Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rescbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rescbas 16312
 Description: Base set of the category restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
rescbas.d 𝐷 = (𝐶cat 𝐻)
rescbas.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
rescbas.c (𝜑𝐶𝑉)
rescbas.h (𝜑𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆))
rescbas.s (𝜑𝑆𝐵)
Assertion
Ref Expression
rescbas (𝜑𝑆 = (Base‘𝐷))

Proof of Theorem rescbas
StepHypRef Expression
1 baseid 15747 . . 3 Base = Slot (Base‘ndx)
2 1re 9918 . . . . 5 1 ∈ ℝ
3 1nn 10908 . . . . . 6 1 ∈ ℕ
4 4nn0 11188 . . . . . 6 4 ∈ ℕ0
5 1nn0 11185 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
6 1lt10 11557 . . . . . 6 1 < 10
73, 4, 5, 6declti 11422 . . . . 5 1 < 14
82, 7ltneii 10029 . . . 4 1 ≠ 14
9 basendx 15751 . . . . 5 (Base‘ndx) = 1
10 homndx 15897 . . . . 5 (Hom ‘ndx) = 14
119, 10neeq12i 2848 . . . 4 ((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ↔ 1 ≠ 14)
128, 11mpbir 220 . . 3 (Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx)
131, 12setsnid 15743 . 2 (Base‘(𝐶s 𝑆)) = (Base‘((𝐶s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩))
14 rescbas.s . . 3 (𝜑𝑆𝐵)
15 eqid 2610 . . . 4 (𝐶s 𝑆) = (𝐶s 𝑆)
16 rescbas.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐶)
1715, 16ressbas2 15758 . . 3 (𝑆𝐵𝑆 = (Base‘(𝐶s 𝑆)))
1814, 17syl 17 . 2 (𝜑𝑆 = (Base‘(𝐶s 𝑆)))
19 rescbas.d . . . 4 𝐷 = (𝐶cat 𝐻)
20 rescbas.c . . . 4 (𝜑𝐶𝑉)
21 fvex 6113 . . . . . . 7 (Base‘𝐶) ∈ V
2216, 21eqeltri 2684 . . . . . 6 𝐵 ∈ V
2322ssex 4730 . . . . 5 (𝑆𝐵𝑆 ∈ V)
2414, 23syl 17 . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ V)
25 rescbas.h . . . 4 (𝜑𝐻 Fn (𝑆 × 𝑆))
2619, 20, 24, 25rescval2 16311 . . 3 (𝜑𝐷 = ((𝐶s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩))
2726fveq2d 6107 . 2 (𝜑 → (Base‘𝐷) = (Base‘((𝐶s 𝑆) sSet ⟨(Hom ‘ndx), 𝐻⟩)))
2813, 18, 273eqtr4a 2670 1 (𝜑𝑆 = (Base‘𝐷))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540  ⟨cop 4131   × cxp 5036   Fn wfn 5799  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  1c1 9816  4c4 10949  ;cdc 11369  ndxcnx 15692   sSet csts 15693  Basecbs 15695   ↾s cress 15696  Hom chom 15779   ↾cat cresc 16291 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-hom 15793  df-resc 16294 This theorem is referenced by:  reschomf  16314  subccatid  16329  issubc3  16332  fullresc  16334  funcres  16379  funcres2b  16380  funcres2  16381  rngcbas  41757  ringcbas  41803
 Copyright terms: Public domain W3C validator