Theorem 1nn 10908

Description: Peano postulate: 1 is a positive integer. (Contributed by NM, 11-Jan-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
1nn	⊢ 1 ∈ ℕ

Proof of Theorem 1nn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1ex 9914	. . . 4 ⊢ 1 ∈ V
2		fr0g 7418	. . . 4 ⊢ (1 ∈ V → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘∅) = 1)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘∅) = 1
4		frfnom 7417	. . . 4 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω) Fn ω
5		peano1 6977	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ ω
6		fnfvelrn 6264	. . . 4 ⊢ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω) Fn ω ∧ ∅ ∈ ω) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘∅) ∈ ran (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω))
7	4, 5, 6	mp2an 704	. . 3 ⊢ ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘∅) ∈ ran (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)
8	3, 7	eqeltrri 2685	. 2 ⊢ 1 ∈ ran (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)
9		df-nn 10898	. . 3 ⊢ ℕ = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) “ ω)
10		df-ima 5051	. . 3 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) “ ω) = ran (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)
11	9, 10	eqtri 2632	. 2 ⊢ ℕ = ran (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)
12	8, 11	eleqtrri 2687	1 ⊢ 1 ∈ ℕ

Syntax hints:   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173  ∅c0 3874   ↦ cmpt 4643  ran crn 5039   ↾ cres 5040   “ cima 5041   Fn wfn 5799  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ωcom 6957  reccrdg 7392  1c1 9816   + caddc 9818  ℕcn 10897

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-1cn 9873

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-nn 10898

This theorem is referenced by:  dfnn2  10910  dfnn3  10911  nnind  10915  nn1suc  10918  2nn  11062  nnunb  11165  1nn0  11185  nn0p1nn  11209  elz2  11271  1z  11284  neg1z  11290  nneo  11337  9p1e10  11372  elnn1uz2  11641  zq  11670  rpnnen1lem4  11693  rpnnen1lem5  11694  rpnnen1lem4OLD  11699  rpnnen1lem5OLD  11700  ser1const  12719  exp1  12728  nnexpcl  12735  expnbnd  12855  3dec  12912  fac1  12926  faccl  12932  faclbnd3  12941  faclbnd4lem1  12942  faclbnd4lem2  12943  faclbnd4lem3  12944  faclbnd4lem4  12945  lsw0  13205  eqs1  13245  ccat2s1p1  13257  cats1un  13327  revs1  13365  cats1fvn  13454  relexpsucnnl  13620  relexpaddg  13641  isercolllem2  14244  isercolllem3  14245  isercoll  14246  sumsn  14319  climcndslem1  14420  climcndslem2  14421  fprodnncl  14524  prodsn  14531  prodsnf  14533  nnrisefaccl  14589  eftlub  14678  eirrlem  14771  rpnnen2lem5  14786  rpnnen2lem8  14789  rpnnen2lem12  14793  dvdsle  14870  n2dvds1  14942  ndvdsp1  14973  gcd1  15087  bezoutr1  15120  1nprm  15230  1idssfct  15231  qden1elz  15303  phi1  15316  phiprm  15320  pcpre1  15385  pczpre  15390  pcmptcl  15433  pcmpt  15434  infpnlem2  15453  prmreclem1  15458  prmreclem6  15463  mul4sq  15496  vdwmc2  15521  vdwlem8  15530  vdwlem13  15535  vdwnnlem3  15539  prmocl  15576  prmop1  15580  fvprmselelfz  15586  fvprmselgcd1  15587  prmolefac  15588  prmodvdslcmf  15589  prmgapprmo  15604  5prm  15653  7prm  15655  11prm  15660  13prm  15661  17prm  15662  19prm  15663  37prm  15666  43prm  15667  83prm  15668  139prm  15669  163prm  15670  317prm  15671  631prm  15672  1259lem4  15679  1259lem5  15680  1259prm  15681  2503lem3  15684  2503prm  15685  4001lem1  15686  4001lem2  15687  4001lem3  15688  4001lem4  15689  4001prm  15690  baseid  15747  basendx  15751  basendxnn  15752  ressval3d  15764  1strstr  15805  2strstr  15809  rngstr  15823  lmodstr  15840  topgrpstr  15865  otpsstr  15874  otpsstrOLD  15878  ocndx  15883  ocid  15884  ressds  15896  resshom  15901  ressco  15902  slotsbhcdif  15903  oppcbas  16201  rescbas  16312  rescabs  16316  catstr  16440  estrreslem1  16600  ipostr  16976  mulg1  17371  mulg2  17373  oppgbas  17604  od1  17799  gex1  17829  efgsval2  17969  efgsp1  17973  torsubg  18080  pgpfaclem1  18303  mgpbas  18318  mgpds  18322  opprbas  18452  srabase  18999  srads  19007  opsrbas  19300  zlmbas  19685  znbas2  19707  thlbas  19859  thlle  19860  pmatcollpw3fi1lem2  20411  hauspwdom  21114  ressunif  21876  tuslem  21881  imasdsf1olem  21988  setsmsds  22091  tmslem  22097  tnglem  22254  tngbas  22255  tngds  22262  cphipval  22850  bcthlem4  22932  bcth3  22936  ovolmge0  23052  ovollb2  23064  ovolctb  23065  ovolunlem1a  23071  ovolunlem1  23072  ovoliunlem1  23077  ovoliun  23080  ovoliun2  23081  ovolicc1  23091  voliunlem1  23125  volsup  23131  ioombl1lem2  23134  ioombl1lem4  23136  uniioombllem1  23155  uniioombllem2  23157  uniioombllem6  23162  itg1climres  23287  itg2seq  23315  itg2monolem1  23323  itg2monolem2  23324  itg2monolem3  23325  itg2mono  23326  itg2i1fseq2  23329  itg2cnlem1  23334  aalioulem5  23895  aaliou2b  23900  aaliou3lem4  23905  aaliou3lem7  23908  dcubic1lem  24370  dcubic2  24371  mcubic  24374  log2ub  24476  emcllem6  24527  emcllem7  24528  lgam1  24590  gam1  24591  ftalem7  24605  efnnfsumcl  24629  vmaprm  24643  efvmacl  24646  efchtdvds  24685  vma1  24692  prmorcht  24704  sqff1o  24708  pclogsum  24740  perfectlem1  24754  perfectlem2  24755  bpos1  24808  bposlem5  24813  lgsdir  24857  lgs1  24866  lgsquad2lem2  24910  dchrmusumlema  24982  dchrisum0lema  25003  trkgstr  25143  ttgbas  25557  ttgplusg  25558  ttgvsca  25560  eengstr  25660  baseltedgf  25671  basvtxval  25693  usgraexmplef  25929  ipval2  26946  opsqrlem2  28384  ssnnssfz  28937  nnindf  28952  nn0min  28954  isarchi3  29072  resvbas  29163  rge0scvg  29323  zlmds  29336  qqh0  29356  qqh1  29357  esumfzf  29458  esumfsup  29459  esumpcvgval  29467  voliune  29619  eulerpartgbij  29761  eulerpartlemgs2  29769  fib2  29791  rrvsum  29843  ballotlem4  29887  ballotlemi1  29891  ballotlemii  29892  ballotlemic  29895  ballotlem1c  29896  faclimlem1  30882  nn0prpwlem  31487  nn0prpw  31488  poimirlem32  32611  ovoliunnfl  32621  voliunnfl  32623  volsupnfl  32624  incsequz  32714  bfplem1  32791  rrncmslem  32801  hlhilsbase  36249  jm2.23  36581  rmydioph  36599  rmxdioph  36601  expdiophlem2  36607  expdioph  36608  relexp2  36988  iunrelexpmin1  37019  iunrelexpmin2  37023  dftrcl3  37031  fvtrcllb1d  37033  cotrcltrcl  37036  corcltrcl  37050  cotrclrcl  37053  prmunb2  37532  sumsnd  38208  nnn0  38536  xrralrecnnge  38554  iooiinicc  38616  iooiinioc  38630  sumsnf  38636  mccl  38665  sumnnodd  38697  wallispilem4  38961  wallispi2lem1  38964  wallispi2lem2  38965  stirlinglem8  38974  stirlinglem11  38977  stirlinglem12  38978  stirlinglem13  38979  fourierdlem31  39031  nnfoctbdjlem  39348  hoicvr  39438  hoicvrrex  39446  hoidmvlelem3  39487  ovnhoilem1  39491  ovnhoilem2  39492  ovnlecvr2  39500  ovnsubadd2lem  39535  iinhoiicclem  39564  vonicclem2  39575  iccpartlt  39962  257prm  40011  fmtnoprmfac2lem1  40016  fmtno4prmfac193  40023  fmtno4nprmfac193  40024  fmtno5nprm  40033  3ndvds4  40048  139prmALT  40049  31prm  40050  127prm  40053  3exp4mod41  40071  41prothprmlem2  40073  perfectALTVlem1  40164  perfectALTVlem2  40165  nnsum3primesprm  40206  bgoldbtbndlem1  40221  tgblthelfgott  40229  tgblthelfgottOLD  40236  lfgrn1cycl  41008  nnsgrpmgm  41606  nnsgrpnmnd  41608  basendxnmulrndx  41744  blennn0elnn  42169  blen1  42176