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Theorem av-numclwlk1lem2f1 41524
 Description: 𝑇 is a 1-1 function. (Contributed by AV, 26-Sep-2018.) (Revised by AV, 29-May-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
av-extwwlkfab.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
av-extwwlkfab.f 𝐹 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalkSN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})
av-extwwlkfab.c 𝐶 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalkSN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = (𝑤‘0))})
av-numclwwlk.t 𝑇 = (𝑤 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↦ ⟨(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (𝑤‘(𝑁 − 1))⟩)
Assertion
Ref Expression
av-numclwlk1lem2f1 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → 𝑇:(𝑋𝐶𝑁)–1-1→((𝑋𝐹(𝑁 − 2)) × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐺,𝑣,𝑤   𝑛,𝑁,𝑣,𝑤   𝑛,𝑉,𝑣,𝑤   𝑛,𝑋,𝑣,𝑤   𝑤,𝐹   𝑤,𝐶
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑣,𝑛)   𝑇(𝑤,𝑣,𝑛)   𝐹(𝑣,𝑛)

Proof of Theorem av-numclwlk1lem2f1
Dummy variables 𝑢 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 av-extwwlkfab.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 av-extwwlkfab.f . . 3 𝐹 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalkSN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})
3 av-extwwlkfab.c . . 3 𝐶 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalkSN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = (𝑤‘0))})
4 av-numclwwlk.t . . 3 𝑇 = (𝑤 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↦ ⟨(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (𝑤‘(𝑁 − 1))⟩)
51, 2, 3, 4av-numclwlk1lem2f 41522 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → 𝑇:(𝑋𝐶𝑁)⟶((𝑋𝐹(𝑁 − 2)) × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))
61, 2, 3, 4av-numclwlk1lem2fv 41523 . . . . . 6 (𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁) → (𝑇𝑝) = ⟨(𝑝 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (𝑝‘(𝑁 − 1))⟩)
76ad2antrl 760 . . . . 5 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ 𝑢 ∈ (𝑋𝐶𝑁))) → (𝑇𝑝) = ⟨(𝑝 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (𝑝‘(𝑁 − 1))⟩)
81, 2, 3, 4av-numclwlk1lem2fv 41523 . . . . . 6 (𝑢 ∈ (𝑋𝐶𝑁) → (𝑇𝑢) = ⟨(𝑢 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (𝑢‘(𝑁 − 1))⟩)
98ad2antll 761 . . . . 5 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ 𝑢 ∈ (𝑋𝐶𝑁))) → (𝑇𝑢) = ⟨(𝑢 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (𝑢‘(𝑁 − 1))⟩)
107, 9eqeq12d 2625 . . . 4 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ 𝑢 ∈ (𝑋𝐶𝑁))) → ((𝑇𝑝) = (𝑇𝑢) ↔ ⟨(𝑝 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (𝑝‘(𝑁 − 1))⟩ = ⟨(𝑢 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (𝑢‘(𝑁 − 1))⟩))
11 ovex 6577 . . . . . 6 (𝑝 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ V
12 fvex 6113 . . . . . 6 (𝑝‘(𝑁 − 1)) ∈ V
1311, 12opth 4871 . . . . 5 (⟨(𝑝 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (𝑝‘(𝑁 − 1))⟩ = ⟨(𝑢 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (𝑢‘(𝑁 − 1))⟩ ↔ ((𝑝 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = (𝑢 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑢‘(𝑁 − 1))))
14 uzuzle23 11605 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ (ℤ‘2))
153av-numclwwlkovgel 41519 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↔ (𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))))
1614, 15sylan2 490 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↔ (𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))))
171clwwlknbp 41193 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) → (𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁))
18173ad2ant1 1075 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0)) → (𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁))
19 3simpc 1053 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0)) → ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0)))
2018, 19jca 553 . . . . . . . . 9 ((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0)) → ((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))))
2116, 20syl6bi 242 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁) → ((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0)))))
22213adant1 1072 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁) → ((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0)))))
233av-numclwwlkovgel 41519 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑢 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↔ (𝑢 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∧ (𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0))))
2414, 23sylan2 490 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑢 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↔ (𝑢 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∧ (𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0))))
251clwwlknbp 41193 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) → (𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁))
26253ad2ant1 1075 . . . . . . . . . 10 ((𝑢 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∧ (𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0)) → (𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁))
27 3simpc 1053 . . . . . . . . . 10 ((𝑢 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∧ (𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0)) → ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0)))
2826, 27jca 553 . . . . . . . . 9 ((𝑢 ∈ (𝑁 ClWWalkSN 𝐺) ∧ (𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0)) → ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0))))
2924, 28syl6bi 242 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑢 ∈ (𝑋𝐶𝑁) → ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0)))))
30293adant1 1072 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑢 ∈ (𝑋𝐶𝑁) → ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0)))))
31 simpll 786 . . . . . . . . . . 11 (((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) → 𝑝 ∈ Word 𝑉)
3231ad2antrl 760 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) ∧ ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0))))) → 𝑝 ∈ Word 𝑉)
33 simprll 798 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) ∧ ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0)))) → 𝑢 ∈ Word 𝑉)
3433adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) ∧ ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0))))) → 𝑢 ∈ Word 𝑉)
35 eleq1 2676 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 = (#‘𝑝) → (𝑁 ∈ (ℤ‘3) ↔ (#‘𝑝) ∈ (ℤ‘3)))
3635eqcoms 2618 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((#‘𝑝) = 𝑁 → (𝑁 ∈ (ℤ‘3) ↔ (#‘𝑝) ∈ (ℤ‘3)))
37 eluz2 11569 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((#‘𝑝) ∈ (ℤ‘3) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ (#‘𝑝) ∈ ℤ ∧ 3 ≤ (#‘𝑝)))
38 1red 9934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((#‘𝑝) ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
39 3re 10971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3 ∈ ℝ
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((#‘𝑝) ∈ ℤ → 3 ∈ ℝ)
41 zre 11258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((#‘𝑝) ∈ ℤ → (#‘𝑝) ∈ ℝ)
4238, 40, 413jca 1235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((#‘𝑝) ∈ ℤ → (1 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ (#‘𝑝) ∈ ℝ))
43 1lt3 11073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 < 3
44 ltletr 10008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((1 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ (#‘𝑝) ∈ ℝ) → ((1 < 3 ∧ 3 ≤ (#‘𝑝)) → 1 < (#‘𝑝)))
4544expd 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((1 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ (#‘𝑝) ∈ ℝ) → (1 < 3 → (3 ≤ (#‘𝑝) → 1 < (#‘𝑝))))
4642, 43, 45mpisyl 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((#‘𝑝) ∈ ℤ → (3 ≤ (#‘𝑝) → 1 < (#‘𝑝)))
4746imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((#‘𝑝) ∈ ℤ ∧ 3 ≤ (#‘𝑝)) → 1 < (#‘𝑝))
48473adant1 1072 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((3 ∈ ℤ ∧ (#‘𝑝) ∈ ℤ ∧ 3 ≤ (#‘𝑝)) → 1 < (#‘𝑝))
4937, 48sylbi 206 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((#‘𝑝) ∈ (ℤ‘3) → 1 < (#‘𝑝))
5036, 49syl6bi 242 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((#‘𝑝) = 𝑁 → (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 1 < (#‘𝑝)))
5150com12 32 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → ((#‘𝑝) = 𝑁 → 1 < (#‘𝑝)))
52513ad2ant3 1077 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((#‘𝑝) = 𝑁 → 1 < (#‘𝑝)))
5352com12 32 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘𝑝) = 𝑁 → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → 1 < (#‘𝑝)))
5453ad3antlr 763 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) ∧ ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0)))) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → 1 < (#‘𝑝)))
5554impcom 445 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) ∧ ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0))))) → 1 < (#‘𝑝))
56 2swrd2eqwrdeq 13544 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 ∈ Word 𝑉𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (#‘𝑝)) → (𝑝 = 𝑢 ↔ ((#‘𝑝) = (#‘𝑢) ∧ ((𝑝 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) = (𝑢 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) ∧ (𝑝‘((#‘𝑝) − 2)) = (𝑢‘((#‘𝑝) − 2)) ∧ ( lastS ‘𝑝) = ( lastS ‘𝑢)))))
5732, 34, 55, 56syl3anc 1318 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) ∧ ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0))))) → (𝑝 = 𝑢 ↔ ((#‘𝑝) = (#‘𝑢) ∧ ((𝑝 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) = (𝑢 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) ∧ (𝑝‘((#‘𝑝) − 2)) = (𝑢‘((#‘𝑝) − 2)) ∧ ( lastS ‘𝑝) = ( lastS ‘𝑢)))))
58 eqtr3 2631 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((#‘𝑝) = 𝑁 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) → (#‘𝑝) = (#‘𝑢))
5958expcom 450 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((#‘𝑢) = 𝑁 → ((#‘𝑝) = 𝑁 → (#‘𝑝) = (#‘𝑢)))
6059ad2antlr 759 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0))) → ((#‘𝑝) = 𝑁 → (#‘𝑝) = (#‘𝑢)))
6160com12 32 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘𝑝) = 𝑁 → (((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0))) → (#‘𝑝) = (#‘𝑢)))
6261ad2antlr 759 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) → (((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0))) → (#‘𝑝) = (#‘𝑢)))
6362imp 444 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) ∧ ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0)))) → (#‘𝑝) = (#‘𝑢))
6463adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) ∧ ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0))))) → (#‘𝑝) = (#‘𝑢))
6564biantrurd 528 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) ∧ ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0))))) → (((𝑝 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) = (𝑢 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) ∧ (𝑝‘((#‘𝑝) − 2)) = (𝑢‘((#‘𝑝) − 2)) ∧ ( lastS ‘𝑝) = ( lastS ‘𝑢)) ↔ ((#‘𝑝) = (#‘𝑢) ∧ ((𝑝 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) = (𝑢 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) ∧ (𝑝‘((#‘𝑝) − 2)) = (𝑢‘((#‘𝑝) − 2)) ∧ ( lastS ‘𝑝) = ( lastS ‘𝑢)))))
66 3anan12 1044 . . . . . . . . . . 11 (((𝑝 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) = (𝑢 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) ∧ (𝑝‘((#‘𝑝) − 2)) = (𝑢‘((#‘𝑝) − 2)) ∧ ( lastS ‘𝑝) = ( lastS ‘𝑢)) ↔ ((𝑝‘((#‘𝑝) − 2)) = (𝑢‘((#‘𝑝) − 2)) ∧ ((𝑝 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) = (𝑢 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) ∧ ( lastS ‘𝑝) = ( lastS ‘𝑢))))
6766a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) ∧ ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0))))) → (((𝑝 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) = (𝑢 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) ∧ (𝑝‘((#‘𝑝) − 2)) = (𝑢‘((#‘𝑝) − 2)) ∧ ( lastS ‘𝑝) = ( lastS ‘𝑢)) ↔ ((𝑝‘((#‘𝑝) − 2)) = (𝑢‘((#‘𝑝) − 2)) ∧ ((𝑝 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) = (𝑢 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) ∧ ( lastS ‘𝑝) = ( lastS ‘𝑢)))))
68 eqeq2 2621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑝‘0) = 𝑋 → ((𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0) ↔ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))
69 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 = (#‘𝑝) → (𝑁 − 2) = ((#‘𝑝) − 2))
7069eqcoms 2618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((#‘𝑝) = 𝑁 → (𝑁 − 2) = ((#‘𝑝) − 2))
7170fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((#‘𝑝) = 𝑁 → (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘((#‘𝑝) − 2)))
7271eqeq1d 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((#‘𝑝) = 𝑁 → ((𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋 ↔ (𝑝‘((#‘𝑝) − 2)) = 𝑋))
7372biimpcd 238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋 → ((#‘𝑝) = 𝑁 → (𝑝‘((#‘𝑝) − 2)) = 𝑋))
7468, 73syl6bi 242 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑝‘0) = 𝑋 → ((𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0) → ((#‘𝑝) = 𝑁 → (𝑝‘((#‘𝑝) − 2)) = 𝑋)))
7574imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0)) → ((#‘𝑝) = 𝑁 → (𝑝‘((#‘𝑝) − 2)) = 𝑋))
7675com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((#‘𝑝) = 𝑁 → (((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0)) → (𝑝‘((#‘𝑝) − 2)) = 𝑋))
7776adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) → (((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0)) → (𝑝‘((#‘𝑝) − 2)) = 𝑋))
7877imp 444 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) → (𝑝‘((#‘𝑝) − 2)) = 𝑋)
7978adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) ∧ ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0)))) → (𝑝‘((#‘𝑝) − 2)) = 𝑋)
80 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((#‘𝑝) = 𝑁 → ((#‘𝑝) − 2) = (𝑁 − 2))
8180fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((#‘𝑝) = 𝑁 → (𝑢‘((#‘𝑝) − 2)) = (𝑢‘(𝑁 − 2)))
82 eqeq1 2614 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑢‘0) = (𝑢‘(𝑁 − 2)) → ((𝑢‘0) = 𝑋 ↔ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))
8382eqcoms 2618 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0) → ((𝑢‘0) = 𝑋 ↔ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))
8483biimpac 502 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0)) → (𝑢‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)
8584adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0))) → (𝑢‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)
8681, 85sylan9eq 2664 . . . . . . . . . . . . . 14 (((#‘𝑝) = 𝑁 ∧ ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0)))) → (𝑢‘((#‘𝑝) − 2)) = 𝑋)
8786ad4ant24 1290 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) ∧ ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0)))) → (𝑢‘((#‘𝑝) − 2)) = 𝑋)
8879, 87eqtr4d 2647 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) ∧ ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0)))) → (𝑝‘((#‘𝑝) − 2)) = (𝑢‘((#‘𝑝) − 2)))
8988adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) ∧ ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0))))) → (𝑝‘((#‘𝑝) − 2)) = (𝑢‘((#‘𝑝) − 2)))
9089biantrurd 528 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) ∧ ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0))))) → (((𝑝 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) = (𝑢 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) ∧ ( lastS ‘𝑝) = ( lastS ‘𝑢)) ↔ ((𝑝‘((#‘𝑝) − 2)) = (𝑢‘((#‘𝑝) − 2)) ∧ ((𝑝 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) = (𝑢 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) ∧ ( lastS ‘𝑝) = ( lastS ‘𝑢)))))
9180opeq2d 4347 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((#‘𝑝) = 𝑁 → ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩ = ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)
9291oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . 14 ((#‘𝑝) = 𝑁 → (𝑝 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) = (𝑝 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩))
9391oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . 14 ((#‘𝑝) = 𝑁 → (𝑢 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) = (𝑢 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩))
9492, 93eqeq12d 2625 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘𝑝) = 𝑁 → ((𝑝 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) = (𝑢 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) ↔ (𝑝 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = (𝑢 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)))
9594ad3antlr 763 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) ∧ ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0)))) → ((𝑝 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) = (𝑢 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) ↔ (𝑝 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = (𝑢 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)))
9695adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) ∧ ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0))))) → ((𝑝 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) = (𝑢 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) ↔ (𝑝 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = (𝑢 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)))
97 lsw 13204 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝 ∈ Word 𝑉 → ( lastS ‘𝑝) = (𝑝‘((#‘𝑝) − 1)))
98 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((#‘𝑝) = 𝑁 → ((#‘𝑝) − 1) = (𝑁 − 1))
9998fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((#‘𝑝) = 𝑁 → (𝑝‘((#‘𝑝) − 1)) = (𝑝‘(𝑁 − 1)))
10097, 99sylan9eq 2664 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) → ( lastS ‘𝑝) = (𝑝‘(𝑁 − 1)))
101100adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) → ( lastS ‘𝑝) = (𝑝‘(𝑁 − 1)))
102 lsw 13204 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑢 ∈ Word 𝑉 → ( lastS ‘𝑢) = (𝑢‘((#‘𝑢) − 1)))
103102adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) → ( lastS ‘𝑢) = (𝑢‘((#‘𝑢) − 1)))
104 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 = (#‘𝑢) → (𝑁 − 1) = ((#‘𝑢) − 1))
105104eqcoms 2618 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((#‘𝑢) = 𝑁 → (𝑁 − 1) = ((#‘𝑢) − 1))
106105fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((#‘𝑢) = 𝑁 → (𝑢‘(𝑁 − 1)) = (𝑢‘((#‘𝑢) − 1)))
107106eqeq2d 2620 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((#‘𝑢) = 𝑁 → (( lastS ‘𝑢) = (𝑢‘(𝑁 − 1)) ↔ ( lastS ‘𝑢) = (𝑢‘((#‘𝑢) − 1))))
108107adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) → (( lastS ‘𝑢) = (𝑢‘(𝑁 − 1)) ↔ ( lastS ‘𝑢) = (𝑢‘((#‘𝑢) − 1))))
109103, 108mpbird 246 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) → ( lastS ‘𝑢) = (𝑢‘(𝑁 − 1)))
110109adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0))) → ( lastS ‘𝑢) = (𝑢‘(𝑁 − 1)))
111101, 110eqeqan12d 2626 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) ∧ ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0)))) → (( lastS ‘𝑝) = ( lastS ‘𝑢) ↔ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑢‘(𝑁 − 1))))
112111adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) ∧ ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0))))) → (( lastS ‘𝑝) = ( lastS ‘𝑢) ↔ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑢‘(𝑁 − 1))))
11396, 112anbi12d 743 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) ∧ ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0))))) → (((𝑝 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) = (𝑢 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) ∧ ( lastS ‘𝑝) = ( lastS ‘𝑢)) ↔ ((𝑝 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = (𝑢 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑢‘(𝑁 − 1)))))
11467, 90, 1133bitr2d 295 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) ∧ ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0))))) → (((𝑝 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) = (𝑢 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) ∧ (𝑝‘((#‘𝑝) − 2)) = (𝑢‘((#‘𝑝) − 2)) ∧ ( lastS ‘𝑝) = ( lastS ‘𝑢)) ↔ ((𝑝 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = (𝑢 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑢‘(𝑁 − 1)))))
11557, 65, 1143bitr2d 295 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) ∧ ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0))))) → (𝑝 = 𝑢 ↔ ((𝑝 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = (𝑢 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑢‘(𝑁 − 1)))))
116115exbiri 650 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) ∧ ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0)))) → (((𝑝 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = (𝑢 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑢‘(𝑁 − 1))) → 𝑝 = 𝑢)))
11722, 30, 116syl2and 499 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ 𝑢 ∈ (𝑋𝐶𝑁)) → (((𝑝 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = (𝑢 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑢‘(𝑁 − 1))) → 𝑝 = 𝑢)))
118117imp 444 . . . . 5 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ 𝑢 ∈ (𝑋𝐶𝑁))) → (((𝑝 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = (𝑢 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑢‘(𝑁 − 1))) → 𝑝 = 𝑢))
11913, 118syl5bi 231 . . . 4 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ 𝑢 ∈ (𝑋𝐶𝑁))) → (⟨(𝑝 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (𝑝‘(𝑁 − 1))⟩ = ⟨(𝑢 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (𝑢‘(𝑁 − 1))⟩ → 𝑝 = 𝑢))
12010, 119sylbid 229 . . 3 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ 𝑢 ∈ (𝑋𝐶𝑁))) → ((𝑇𝑝) = (𝑇𝑢) → 𝑝 = 𝑢))
121120ralrimivva 2954 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ∀𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁)∀𝑢 ∈ (𝑋𝐶𝑁)((𝑇𝑝) = (𝑇𝑢) → 𝑝 = 𝑢))
122 dff13 6416 . 2 (𝑇:(𝑋𝐶𝑁)–1-1→((𝑋𝐹(𝑁 − 2)) × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) ↔ (𝑇:(𝑋𝐶𝑁)⟶((𝑋𝐹(𝑁 − 2)) × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) ∧ ∀𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁)∀𝑢 ∈ (𝑋𝐶𝑁)((𝑇𝑝) = (𝑇𝑢) → 𝑝 = 𝑢)))
1235, 121, 122sylanbrc 695 1 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → 𝑇:(𝑋𝐶𝑁)–1-1→((𝑋𝐹(𝑁 − 2)) × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  {crab 2900  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643   × cxp 5036  ⟶wf 5800  –1-1→wf1 5801  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↦ cmpt2 6551  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145  ℕcn 10897  2c2 10947  3c3 10948  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563  #chash 12979  Word cword 13146   lastS clsw 13147   substr csubstr 13150  Vtxcvtx 25673   USGraph cusgr 40379   NeighbVtx cnbgr 40550   ClWWalkSN cclwwlksn 41184 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-lsw 13155  df-concat 13156  df-s1 13157  df-substr 13158  df-s2 13444  df-upgr 25749  df-umgr 25750  df-edga 25793  df-usgr 40381  df-nbgr 40554  df-clwwlks 41185  df-clwwlksn 41186 This theorem is referenced by:  av-numclwlk1lem2f1o  41526
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