Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rge0scvg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rge0scvg 29323
 Description: Implication of convergence for a nonnegative series. This could be used to shorten prmreclem6 15463. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Jul-2017.)
Assertion
Ref Expression
rge0scvg ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) ∈ ℝ)

Proof of Theorem rge0scvg
Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑥 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 11599 . . . . 5 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 11285 . . . . 5 (𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) → 1 ∈ ℤ)
3 rge0ssre 12151 . . . . . . 7 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
4 fss 5969 . . . . . . 7 ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℝ) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
53, 4mpan2 703 . . . . . 6 (𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
65ffvelrnda 6267 . . . . 5 ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ)
71, 2, 6serfre 12692 . . . 4 (𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) → seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℝ)
8 frn 5966 . . . 4 (seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℝ → ran seq1( + , 𝐹) ⊆ ℝ)
97, 8syl 17 . . 3 (𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) → ran seq1( + , 𝐹) ⊆ ℝ)
109adantr 480 . 2 ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → ran seq1( + , 𝐹) ⊆ ℝ)
11 1nn 10908 . . . . 5 1 ∈ ℕ
12 fdm 5964 . . . . 5 (seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℝ → dom seq1( + , 𝐹) = ℕ)
1311, 12syl5eleqr 2695 . . . 4 (seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℝ → 1 ∈ dom seq1( + , 𝐹))
14 ne0i 3880 . . . . 5 (1 ∈ dom seq1( + , 𝐹) → dom seq1( + , 𝐹) ≠ ∅)
15 dm0rn0 5263 . . . . . 6 (dom seq1( + , 𝐹) = ∅ ↔ ran seq1( + , 𝐹) = ∅)
1615necon3bii 2834 . . . . 5 (dom seq1( + , 𝐹) ≠ ∅ ↔ ran seq1( + , 𝐹) ≠ ∅)
1714, 16sylib 207 . . . 4 (1 ∈ dom seq1( + , 𝐹) → ran seq1( + , 𝐹) ≠ ∅)
187, 13, 173syl 18 . . 3 (𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) → ran seq1( + , 𝐹) ≠ ∅)
1918adantr 480 . 2 ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → ran seq1( + , 𝐹) ≠ ∅)
20 1zzd 11285 . . . . 5 ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → 1 ∈ ℤ)
21 climdm 14133 . . . . . . 7 (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ↔ seq1( + , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , 𝐹)))
2221biimpi 205 . . . . . 6 (seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ → seq1( + , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , 𝐹)))
2322adantl 481 . . . . 5 ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → seq1( + , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , 𝐹)))
247adantr 480 . . . . . 6 ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℝ)
2524ffvelrnda 6267 . . . . 5 (((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ∈ ℝ)
261, 20, 23, 25climrecl 14162 . . . 4 ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → ( ⇝ ‘seq1( + , 𝐹)) ∈ ℝ)
27 simpr 476 . . . . . 6 (((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ)
2823adantr 480 . . . . . 6 (((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → seq1( + , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , 𝐹)))
29 simplll 794 . . . . . . 7 ((((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞))
30 ffvelrn 6265 . . . . . . . 8 ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗) ∈ (0[,)+∞))
313, 30sseldi 3566 . . . . . . 7 ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ)
3229, 31sylancom 698 . . . . . 6 ((((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ)
33 elrege0 12149 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑗) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐹𝑗) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑗)))
3433simprbi 479 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝑗) ∈ (0[,)+∞) → 0 ≤ (𝐹𝑗))
3530, 34syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐹𝑗))
3635adantlr 747 . . . . . . 7 (((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐹𝑗))
3736adantlr 747 . . . . . 6 ((((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐹𝑗))
381, 27, 28, 32, 37climserle 14241 . . . . 5 (((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ ( ⇝ ‘seq1( + , 𝐹)))
3938ralrimiva 2949 . . . 4 ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → ∀𝑘 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ ( ⇝ ‘seq1( + , 𝐹)))
40 breq2 4587 . . . . . 6 (𝑥 = ( ⇝ ‘seq1( + , 𝐹)) → ((seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ 𝑥 ↔ (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ ( ⇝ ‘seq1( + , 𝐹))))
4140ralbidv 2969 . . . . 5 (𝑥 = ( ⇝ ‘seq1( + , 𝐹)) → (∀𝑘 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ ( ⇝ ‘seq1( + , 𝐹))))
4241rspcev 3282 . . . 4 ((( ⇝ ‘seq1( + , 𝐹)) ∈ ℝ ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ ( ⇝ ‘seq1( + , 𝐹))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ 𝑥)
4326, 39, 42syl2anc 691 . . 3 ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ 𝑥)
44 ffn 5958 . . . . . 6 (seq1( + , 𝐹):ℕ⟶ℝ → seq1( + , 𝐹) Fn ℕ)
45 breq1 4586 . . . . . . 7 (𝑧 = (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) → (𝑧𝑥 ↔ (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ 𝑥))
4645ralrn 6270 . . . . . 6 (seq1( + , 𝐹) Fn ℕ → (∀𝑧 ∈ ran seq1( + , 𝐹)𝑧𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ 𝑥))
477, 44, 463syl 18 . . . . 5 (𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) → (∀𝑧 ∈ ran seq1( + , 𝐹)𝑧𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ 𝑥))
4847rexbidv 3034 . . . 4 (𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran seq1( + , 𝐹)𝑧𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ 𝑥))
4948adantr 480 . . 3 ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran seq1( + , 𝐹)𝑧𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑘 ∈ ℕ (seq1( + , 𝐹)‘𝑘) ≤ 𝑥))
5043, 49mpbird 246 . 2 ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran seq1( + , 𝐹)𝑧𝑥)
51 suprcl 10862 . 2 ((ran seq1( + , 𝐹) ⊆ ℝ ∧ ran seq1( + , 𝐹) ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran seq1( + , 𝐹)𝑧𝑥) → sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) ∈ ℝ)
5210, 19, 50, 51syl3anc 1318 1 ((𝐹:ℕ⟶(0[,)+∞) ∧ seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ ) → sup(ran seq1( + , 𝐹), ℝ, < ) ∈ ℝ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  ∃wrex 2897   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874   class class class wbr 4583  dom cdm 5038  ran crn 5039   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  supcsup 8229  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818  +∞cpnf 9950   < clt 9953   ≤ cle 9954  ℕcn 10897  [,)cico 12048  seqcseq 12663   ⇝ cli 14063 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-ico 12052  df-fz 12198  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-rlim 14068 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator