Theorem basvtxval 25693

Description: The set of vertices of a graph represented as an extensible structure with the set of vertices as base set. (Contributed by AV, 14-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
basvtxval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑋)
basvtxval.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝐺)
basvtxval.v	⊢ (𝜑 → 2 ≤ (#‘dom 𝐺))
basvtxval.e	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝑌)
basvtxval.s	⊢ (𝜑 → ⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩ ∈ 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
basvtxval	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)

Proof of Theorem basvtxval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		basvtxval.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑋)
2		basvtxval.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐺)
3		fundif 5849	. . . 4 ⊢ (Fun 𝐺 → Fun (𝐺 ∖ {∅}))
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun (𝐺 ∖ {∅}))
5		basvtxval.v	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ (#‘dom 𝐺))
6		funvtxdmge2val 25691	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑋 ∧ Fun (𝐺 ∖ {∅}) ∧ 2 ≤ (#‘dom 𝐺)) → (Vtx‘𝐺) = (Base‘𝐺))
7	1, 4, 5, 6	syl3anc 1318	. 2 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = (Base‘𝐺))
8		df-base 15700	. . 3 ⊢ Base = Slot 1
9		1nn 10908	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
10	1, 8, 9	strndxid 15717	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(Base‘ndx)) = (Base‘𝐺))
11		basvtxval.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩ ∈ 𝐺)
12		funopfv 6145	. . 3 ⊢ (Fun 𝐺 → (⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩ ∈ 𝐺 → (𝐺‘(Base‘ndx)) = 𝑉))
13	2, 11, 12	sylc 63	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(Base‘ndx)) = 𝑉)
14	7, 10, 13	3eqtr2d 2650	1 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ∖ cdif 3537  ∅c0 3874  {csn 4125  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583  dom cdm 5038  Fun wfun 5798  ‘cfv 5804  1c1 9816   ≤ cle 9954  2c2 10947  #chash 12979  ndxcnx 15692  Basecbs 15695  Vtxcvtx 25673

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-hash 12980  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-vtx 25675

This theorem is referenced by:  structgrssvtx  25701