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Theorem nn0prpwlem 31487
Description: Lemma for nn0prpw 31488. Use strong induction to show that every positive integer has unique prime power divisors. (Contributed by Jeff Hankins, 28-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
nn0prpwlem (𝐴 ∈ ℕ → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝐴 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐴)))
Distinct variable group:   𝑘,𝑛,𝑝,𝐴

Proof of Theorem nn0prpwlem
Dummy variables 𝑚 𝑞 𝑟 𝑡 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4587 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (𝑘 < 𝑥𝑘 < 𝐴))
2 breq2 4587 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑝𝑛) ∥ 𝑥 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐴))
32bibi2d 331 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥) ↔ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐴)))
43notbid 307 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥) ↔ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐴)))
542rexbidv 3039 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐴)))
61, 5imbi12d 333 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑘 < 𝑥 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥)) ↔ (𝑘 < 𝐴 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐴))))
76ralbidv 2969 . 2 (𝑥 = 𝐴 → (∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑥 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥)) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝐴 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐴))))
8 breq2 4587 . . . . 5 (𝑥 = 1 → (𝑘 < 𝑥𝑘 < 1))
9 breq2 4587 . . . . . . . 8 (𝑥 = 1 → ((𝑝𝑛) ∥ 𝑥 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 1))
109bibi2d 331 . . . . . . 7 (𝑥 = 1 → (((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥) ↔ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 1)))
1110notbid 307 . . . . . 6 (𝑥 = 1 → (¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥) ↔ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 1)))
12112rexbidv 3039 . . . . 5 (𝑥 = 1 → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 1)))
138, 12imbi12d 333 . . . 4 (𝑥 = 1 → ((𝑘 < 𝑥 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥)) ↔ (𝑘 < 1 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 1))))
1413ralbidv 2969 . . 3 (𝑥 = 1 → (∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑥 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥)) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 1 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 1))))
15 breq2 4587 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝑘 < 𝑥𝑘 < 𝑦))
16 breq2 4587 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑝𝑛) ∥ 𝑥 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦))
1716bibi2d 331 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥) ↔ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦)))
1817notbid 307 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥) ↔ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦)))
19182rexbidv 3039 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦)))
2015, 19imbi12d 333 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑘 < 𝑥 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥)) ↔ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦))))
2120ralbidv 2969 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑥 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥)) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦))))
22 nnnlt1 10927 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → ¬ 𝑘 < 1)
2322pm2.21d 117 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → (𝑘 < 1 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 1)))
2423rgen 2906 . . 3 𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 1 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 1))
25 exprmfct 15254 . . . 4 (𝑥 ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑞𝑥)
26 prmz 15227 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℤ)
2726adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → 𝑞 ∈ ℤ)
28 prmnn 15226 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℕ)
2928nnne0d 10942 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ≠ 0)
3029adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → 𝑞 ≠ 0)
31 nnz 11276 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 ∈ ℕ → 𝑡 ∈ ℤ)
3231adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → 𝑡 ∈ ℤ)
33 dvdsval2 14824 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ≠ 0 ∧ 𝑡 ∈ ℤ) → (𝑞𝑡 ↔ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℤ))
3427, 30, 32, 33syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → (𝑞𝑡 ↔ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℤ))
3534biimpd 218 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → (𝑞𝑡 → (𝑡 / 𝑞) ∈ ℤ))
36353ad2antl2 1217 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → (𝑞𝑡 → (𝑡 / 𝑞) ∈ ℤ))
3736adantrl 748 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) ∧ (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦))) ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → (𝑞𝑡 → (𝑡 / 𝑞) ∈ ℤ))
38 simprr 792 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) ∧ (𝑡 ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℤ)) → (𝑡 / 𝑞) ∈ ℤ)
39 nnre 10904 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑡 ∈ ℕ → 𝑡 ∈ ℝ)
40 nngt0 10926 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑡 ∈ ℕ → 0 < 𝑡)
4139, 40jca 553 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑡 ∈ ℕ → (𝑡 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑡))
42 nnre 10904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑞 ∈ ℕ → 𝑞 ∈ ℝ)
43 nngt0 10926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑞 ∈ ℕ → 0 < 𝑞)
4442, 43jca 553 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑞 ∈ ℕ → (𝑞 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑞))
4528, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑞 ∈ ℙ → (𝑞 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑞))
46 divgt0 10770 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑡 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑡) ∧ (𝑞 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑞)) → 0 < (𝑡 / 𝑞))
4741, 45, 46syl2anr 494 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → 0 < (𝑡 / 𝑞))
48473ad2antl2 1217 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → 0 < (𝑡 / 𝑞))
4948adantrr 749 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) ∧ (𝑡 ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℤ)) → 0 < (𝑡 / 𝑞))
50 elnnz 11264 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ↔ ((𝑡 / 𝑞) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝑡 / 𝑞)))
5138, 49, 50sylanbrc 695 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) ∧ (𝑡 ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℤ)) → (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ)
5251expr 641 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → ((𝑡 / 𝑞) ∈ ℤ → (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ))
5352adantrl 748 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) ∧ (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦))) ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → ((𝑡 / 𝑞) ∈ ℤ → (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ))
5426adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑞 ∈ ℤ)
5529adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑞 ≠ 0)
56 eluzelz 11573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ (ℤ‘2) → 𝑥 ∈ ℤ)
5756adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑥 ∈ ℤ)
58 dvdsval2 14824 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑞𝑥 ↔ (𝑥 / 𝑞) ∈ ℤ))
5954, 55, 57, 58syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑞𝑥 ↔ (𝑥 / 𝑞) ∈ ℤ))
60 eluzelre 11574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ (ℤ‘2) → 𝑥 ∈ ℝ)
61 2z 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2 ∈ ℤ
6261eluz1i 11571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑥))
63 2pos 10989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 0 < 2
64 zre 11258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℝ)
65 0re 9919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 0 ∈ ℝ
66 2re 10967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2 ∈ ℝ
67 ltletr 10008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((0 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((0 < 2 ∧ 2 ≤ 𝑥) → 0 < 𝑥))
6865, 66, 67mp3an12 1406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 ∈ ℝ → ((0 < 2 ∧ 2 ≤ 𝑥) → 0 < 𝑥))
6964, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 ∈ ℤ → ((0 < 2 ∧ 2 ≤ 𝑥) → 0 < 𝑥))
7063, 69mpani 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 ∈ ℤ → (2 ≤ 𝑥 → 0 < 𝑥))
7170imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑥) → 0 < 𝑥)
7262, 71sylbi 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ (ℤ‘2) → 0 < 𝑥)
7360, 72jca 553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ (ℤ‘2) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥))
74 divgt0 10770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥) ∧ (𝑞 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑞)) → 0 < (𝑥 / 𝑞))
7573, 45, 74syl2anr 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) → 0 < (𝑥 / 𝑞))
7675a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℤ → 0 < (𝑥 / 𝑞)))
7776ancld 574 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℤ → ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝑥 / 𝑞))))
78 elnnz 11264 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ↔ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝑥 / 𝑞)))
7977, 78syl6ibr 241 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℤ → (𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ))
8059, 79sylbid 229 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑞𝑥 → (𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ))
8180ancoms 468 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑞𝑥 → (𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ))
82 breq1 4586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = (𝑥 / 𝑞) → (𝑦 < 𝑥 ↔ (𝑥 / 𝑞) < 𝑥))
83 breq2 4587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 = (𝑥 / 𝑞) → (𝑘 < 𝑦𝑘 < (𝑥 / 𝑞)))
84 breq2 4587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦 = (𝑥 / 𝑞) → ((𝑝𝑛) ∥ 𝑦 ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))
8584bibi2d 331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦 = (𝑥 / 𝑞) → (((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦) ↔ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))))
8685notbid 307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 = (𝑥 / 𝑞) → (¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦) ↔ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))))
87862rexbidv 3039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 = (𝑥 / 𝑞) → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))))
8883, 87imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 = (𝑥 / 𝑞) → ((𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦)) ↔ (𝑘 < (𝑥 / 𝑞) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))))
8988ralbidv 2969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = (𝑥 / 𝑞) → (∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦)) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < (𝑥 / 𝑞) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))))
9082, 89imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = (𝑥 / 𝑞) → ((𝑦 < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦))) ↔ ((𝑥 / 𝑞) < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < (𝑥 / 𝑞) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))))))
9190rspcv 3278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦))) → ((𝑥 / 𝑞) < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < (𝑥 / 𝑞) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))))))
92913ad2ant1 1075 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦))) → ((𝑥 / 𝑞) < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < (𝑥 / 𝑞) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))))))
9392adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦))) → ((𝑥 / 𝑞) < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < (𝑥 / 𝑞) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))))))
94 eluzelcn 11575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ (ℤ‘2) → 𝑥 ∈ ℂ)
9594mulid2d 9937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ (ℤ‘2) → (1 · 𝑥) = 𝑥)
9695ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → (1 · 𝑥) = 𝑥)
97 prmgt1 15247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑞 ∈ ℙ → 1 < 𝑞)
9897ad2antlr 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → 1 < 𝑞)
99 1red 9934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → 1 ∈ ℝ)
10028nnred 10912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℝ)
101100ad2antlr 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → 𝑞 ∈ ℝ)
10260ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → 𝑥 ∈ ℝ)
10372ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → 0 < 𝑥)
104 ltmul1 10752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑞 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑥)) → (1 < 𝑞 ↔ (1 · 𝑥) < (𝑞 · 𝑥)))
10599, 101, 102, 103, 104syl112anc 1322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → (1 < 𝑞 ↔ (1 · 𝑥) < (𝑞 · 𝑥)))
10698, 105mpbid 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → (1 · 𝑥) < (𝑞 · 𝑥))
10796, 106eqbrtrrd 4607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → 𝑥 < (𝑞 · 𝑥))
10828, 43syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑞 ∈ ℙ → 0 < 𝑞)
109108ad2antlr 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → 0 < 𝑞)
110 ltdivmul 10777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑞)) → ((𝑥 / 𝑞) < 𝑥𝑥 < (𝑞 · 𝑥)))
111102, 102, 101, 109, 110syl112anc 1322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → ((𝑥 / 𝑞) < 𝑥𝑥 < (𝑞 · 𝑥)))
112107, 111mpbird 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → (𝑥 / 𝑞) < 𝑥)
113 breq1 4586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘 = (𝑡 / 𝑞) → (𝑘 < (𝑥 / 𝑞) ↔ (𝑡 / 𝑞) < (𝑥 / 𝑞)))
114 breq2 4587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑘 = (𝑡 / 𝑞) → ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞)))
115114bibi1d 332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑘 = (𝑡 / 𝑞) → (((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)) ↔ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))))
116115notbid 307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑘 = (𝑡 / 𝑞) → (¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)) ↔ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))))
1171162rexbidv 3039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘 = (𝑡 / 𝑞) → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))))
118113, 117imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 = (𝑡 / 𝑞) → ((𝑘 < (𝑥 / 𝑞) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))) ↔ ((𝑡 / 𝑞) < (𝑥 / 𝑞) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))))
119118rspcv 3278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ → (∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < (𝑥 / 𝑞) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))) → ((𝑡 / 𝑞) < (𝑥 / 𝑞) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))))
1201193ad2ant2 1076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < (𝑥 / 𝑞) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))) → ((𝑡 / 𝑞) < (𝑥 / 𝑞) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))))
121120adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → (∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < (𝑥 / 𝑞) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))) → ((𝑡 / 𝑞) < (𝑥 / 𝑞) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))))
122393ad2ant3 1077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → 𝑡 ∈ ℝ)
123122adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → 𝑡 ∈ ℝ)
124 ltdiv1 10766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑞 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑞)) → (𝑡 < 𝑥 ↔ (𝑡 / 𝑞) < (𝑥 / 𝑞)))
125123, 102, 101, 109, 124syl112anc 1322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → (𝑡 < 𝑥 ↔ (𝑡 / 𝑞) < (𝑥 / 𝑞)))
126125biimpa 500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) → (𝑡 / 𝑞) < (𝑥 / 𝑞))
127 simprll 798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))) → 𝑝 ∈ ℙ)
128 peano2nn 10909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
129128adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
130129ad2antrl 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ ((𝑞𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑞𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
13126ad4antlr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝑞 ∈ ℤ)
132 nnnn0 11176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
133132ad2antll 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
134 zexpcl 12737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑞𝑛) ∈ ℤ)
135131, 133, 134syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝑞𝑛) ∈ ℤ)
136 nnz 11276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ → (𝑡 / 𝑞) ∈ ℤ)
1371363ad2ant2 1076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → (𝑡 / 𝑞) ∈ ℤ)
138137ad3antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝑡 / 𝑞) ∈ ℤ)
13929ad4antlr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝑞 ≠ 0)
140 dvdsmulcr 14849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝑞𝑛) ∈ ℤ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℤ ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ≠ 0)) → (((𝑞𝑛) · 𝑞) ∥ ((𝑡 / 𝑞) · 𝑞) ↔ (𝑞𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞)))
141135, 138, 131, 139, 140syl112anc 1322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (((𝑞𝑛) · 𝑞) ∥ ((𝑡 / 𝑞) · 𝑞) ↔ (𝑞𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞)))
14228nncnd 10913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℂ)
143142ad4antlr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝑞 ∈ ℂ)
144143, 133expp1d 12871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝑞↑(𝑛 + 1)) = ((𝑞𝑛) · 𝑞))
145144eqcomd 2616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝑞𝑛) · 𝑞) = (𝑞↑(𝑛 + 1)))
146 nncn 10905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑡 ∈ ℕ → 𝑡 ∈ ℂ)
1471463ad2ant3 1077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → 𝑡 ∈ ℂ)
148147ad3antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝑡 ∈ ℂ)
149148, 143, 139divcan1d 10681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝑡 / 𝑞) · 𝑞) = 𝑡)
150145, 149breq12d 4596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (((𝑞𝑛) · 𝑞) ∥ ((𝑡 / 𝑞) · 𝑞) ↔ (𝑞↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝑡))
151141, 150bitr3d 269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝑞𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑞↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝑡))
152 nnz 11276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ → (𝑥 / 𝑞) ∈ ℤ)
1531523ad2ant1 1075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → (𝑥 / 𝑞) ∈ ℤ)
154153ad3antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝑥 / 𝑞) ∈ ℤ)
155 dvdsmulcr 14849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝑞𝑛) ∈ ℤ ∧ (𝑥 / 𝑞) ∈ ℤ ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ≠ 0)) → (((𝑞𝑛) · 𝑞) ∥ ((𝑥 / 𝑞) · 𝑞) ↔ (𝑞𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))
156135, 154, 131, 139, 155syl112anc 1322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (((𝑞𝑛) · 𝑞) ∥ ((𝑥 / 𝑞) · 𝑞) ↔ (𝑞𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))
15794ad4antr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝑥 ∈ ℂ)
158157, 143, 139divcan1d 10681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝑥 / 𝑞) · 𝑞) = 𝑥)
159145, 158breq12d 4596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (((𝑞𝑛) · 𝑞) ∥ ((𝑥 / 𝑞) · 𝑞) ↔ (𝑞↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝑥))
160156, 159bitr3d 269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝑞𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞) ↔ (𝑞↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝑥))
161151, 160bibi12d 334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (((𝑞𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑞𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)) ↔ ((𝑞↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝑥)))
162161notbid 307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (¬ ((𝑞𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑞𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)) ↔ ¬ ((𝑞↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝑥)))
163162biimpd 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (¬ ((𝑞𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑞𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)) → ¬ ((𝑞↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝑥)))
164163impr 647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ ((𝑞𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑞𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))) → ¬ ((𝑞↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝑥))
165 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (𝑞𝑚) = (𝑞↑(𝑛 + 1)))
166165breq1d 4593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑚 = (𝑛 + 1) → ((𝑞𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝑡))
167165breq1d 4593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑚 = (𝑛 + 1) → ((𝑞𝑚) ∥ 𝑥 ↔ (𝑞↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝑥))
168166, 167bibi12d 334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (((𝑞𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ((𝑞↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝑥)))
169168notbid 307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (¬ ((𝑞𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ¬ ((𝑞↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝑥)))
170169rspcev 3282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑛 + 1) ∈ ℕ ∧ ¬ ((𝑞↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞↑(𝑛 + 1)) ∥ 𝑥)) → ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑞𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞𝑚) ∥ 𝑥))
171130, 164, 170syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ ((𝑞𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑞𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))) → ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑞𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞𝑚) ∥ 𝑥))
172 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑝 = 𝑞 → (𝑝𝑛) = (𝑞𝑛))
173172breq1d 4593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑝 = 𝑞 → ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑞𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞)))
174172breq1d 4593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑝 = 𝑞 → ((𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞) ↔ (𝑞𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))
175173, 174bibi12d 334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑝 = 𝑞 → (((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)) ↔ ((𝑞𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑞𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))))
176175notbid 307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑝 = 𝑞 → (¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)) ↔ ¬ ((𝑞𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑞𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))))
177176anbi2d 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑝 = 𝑞 → (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))) ↔ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ ((𝑞𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑞𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))))
178177anbi2d 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑝 = 𝑞 → (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))) ↔ ((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ ((𝑞𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑞𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))))))
179 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑝 = 𝑞 → (𝑝𝑚) = (𝑞𝑚))
180179breq1d 4593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑝 = 𝑞 → ((𝑝𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞𝑚) ∥ 𝑡))
181179breq1d 4593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑝 = 𝑞 → ((𝑝𝑚) ∥ 𝑥 ↔ (𝑞𝑚) ∥ 𝑥))
182180, 181bibi12d 334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑝 = 𝑞 → (((𝑝𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ((𝑞𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞𝑚) ∥ 𝑥)))
183182notbid 307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑝 = 𝑞 → (¬ ((𝑝𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ¬ ((𝑞𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞𝑚) ∥ 𝑥)))
184183rexbidv 3034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑝 = 𝑞 → (∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑞𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞𝑚) ∥ 𝑥)))
185178, 184imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑝 = 𝑞 → ((((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))) → ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑚) ∥ 𝑥)) ↔ (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ ((𝑞𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑞𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))) → ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑞𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞𝑚) ∥ 𝑥))))
186171, 185mpbiri 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑝 = 𝑞 → (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))) → ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑚) ∥ 𝑥)))
187186com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))) → (𝑝 = 𝑞 → ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑚) ∥ 𝑥)))
188 simplr 788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞) → 𝑛 ∈ ℕ)
189188ad2antlr 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) ∧ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))) → 𝑛 ∈ ℕ)
190 prmz 15227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
191190adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑝 ∈ ℤ)
192191ad2antrl 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → 𝑝 ∈ ℤ)
193132adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ0)
194193ad2antrl 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
195 zexpcl 12737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑝𝑛) ∈ ℤ)
196192, 194, 195syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → (𝑝𝑛) ∈ ℤ)
19726ad4antlr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → 𝑞 ∈ ℤ)
198137ad3antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → (𝑡 / 𝑞) ∈ ℤ)
199 dvdsmultr2 14859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝑝𝑛) ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℤ) → ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) → (𝑝𝑛) ∥ (𝑞 · (𝑡 / 𝑞))))
200196, 197, 198, 199syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) → (𝑝𝑛) ∥ (𝑞 · (𝑡 / 𝑞))))
201 gcdcom 15073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((𝑝𝑛) ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → ((𝑝𝑛) gcd 𝑞) = (𝑞 gcd (𝑝𝑛)))
202196, 197, 201syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → ((𝑝𝑛) gcd 𝑞) = (𝑞 gcd (𝑝𝑛)))
203 simp-4r 803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝑞 ∈ ℙ)
204 simprl 790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝑝 ∈ ℙ)
205 simprr 792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝑛 ∈ ℕ)
206 prmdvdsexpb 15266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑞 ∥ (𝑝𝑛) ↔ 𝑞 = 𝑝))
207 equcom 1932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (𝑞 = 𝑝𝑝 = 𝑞)
208206, 207syl6bb 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑞 ∥ (𝑝𝑛) ↔ 𝑝 = 𝑞))
209208biimpd 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑞 ∥ (𝑝𝑛) → 𝑝 = 𝑞))
210203, 204, 205, 209syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝑞 ∥ (𝑝𝑛) → 𝑝 = 𝑞))
211210con3d 147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (¬ 𝑝 = 𝑞 → ¬ 𝑞 ∥ (𝑝𝑛)))
212211impr 647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → ¬ 𝑞 ∥ (𝑝𝑛))
213 simp-4r 803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → 𝑞 ∈ ℙ)
214 coprm 15261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ (𝑝𝑛) ∈ ℤ) → (¬ 𝑞 ∥ (𝑝𝑛) ↔ (𝑞 gcd (𝑝𝑛)) = 1))
215213, 196, 214syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → (¬ 𝑞 ∥ (𝑝𝑛) ↔ (𝑞 gcd (𝑝𝑛)) = 1))
216212, 215mpbid 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → (𝑞 gcd (𝑝𝑛)) = 1)
217202, 216eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → ((𝑝𝑛) gcd 𝑞) = 1)
218 coprmdvds 15204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝑝𝑛) ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℤ) → (((𝑝𝑛) ∥ (𝑞 · (𝑡 / 𝑞)) ∧ ((𝑝𝑛) gcd 𝑞) = 1) → (𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞)))
219196, 197, 198, 218syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → (((𝑝𝑛) ∥ (𝑞 · (𝑡 / 𝑞)) ∧ ((𝑝𝑛) gcd 𝑞) = 1) → (𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞)))
220217, 219mpan2d 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → ((𝑝𝑛) ∥ (𝑞 · (𝑡 / 𝑞)) → (𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞)))
221200, 220impbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑞 · (𝑡 / 𝑞))))
222147ad3antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → 𝑡 ∈ ℂ)
223142ad4antlr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → 𝑞 ∈ ℂ)
22429ad4antlr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → 𝑞 ≠ 0)
225222, 223, 224divcan2d 10682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → (𝑞 · (𝑡 / 𝑞)) = 𝑡)
226225breq2d 4595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → ((𝑝𝑛) ∥ (𝑞 · (𝑡 / 𝑞)) ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑡))
227221, 226bitrd 267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑡))
228153ad3antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → (𝑥 / 𝑞) ∈ ℤ)
229 dvdsmultr2 14859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝑝𝑛) ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝑥 / 𝑞) ∈ ℤ) → ((𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞) → (𝑝𝑛) ∥ (𝑞 · (𝑥 / 𝑞))))
230196, 197, 228, 229syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → ((𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞) → (𝑝𝑛) ∥ (𝑞 · (𝑥 / 𝑞))))
231 coprmdvds 15204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝑝𝑛) ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ (𝑥 / 𝑞) ∈ ℤ) → (((𝑝𝑛) ∥ (𝑞 · (𝑥 / 𝑞)) ∧ ((𝑝𝑛) gcd 𝑞) = 1) → (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))
232196, 197, 228, 231syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → (((𝑝𝑛) ∥ (𝑞 · (𝑥 / 𝑞)) ∧ ((𝑝𝑛) gcd 𝑞) = 1) → (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))
233217, 232mpan2d 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → ((𝑝𝑛) ∥ (𝑞 · (𝑥 / 𝑞)) → (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))
234230, 233impbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → ((𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑞 · (𝑥 / 𝑞))))
23594ad4antr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → 𝑥 ∈ ℂ)
236235, 223, 224divcan2d 10682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → (𝑞 · (𝑥 / 𝑞)) = 𝑥)
237236breq2d 4595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → ((𝑝𝑛) ∥ (𝑞 · (𝑥 / 𝑞)) ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥))
238234, 237bitrd 267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → ((𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥))
239227, 238bibi12d 334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → (((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)) ↔ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥)))
240239notbid 307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → (¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)) ↔ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥)))
241240biimpa 500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) ∧ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))) → ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥))
242 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑚 = 𝑛 → (𝑝𝑚) = (𝑝𝑛))
243242breq1d 4593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑚 = 𝑛 → ((𝑝𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑡))
244242breq1d 4593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑚 = 𝑛 → ((𝑝𝑚) ∥ 𝑥 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥))
245243, 244bibi12d 334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑚 = 𝑛 → (((𝑝𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥)))
246245notbid 307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑚 = 𝑛 → (¬ ((𝑝𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥)))
247246rspcev 3282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥)) → ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑚) ∥ 𝑥))
248189, 241, 247syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) ∧ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))) → ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑚) ∥ 𝑥))
249248ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ 𝑝 = 𝑞)) → (¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)) → ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑚) ∥ 𝑥)))
250249expr 641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (¬ 𝑝 = 𝑞 → (¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)) → ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑚) ∥ 𝑥))))
251250com23 84 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)) → (¬ 𝑝 = 𝑞 → ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑚) ∥ 𝑥))))
252251impr 647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))) → (¬ 𝑝 = 𝑞 → ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑚) ∥ 𝑥)))
253187, 252pm2.61d 169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))) → ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑚) ∥ 𝑥))
254 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑟 = 𝑝 → (𝑟𝑚) = (𝑝𝑚))
255254breq1d 4593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑟 = 𝑝 → ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑚) ∥ 𝑡))
256254breq1d 4593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑟 = 𝑝 → ((𝑟𝑚) ∥ 𝑥 ↔ (𝑝𝑚) ∥ 𝑥))
257255, 256bibi12d 334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑟 = 𝑝 → (((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ((𝑝𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑚) ∥ 𝑥)))
258257notbid 307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑟 = 𝑝 → (¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ¬ ((𝑝𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑚) ∥ 𝑥)))
259258rexbidv 3034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑟 = 𝑝 → (∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑚) ∥ 𝑥)))
260259rspcev 3282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑝𝑚) ∥ 𝑥)) → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥))
261127, 253, 260syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) ∧ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))) → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥))
262261exp32 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)) → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥))))
263262rexlimdvv 3019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)) → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥)))
264126, 263embantd 57 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) ∧ 𝑡 < 𝑥) → (((𝑡 / 𝑞) < (𝑥 / 𝑞) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))) → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥)))
265264ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → (𝑡 < 𝑥 → (((𝑡 / 𝑞) < (𝑥 / 𝑞) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))) → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥))))
266265com23 84 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → (((𝑡 / 𝑞) < (𝑥 / 𝑞) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ (𝑡 / 𝑞) ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))) → (𝑡 < 𝑥 → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥))))
267121, 266syld 46 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → (∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < (𝑥 / 𝑞) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞))) → (𝑡 < 𝑥 → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥))))
268112, 267embantd 57 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → (((𝑥 / 𝑞) < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < (𝑥 / 𝑞) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ (𝑥 / 𝑞)))) → (𝑡 < 𝑥 → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥))))
26993, 268syld 46 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ (𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦))) → (𝑡 < 𝑥 → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥))))
2702693exp2 1277 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑥 / 𝑞) ∈ ℕ → ((𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ → (𝑡 ∈ ℕ → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦))) → (𝑡 < 𝑥 → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥)))))))
27181, 270syld 46 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑞𝑥 → ((𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ → (𝑡 ∈ ℕ → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦))) → (𝑡 < 𝑥 → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥)))))))
2722713impia 1253 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) → ((𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ → (𝑡 ∈ ℕ → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦))) → (𝑡 < 𝑥 → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥))))))
273272com24 93 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦))) → (𝑡 ∈ ℕ → ((𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ → (𝑡 < 𝑥 → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥))))))
274273imp32 448 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) ∧ (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦))) ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → ((𝑡 / 𝑞) ∈ ℕ → (𝑡 < 𝑥 → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥))))
27537, 53, 2743syld 58 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) ∧ (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦))) ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → (𝑞𝑡 → (𝑡 < 𝑥 → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥))))
276 simpl2 1058 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) ∧ (𝑡 ∈ ℕ ∧ (¬ 𝑞𝑡𝑡 < 𝑥))) → 𝑞 ∈ ℙ)
277 1nn 10908 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℕ
278277a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) ∧ (𝑡 ∈ ℕ ∧ (¬ 𝑞𝑡𝑡 < 𝑥))) → 1 ∈ ℕ)
279142exp1d 12865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑞 ∈ ℙ → (𝑞↑1) = 𝑞)
280279breq1d 4593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑞 ∈ ℙ → ((𝑞↑1) ∥ 𝑡𝑞𝑡))
281280notbid 307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑞 ∈ ℙ → (¬ (𝑞↑1) ∥ 𝑡 ↔ ¬ 𝑞𝑡))
282281biimpar 501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ ¬ 𝑞𝑡) → ¬ (𝑞↑1) ∥ 𝑡)
2832823ad2antl2 1217 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) ∧ ¬ 𝑞𝑡) → ¬ (𝑞↑1) ∥ 𝑡)
284283adantrr 749 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) ∧ (¬ 𝑞𝑡𝑡 < 𝑥)) → ¬ (𝑞↑1) ∥ 𝑡)
285284adantrl 748 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) ∧ (𝑡 ∈ ℕ ∧ (¬ 𝑞𝑡𝑡 < 𝑥))) → ¬ (𝑞↑1) ∥ 𝑡)
286279breq1d 4593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑞 ∈ ℙ → ((𝑞↑1) ∥ 𝑥𝑞𝑥))
287286biimpar 501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) → (𝑞↑1) ∥ 𝑥)
2882873adant1 1072 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) → (𝑞↑1) ∥ 𝑥)
289 idd 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) → (((𝑞↑1) ∥ 𝑥 → (𝑞↑1) ∥ 𝑡) → ((𝑞↑1) ∥ 𝑥 → (𝑞↑1) ∥ 𝑡)))
290288, 289mpid 43 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) → (((𝑞↑1) ∥ 𝑥 → (𝑞↑1) ∥ 𝑡) → (𝑞↑1) ∥ 𝑡))
291290adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) ∧ (𝑡 ∈ ℕ ∧ (¬ 𝑞𝑡𝑡 < 𝑥))) → (((𝑞↑1) ∥ 𝑥 → (𝑞↑1) ∥ 𝑡) → (𝑞↑1) ∥ 𝑡))
292285, 291mtod 188 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) ∧ (𝑡 ∈ ℕ ∧ (¬ 𝑞𝑡𝑡 < 𝑥))) → ¬ ((𝑞↑1) ∥ 𝑥 → (𝑞↑1) ∥ 𝑡))
293 biimpr 209 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑞↑1) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞↑1) ∥ 𝑥) → ((𝑞↑1) ∥ 𝑥 → (𝑞↑1) ∥ 𝑡))
294292, 293nsyl 134 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) ∧ (𝑡 ∈ ℕ ∧ (¬ 𝑞𝑡𝑡 < 𝑥))) → ¬ ((𝑞↑1) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞↑1) ∥ 𝑥))
295 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑟 = 𝑞 → (𝑟𝑚) = (𝑞𝑚))
296295breq1d 4593 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑟 = 𝑞 → ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞𝑚) ∥ 𝑡))
297295breq1d 4593 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑟 = 𝑞 → ((𝑟𝑚) ∥ 𝑥 ↔ (𝑞𝑚) ∥ 𝑥))
298296, 297bibi12d 334 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑟 = 𝑞 → (((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ((𝑞𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞𝑚) ∥ 𝑥)))
299298notbid 307 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑟 = 𝑞 → (¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ¬ ((𝑞𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞𝑚) ∥ 𝑥)))
300 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 = 1 → (𝑞𝑚) = (𝑞↑1))
301300breq1d 4593 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 = 1 → ((𝑞𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞↑1) ∥ 𝑡))
302300breq1d 4593 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 = 1 → ((𝑞𝑚) ∥ 𝑥 ↔ (𝑞↑1) ∥ 𝑥))
303301, 302bibi12d 334 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 = 1 → (((𝑞𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ((𝑞↑1) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞↑1) ∥ 𝑥)))
304303notbid 307 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 = 1 → (¬ ((𝑞𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ¬ ((𝑞↑1) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞↑1) ∥ 𝑥)))
305299, 304rspc2ev 3295 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑞 ∈ ℙ ∧ 1 ∈ ℕ ∧ ¬ ((𝑞↑1) ∥ 𝑡 ↔ (𝑞↑1) ∥ 𝑥)) → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥))
306276, 278, 294, 305syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) ∧ (𝑡 ∈ ℕ ∧ (¬ 𝑞𝑡𝑡 < 𝑥))) → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥))
307306expr 641 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → ((¬ 𝑞𝑡𝑡 < 𝑥) → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥)))
308307expd 451 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) ∧ 𝑡 ∈ ℕ) → (¬ 𝑞𝑡 → (𝑡 < 𝑥 → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥))))
309308adantrl 748 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) ∧ (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦))) ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → (¬ 𝑞𝑡 → (𝑡 < 𝑥 → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥))))
310275, 309pm2.61d 169 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) ∧ (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦))) ∧ 𝑡 ∈ ℕ)) → (𝑡 < 𝑥 → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥)))
311310expr 641 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦)))) → (𝑡 ∈ ℕ → (𝑡 < 𝑥 → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥))))
312311ralrimiv 2948 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦)))) → ∀𝑡 ∈ ℕ (𝑡 < 𝑥 → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥)))
313 breq1 4586 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 𝑘 → (𝑡 < 𝑥𝑘 < 𝑥))
314 breq2 4587 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 = 𝑘 → ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑘))
315314bibi1d 332 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 = 𝑘 → (((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑘 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥)))
316315notbid 307 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 = 𝑘 → (¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑘 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥)))
3173162rexbidv 3039 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = 𝑘 → (∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑘 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥)))
318254breq1d 4593 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 = 𝑝 → ((𝑟𝑚) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑚) ∥ 𝑘))
319318, 256bibi12d 334 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = 𝑝 → (((𝑟𝑚) ∥ 𝑘 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ((𝑝𝑚) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑚) ∥ 𝑥)))
320319notbid 307 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = 𝑝 → (¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑘 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ¬ ((𝑝𝑚) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑚) ∥ 𝑥)))
321242breq1d 4593 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = 𝑛 → ((𝑝𝑚) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑘))
322321, 244bibi12d 334 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑛 → (((𝑝𝑚) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥)))
323322notbid 307 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑛 → (¬ ((𝑝𝑚) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥)))
324320, 323cbvrex2v 3156 . . . . . . . . . 10 (∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑘 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥))
325317, 324syl6bb 275 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 𝑘 → (∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥)))
326313, 325imbi12d 333 . . . . . . . 8 (𝑡 = 𝑘 → ((𝑡 < 𝑥 → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥)) ↔ (𝑘 < 𝑥 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥))))
327326cbvralv 3147 . . . . . . 7 (∀𝑡 ∈ ℕ (𝑡 < 𝑥 → ∃𝑟 ∈ ℙ ∃𝑚 ∈ ℕ ¬ ((𝑟𝑚) ∥ 𝑡 ↔ (𝑟𝑚) ∥ 𝑥)) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑥 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥)))
328312, 327sylib 207 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦)))) → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑥 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥)))
3293283exp1 1275 . . . . 5 (𝑥 ∈ (ℤ‘2) → (𝑞 ∈ ℙ → (𝑞𝑥 → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦))) → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑥 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥))))))
330329rexlimdv 3012 . . . 4 (𝑥 ∈ (ℤ‘2) → (∃𝑞 ∈ ℙ 𝑞𝑥 → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦))) → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑥 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥)))))
33125, 330mpd 15 . . 3 (𝑥 ∈ (ℤ‘2) → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑦))) → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑥 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥))))
33214, 21, 24, 331indstr2 11643 . 2 (𝑥 ∈ ℕ → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝑥 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝑥)))
3337, 332vtoclga 3245 1 (𝐴 ∈ ℕ → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝐴 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 195  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  wral 2896  wrex 2897   class class class wbr 4583  cfv 5804  (class class class)co 6549  cc 9813  cr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   < clt 9953  cle 9954   / cdiv 10563  cn 10897  2c2 10947  0cn0 11169  cz 11254  cuz 11563  cexp 12722  cdvds 14821   gcd cgcd 15054  cprime 15223
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-dvds 14822  df-gcd 15055  df-prm 15224
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