Theorem 1259prm 15681

Description: 1259 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
1259prm.1	⊢ 𝑁 = ;;;1259

Assertion

Ref	Expression
1259prm	⊢ 𝑁 ∈ ℙ

Proof of Theorem 1259prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		37prm 15666	. 2 ⊢ ;37 ∈ ℙ
2		3nn0 11187	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
3		4nn 11064	. . 3 ⊢ 4 ∈ ℕ
4	2, 3	decnncl 11394	. 2 ⊢ ;34 ∈ ℕ
5		1259prm.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = ;;;1259
6		1nn0 11185	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ0
7		2nn0 11186	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ0
8	6, 7	deccl 11388	. . . . . . . 8 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
9		5nn0 11189	. . . . . . . 8 ⊢ 5 ∈ ℕ0
10	8, 9	deccl 11388	. . . . . . 7 ⊢ ;;125 ∈ ℕ0
11		8nn0 11192	. . . . . . 7 ⊢ 8 ∈ ℕ0
12		eqid 2610	. . . . . . 7 ⊢ ;;;1258 = ;;;1258
13		8p1e9 11035	. . . . . . 7 ⊢ (8 + 1) = 9
14	10, 11, 6, 12, 13	decaddi 11455	. . . . . 6 ⊢ (;;;1258 + 1) = ;;;1259
15	5, 14	eqtr4i 2635	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (;;;1258 + 1)
16	15	oveq1i 6559	. . . 4 ⊢ (𝑁 − 1) = ((;;;1258 + 1) − 1)
17	10, 11	deccl 11388	. . . . . 6 ⊢ ;;;1258 ∈ ℕ0
18	17	nn0cni 11181	. . . . 5 ⊢ ;;;1258 ∈ ℂ
19		ax-1cn 9873	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
20	18, 19	pncan3oi 10176	. . . 4 ⊢ ((;;;1258 + 1) − 1) = ;;;1258
21	16, 20	eqtri 2632	. . 3 ⊢ (𝑁 − 1) = ;;;1258
22		4nn0 11188	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ0
23	2, 22	deccl 11388	. . . 4 ⊢ ;34 ∈ ℕ0
24		7nn0 11191	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ0
25		eqid 2610	. . . 4 ⊢ ;37 = ;37
26	7, 2	deccl 11388	. . . 4 ⊢ ;23 ∈ ℕ0
27		eqid 2610	. . . . 5 ⊢ ;34 = ;34
28		eqid 2610	. . . . 5 ⊢ ;23 = ;23
29		3t3e9 11057	. . . . . . 7 ⊢ (3 · 3) = 9
30		2p1e3 11028	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 1) = 3
31	29, 30	oveq12i 6561	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 3) + (2 + 1)) = (9 + 3)
32		9p3e12 11497	. . . . . 6 ⊢ (9 + 3) = ;12
33	31, 32	eqtri 2632	. . . . 5 ⊢ ((3 · 3) + (2 + 1)) = ;12
34		4t3e12 11508	. . . . . 6 ⊢ (4 · 3) = ;12
35		3cn 10972	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
36		2cn 10968	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
37		3p2e5 11037	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 2) = 5
38	35, 36, 37	addcomli 10107	. . . . . 6 ⊢ (2 + 3) = 5
39	6, 7, 2, 34, 38	decaddi 11455	. . . . 5 ⊢ ((4 · 3) + 3) = ;15
40	2, 22, 7, 2, 27, 28, 2, 9, 6, 33, 39	decmac 11442	. . . 4 ⊢ ((;34 · 3) + ;23) = ;;125
41		7cn 10981	. . . . . . 7 ⊢ 7 ∈ ℂ
42		7t3e21 11525	. . . . . . 7 ⊢ (7 · 3) = ;21
43	41, 35, 42	mulcomli 9926	. . . . . 6 ⊢ (3 · 7) = ;21
44		1p2e3 11029	. . . . . 6 ⊢ (1 + 2) = 3
45	7, 6, 7, 43, 44	decaddi 11455	. . . . 5 ⊢ ((3 · 7) + 2) = ;23
46		4cn 10975	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
47		7t4e28 11526	. . . . . 6 ⊢ (7 · 4) = ;28
48	41, 46, 47	mulcomli 9926	. . . . 5 ⊢ (4 · 7) = ;28
49	24, 2, 22, 27, 11, 7, 45, 48	decmul1c 11463	. . . 4 ⊢ (;34 · 7) = ;;238
50	23, 2, 24, 25, 11, 26, 40, 49	decmul2c 11465	. . 3 ⊢ (;34 · ;37) = ;;;1258
51	21, 50	eqtr4i 2635	. 2 ⊢ (𝑁 − 1) = (;34 · ;37)
52		9nn0 11193	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℕ0
53	10, 52	deccl 11388	. . . . . 6 ⊢ ;;;1259 ∈ ℕ0
54	5, 53	eqeltri 2684	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
55	54	nn0cni 11181	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
56		npcan 10169	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
57	55, 19, 56	mp2an 704	. . 3 ⊢ ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁
58	57	eqcomi 2619	. 2 ⊢ 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1)
59		1nn 10908	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
60		2nn 11062	. 2 ⊢ 2 ∈ ℕ
61	2, 24	deccl 11388	. . . . 5 ⊢ ;37 ∈ ℕ0
62	61	numexp1 15619	. . . 4 ⊢ (;37↑1) = ;37
63	62	oveq2i 6560	. . 3 ⊢ (;34 · (;37↑1)) = (;34 · ;37)
64	51, 63	eqtr4i 2635	. 2 ⊢ (𝑁 − 1) = (;34 · (;37↑1))
65		7nn 11067	. . . 4 ⊢ 7 ∈ ℕ
66		4lt7 11088	. . . 4 ⊢ 4 < 7
67	2, 22, 65, 66	declt 11406	. . 3 ⊢ ;34 < ;37
68	67, 62	breqtrri 4610	. 2 ⊢ ;34 < (;37↑1)
69	5	1259lem4 15679	. 2 ⊢ ((2↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
70	5	1259lem5 15680	. 2 ⊢ (((2↑;34) − 1) gcd 𝑁) = 1
71	1, 4, 51, 58, 4, 59, 60, 64, 68, 69, 70	pockthi 15449	1 ⊢ 𝑁 ∈ ℙ

Syntax hints:   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   < clt 9953   − cmin 10145  2c2 10947  3c3 10948  4c4 10949  5c5 10950  7c7 10952  8c8 10953  9c9 10954  ℕ₀cn0 11169  ;cdc 11369  ↑cexp 12722  ℙcprime 15223

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-dvds 14822  df-gcd 15055  df-prm 15224  df-odz 15308  df-phi 15309  df-pc 15380

This theorem is referenced by: (None)