Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1259prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1259prm 15681
 Description: 1259 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
1259prm.1 𝑁 = 1259
Assertion
Ref Expression
1259prm 𝑁 ∈ ℙ

Proof of Theorem 1259prm
StepHypRef Expression
1 37prm 15666 . 2 37 ∈ ℙ
2 3nn0 11187 . . 3 3 ∈ ℕ0
3 4nn 11064 . . 3 4 ∈ ℕ
42, 3decnncl 11394 . 2 34 ∈ ℕ
5 1259prm.1 . . . . . 6 𝑁 = 1259
6 1nn0 11185 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ0
7 2nn0 11186 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ0
86, 7deccl 11388 . . . . . . . 8 12 ∈ ℕ0
9 5nn0 11189 . . . . . . . 8 5 ∈ ℕ0
108, 9deccl 11388 . . . . . . 7 125 ∈ ℕ0
11 8nn0 11192 . . . . . . 7 8 ∈ ℕ0
12 eqid 2610 . . . . . . 7 1258 = 1258
13 8p1e9 11035 . . . . . . 7 (8 + 1) = 9
1410, 11, 6, 12, 13decaddi 11455 . . . . . 6 (1258 + 1) = 1259
155, 14eqtr4i 2635 . . . . 5 𝑁 = (1258 + 1)
1615oveq1i 6559 . . . 4 (𝑁 − 1) = ((1258 + 1) − 1)
1710, 11deccl 11388 . . . . . 6 1258 ∈ ℕ0
1817nn0cni 11181 . . . . 5 1258 ∈ ℂ
19 ax-1cn 9873 . . . . 5 1 ∈ ℂ
2018, 19pncan3oi 10176 . . . 4 ((1258 + 1) − 1) = 1258
2116, 20eqtri 2632 . . 3 (𝑁 − 1) = 1258
22 4nn0 11188 . . . . 5 4 ∈ ℕ0
232, 22deccl 11388 . . . 4 34 ∈ ℕ0
24 7nn0 11191 . . . 4 7 ∈ ℕ0
25 eqid 2610 . . . 4 37 = 37
267, 2deccl 11388 . . . 4 23 ∈ ℕ0
27 eqid 2610 . . . . 5 34 = 34
28 eqid 2610 . . . . 5 23 = 23
29 3t3e9 11057 . . . . . . 7 (3 · 3) = 9
30 2p1e3 11028 . . . . . . 7 (2 + 1) = 3
3129, 30oveq12i 6561 . . . . . 6 ((3 · 3) + (2 + 1)) = (9 + 3)
32 9p3e12 11497 . . . . . 6 (9 + 3) = 12
3331, 32eqtri 2632 . . . . 5 ((3 · 3) + (2 + 1)) = 12
34 4t3e12 11508 . . . . . 6 (4 · 3) = 12
35 3cn 10972 . . . . . . 7 3 ∈ ℂ
36 2cn 10968 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
37 3p2e5 11037 . . . . . . 7 (3 + 2) = 5
3835, 36, 37addcomli 10107 . . . . . 6 (2 + 3) = 5
396, 7, 2, 34, 38decaddi 11455 . . . . 5 ((4 · 3) + 3) = 15
402, 22, 7, 2, 27, 28, 2, 9, 6, 33, 39decmac 11442 . . . 4 ((34 · 3) + 23) = 125
41 7cn 10981 . . . . . . 7 7 ∈ ℂ
42 7t3e21 11525 . . . . . . 7 (7 · 3) = 21
4341, 35, 42mulcomli 9926 . . . . . 6 (3 · 7) = 21
44 1p2e3 11029 . . . . . 6 (1 + 2) = 3
457, 6, 7, 43, 44decaddi 11455 . . . . 5 ((3 · 7) + 2) = 23
46 4cn 10975 . . . . . 6 4 ∈ ℂ
47 7t4e28 11526 . . . . . 6 (7 · 4) = 28
4841, 46, 47mulcomli 9926 . . . . 5 (4 · 7) = 28
4924, 2, 22, 27, 11, 7, 45, 48decmul1c 11463 . . . 4 (34 · 7) = 238
5023, 2, 24, 25, 11, 26, 40, 49decmul2c 11465 . . 3 (34 · 37) = 1258
5121, 50eqtr4i 2635 . 2 (𝑁 − 1) = (34 · 37)
52 9nn0 11193 . . . . . . 7 9 ∈ ℕ0
5310, 52deccl 11388 . . . . . 6 1259 ∈ ℕ0
545, 53eqeltri 2684 . . . . 5 𝑁 ∈ ℕ0
5554nn0cni 11181 . . . 4 𝑁 ∈ ℂ
56 npcan 10169 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
5755, 19, 56mp2an 704 . . 3 ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁
5857eqcomi 2619 . 2 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1)
59 1nn 10908 . 2 1 ∈ ℕ
60 2nn 11062 . 2 2 ∈ ℕ
612, 24deccl 11388 . . . . 5 37 ∈ ℕ0
6261numexp1 15619 . . . 4 (37↑1) = 37
6362oveq2i 6560 . . 3 (34 · (37↑1)) = (34 · 37)
6451, 63eqtr4i 2635 . 2 (𝑁 − 1) = (34 · (37↑1))
65 7nn 11067 . . . 4 7 ∈ ℕ
66 4lt7 11088 . . . 4 4 < 7
672, 22, 65, 66declt 11406 . . 3 34 < 37
6867, 62breqtrri 4610 . 2 34 < (37↑1)
6951259lem4 15679 . 2 ((2↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
7051259lem5 15680 . 2 (((2↑34) − 1) gcd 𝑁) = 1
711, 4, 51, 58, 4, 59, 60, 64, 68, 69, 70pockthi 15449 1 𝑁 ∈ ℙ
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   < clt 9953   − cmin 10145  2c2 10947  3c3 10948  4c4 10949  5c5 10950  7c7 10952  8c8 10953  9c9 10954  ℕ0cn0 11169  ;cdc 11369  ↑cexp 12722  ℙcprime 15223 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-dvds 14822  df-gcd 15055  df-prm 15224  df-odz 15308  df-phi 15309  df-pc 15380 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator