Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lfgrn1cycl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lfgrn1cycl 41008
 Description: In a loop-free graph there are no cycles with length 1 (consisting of one edge). (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Nov-2017.) (Revised by AV, 2-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
lfgrn1cycl.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
lfgrn1cycl.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
lfgrn1cycl (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (#‘𝑥)} → (𝐹(CycleS‘𝐺)𝑃 → (#‘𝐹) ≠ 1))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem lfgrn1cycl
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cyclprop 40999 . . 3 (𝐹(CycleS‘𝐺)𝑃 → (𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))))
2 cyclisWlk 41004 . . 3 (𝐹(CycleS‘𝐺)𝑃𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃)
3 lfgrn1cycl.i . . . . . . . 8 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
4 lfgrn1cycl.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
53, 4lfgr1wlknloop 40898 . . . . . . 7 ((𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (#‘𝑥)} ∧ 𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃) → ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))
6 1nn 10908 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℕ
7 eleq1 2676 . . . . . . . . . . . . . 14 ((#‘𝐹) = 1 → ((#‘𝐹) ∈ ℕ ↔ 1 ∈ ℕ))
86, 7mpbiri 247 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘𝐹) = 1 → (#‘𝐹) ∈ ℕ)
9 lbfzo0 12375 . . . . . . . . . . . . 13 (0 ∈ (0..^(#‘𝐹)) ↔ (#‘𝐹) ∈ ℕ)
108, 9sylibr 223 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘𝐹) = 1 → 0 ∈ (0..^(#‘𝐹)))
11 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 0 → (𝑃𝑘) = (𝑃‘0))
12 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 0 → (𝑘 + 1) = (0 + 1))
13 0p1e1 11009 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 + 1) = 1
1412, 13syl6eq 2660 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 0 → (𝑘 + 1) = 1)
1514fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 0 → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = (𝑃‘1))
1611, 15neeq12d 2843 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 0 → ((𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
1716rspcv 3278 . . . . . . . . . . . 12 (0 ∈ (0..^(#‘𝐹)) → (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
1810, 17syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝐹) = 1 → (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
1918impcom 445 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ (#‘𝐹) = 1) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1))
20 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘𝐹) = 1 → (𝑃‘(#‘𝐹)) = (𝑃‘1))
2120neeq2d 2842 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝐹) = 1 → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹)) ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
2221adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ (#‘𝐹) = 1) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹)) ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
2319, 22mpbird 246 . . . . . . . . 9 ((∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ∧ (#‘𝐹) = 1) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹)))
2423ex 449 . . . . . . . 8 (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) → ((#‘𝐹) = 1 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(#‘𝐹))))
2524necon2d 2805 . . . . . . 7 (∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐹))(𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)) → ((𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)) → (#‘𝐹) ≠ 1))
265, 25syl 17 . . . . . 6 ((𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (#‘𝑥)} ∧ 𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃) → ((𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)) → (#‘𝐹) ≠ 1))
2726ex 449 . . . . 5 (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (#‘𝑥)} → (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 → ((𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)) → (#‘𝐹) ≠ 1)))
2827com13 86 . . . 4 ((𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹)) → (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (#‘𝑥)} → (#‘𝐹) ≠ 1)))
2928adantl 481 . . 3 ((𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(#‘𝐹))) → (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (#‘𝑥)} → (#‘𝐹) ≠ 1)))
301, 2, 29sylc 63 . 2 (𝐹(CycleS‘𝐺)𝑃 → (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (#‘𝑥)} → (#‘𝐹) ≠ 1))
3130com12 32 1 (𝐼:dom 𝐼⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ 2 ≤ (#‘𝑥)} → (𝐹(CycleS‘𝐺)𝑃 → (#‘𝐹) ≠ 1))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  {crab 2900  𝒫 cpw 4108   class class class wbr 4583  dom cdm 5038  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   ≤ cle 9954  ℕcn 10897  2c2 10947  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Vtxcvtx 25673  iEdgciedg 25674  1Walksc1wlks 40796  PathScpths 40919  CycleSccycls 40991 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1007  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-1wlks 40800  df-trls 40901  df-pths 40923  df-cycls 40993 This theorem is referenced by:  umgrn1cycl  41010
 Copyright terms: Public domain W3C validator