatcl
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ccatfval 13211 . 2 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑆 ++ 𝑇) = (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)), (𝑆𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (#‘𝑆))))))
2 wrdf 13165 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ Word 𝐵𝑆:(0..^(#‘𝑆))⟶𝐵)
32ad2antrr 758 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) → 𝑆:(0..^(#‘𝑆))⟶𝐵)
43ffvelrnda 6267 . . . . 5 ((((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → (𝑆𝑥) ∈ 𝐵)
5 wrdf 13165 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ Word 𝐵𝑇:(0..^(#‘𝑇))⟶𝐵)
65ad3antlr 763 . . . . . 6 ((((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → 𝑇:(0..^(#‘𝑇))⟶𝐵)
7 simpr 476 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) → 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))))
87anim1i 590 . . . . . . 7 ((((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))))
9 lencl 13179 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (#‘𝑆) ∈ ℕ0)
109nn0zd 11356 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ Word 𝐵 → (#‘𝑆) ∈ ℤ)
11 lencl 13179 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ Word 𝐵 → (#‘𝑇) ∈ ℕ0)
1211nn0zd 11356 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ Word 𝐵 → (#‘𝑇) ∈ ℤ)
1310, 12anim12i 588 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → ((#‘𝑆) ∈ ℤ ∧ (#‘𝑇) ∈ ℤ))
1413ad2antrr 758 . . . . . . 7 ((((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → ((#‘𝑆) ∈ ℤ ∧ (#‘𝑇) ∈ ℤ))
15 fzocatel 12399 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) ∧ ((#‘𝑆) ∈ ℤ ∧ (#‘𝑇) ∈ ℤ)) → (𝑥 − (#‘𝑆)) ∈ (0..^(#‘𝑇)))
168, 14, 15syl2anc 691 . . . . . 6 ((((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → (𝑥 − (#‘𝑆)) ∈ (0..^(#‘𝑇)))
176, 16ffvelrnd 6268 . . . . 5 ((((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) ∧ ¬ 𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆))) → (𝑇‘(𝑥 − (#‘𝑆))) ∈ 𝐵)
184, 17ifclda 4070 . . . 4 (((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))) → if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)), (𝑆𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (#‘𝑆)))) ∈ 𝐵)
19 eqid 2610 . . . 4 (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)), (𝑆𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (#‘𝑆))))) = (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)), (𝑆𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (#‘𝑆)))))
2018, 19fmptd 6292 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)), (𝑆𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (#‘𝑆))))):(0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))⟶𝐵)
21 iswrdi 13164 . . 3 ((𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)), (𝑆𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (#‘𝑆))))):(0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇)))⟶𝐵 → (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)), (𝑆𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (#‘𝑆))))) ∈ Word 𝐵)
2220, 21syl 17 . 2 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑆) + (#‘𝑇))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑆)), (𝑆𝑥), (𝑇‘(𝑥 − (#‘𝑆))))) ∈ Word 𝐵)
231, 22eqeltrd 2688 1 ((𝑆 ∈ Word 𝐵𝑇 ∈ Word 𝐵) → (𝑆 ++ 𝑇) ∈ Word 𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   ∈ wcel 1977  ifcif 4036   ↦ cmpt 4643  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815   + caddc 9818   − cmin 10145  ℤcz 11254  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146   ++ cconcat 13148 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-concat 13156 This theorem is referenced by:  ccatsymb  13219  ccatass  13224  ccatalpha  13228  ccatws1cl  13249  ccatswrd  13308  swrdccat1  13309  swrdccat2  13310  swrdccatfn  13333  swrdccatin1  13334  swrdccatin2  13338  swrdccatin12lem2c  13339  swrdccatin12  13342  splcl  13354  spllen  13356  splfv1  13357  splfv2a  13358  splval2  13359  revccat  13366  cshwcl  13395  cats1cld  13451  cats1cli  13453  cats2cat  13458  gsumccat  17201  gsumspl  17204  gsumwspan  17206  frmdplusg  17214  frmdmnd  17219  frmdsssubm  17221  frmdup1  17224  psgnuni  17742  efginvrel2  17963  efgsp1  17973  efgredleme  17979  efgredlemc  17981  efgcpbllemb  17991  efgcpbl2  17993  frgpuplem  18008  frgpup1  18011  psgnghm  19745  wwlknext  26252  clwlkisclwwlk2  26318  clwwlkel  26321  wwlkext2clwwlk  26331  numclwwlkovf2ex  26613  numclwlk1lem2foa  26618  numclwlk1lem2fo  26622  sseqf  29781  ofcccat  29946  signstfvn  29972  signstfvp  29974  signstfvc  29977  signsvfn  29985  signsvtn  29987  signshf  29991  mrsubccat  30669  mrsubco  30672  ccatpfx  40272  pfxccat1  40273  pfxccatin12  40288  pfxccatpfx1  40290  pfxccatpfx2  40291  wwlksnext  41099  clwlkclwwlk2  41212  clwwlksel  41221  wwlksext2clwwlk  41231  av-numclwwlkovf2ex  41517  av-numclwlk1lem2foa  41521  av-numclwlk1lem2fo  41525
 Copyright terms: Public domain W3C validator