Proof of Theorem faclbnd3
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | elnn0 11171 |
. 2
⊢ (𝑀 ∈ ℕ0
↔ (𝑀 ∈ ℕ
∨ 𝑀 =
0)) |
2 | | nnre 10904 |
. . . . . 6
⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈
ℝ) |
3 | 2 | adantr 480 |
. . . . 5
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
→ 𝑀 ∈
ℝ) |
4 | | nnge1 10923 |
. . . . . 6
⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 1 ≤
𝑀) |
5 | 4 | adantr 480 |
. . . . 5
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
→ 1 ≤ 𝑀) |
6 | | nn0z 11277 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ 𝑁 ∈
ℤ) |
7 | 6 | adantl 481 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
→ 𝑁 ∈
ℤ) |
8 | | uzid 11578 |
. . . . . 6
⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈
(ℤ≥‘𝑁)) |
9 | | peano2uz 11617 |
. . . . . 6
⊢ (𝑁 ∈
(ℤ≥‘𝑁) → (𝑁 + 1) ∈
(ℤ≥‘𝑁)) |
10 | 7, 8, 9 | 3syl 18 |
. . . . 5
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
→ (𝑁 + 1) ∈
(ℤ≥‘𝑁)) |
11 | 3, 5, 10 | leexp2ad 12903 |
. . . 4
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
→ (𝑀↑𝑁) ≤ (𝑀↑(𝑁 + 1))) |
12 | | nnnn0 11176 |
. . . . 5
⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈
ℕ0) |
13 | | faclbnd 12939 |
. . . . 5
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) → (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁))) |
14 | 12, 13 | sylan 487 |
. . . 4
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
→ (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁))) |
15 | | nn0re 11178 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑀 ∈ ℕ0
→ 𝑀 ∈
ℝ) |
16 | | reexpcl 12739 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
→ (𝑀↑𝑁) ∈
ℝ) |
17 | 15, 16 | sylan 487 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) → (𝑀↑𝑁) ∈ ℝ) |
18 | | peano2nn0 11210 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (𝑁 + 1) ∈
ℕ0) |
19 | | reexpcl 12739 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑁 + 1) ∈
ℕ0) → (𝑀↑(𝑁 + 1)) ∈ ℝ) |
20 | 15, 18, 19 | syl2an 493 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) → (𝑀↑(𝑁 + 1)) ∈ ℝ) |
21 | | reexpcl 12739 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0)
→ (𝑀↑𝑀) ∈
ℝ) |
22 | 15, 21 | mpancom 700 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑀 ∈ ℕ0
→ (𝑀↑𝑀) ∈
ℝ) |
23 | | faccl 12932 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (!‘𝑁) ∈
ℕ) |
24 | 23 | nnred 10912 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (!‘𝑁) ∈
ℝ) |
25 | | remulcl 9900 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝑀↑𝑀) ∈ ℝ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℝ) → ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁)) ∈ ℝ) |
26 | 22, 24, 25 | syl2an 493 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) → ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁)) ∈ ℝ) |
27 | | letr 10010 |
. . . . . 6
⊢ (((𝑀↑𝑁) ∈ ℝ ∧ (𝑀↑(𝑁 + 1)) ∈ ℝ ∧ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁)) ∈ ℝ) → (((𝑀↑𝑁) ≤ (𝑀↑(𝑁 + 1)) ∧ (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁))) → (𝑀↑𝑁) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁)))) |
28 | 17, 20, 26, 27 | syl3anc 1318 |
. . . . 5
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) → (((𝑀↑𝑁) ≤ (𝑀↑(𝑁 + 1)) ∧ (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁))) → (𝑀↑𝑁) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁)))) |
29 | 12, 28 | sylan 487 |
. . . 4
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
→ (((𝑀↑𝑁) ≤ (𝑀↑(𝑁 + 1)) ∧ (𝑀↑(𝑁 + 1)) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁))) → (𝑀↑𝑁) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁)))) |
30 | 11, 14, 29 | mp2and 711 |
. . 3
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)
→ (𝑀↑𝑁) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁))) |
31 | | elnn0 11171 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
↔ (𝑁 ∈ ℕ
∨ 𝑁 =
0)) |
32 | | 0exp 12757 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑁 ∈ ℕ →
(0↑𝑁) =
0) |
33 | | 0le1 10430 |
. . . . . . . . 9
⊢ 0 ≤
1 |
34 | 32, 33 | syl6eqbr 4622 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑁 ∈ ℕ →
(0↑𝑁) ≤
1) |
35 | | oveq2 6557 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑁 = 0 → (0↑𝑁) = (0↑0)) |
36 | | 0exp0e1 12727 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(0↑0) = 1 |
37 | | 1le1 10534 |
. . . . . . . . . 10
⊢ 1 ≤
1 |
38 | 36, 37 | eqbrtri 4604 |
. . . . . . . . 9
⊢
(0↑0) ≤ 1 |
39 | 35, 38 | syl6eqbr 4622 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑁 = 0 → (0↑𝑁) ≤ 1) |
40 | 34, 39 | jaoi 393 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (0↑𝑁) ≤ 1) |
41 | 31, 40 | sylbi 206 |
. . . . . 6
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (0↑𝑁) ≤
1) |
42 | | 1nn 10908 |
. . . . . . . 8
⊢ 1 ∈
ℕ |
43 | | nnmulcl 10920 |
. . . . . . . 8
⊢ ((1
∈ ℕ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℕ) → (1 ·
(!‘𝑁)) ∈
ℕ) |
44 | 42, 23, 43 | sylancr 694 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (1 · (!‘𝑁)) ∈ ℕ) |
45 | 44 | nnge1d 10940 |
. . . . . 6
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ 1 ≤ (1 · (!‘𝑁))) |
46 | | 0re 9919 |
. . . . . . . 8
⊢ 0 ∈
ℝ |
47 | | reexpcl 12739 |
. . . . . . . 8
⊢ ((0
∈ ℝ ∧ 𝑁
∈ ℕ0) → (0↑𝑁) ∈ ℝ) |
48 | 46, 47 | mpan 702 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (0↑𝑁) ∈
ℝ) |
49 | | 1re 9918 |
. . . . . . . 8
⊢ 1 ∈
ℝ |
50 | | remulcl 9900 |
. . . . . . . 8
⊢ ((1
∈ ℝ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℝ) → (1 ·
(!‘𝑁)) ∈
ℝ) |
51 | 49, 24, 50 | sylancr 694 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (1 · (!‘𝑁)) ∈ ℝ) |
52 | | letr 10010 |
. . . . . . . 8
⊢
(((0↑𝑁) ∈
ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (1 · (!‘𝑁)) ∈ ℝ) → (((0↑𝑁) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (1
· (!‘𝑁)))
→ (0↑𝑁) ≤ (1
· (!‘𝑁)))) |
53 | 49, 52 | mp3an2 1404 |
. . . . . . 7
⊢
(((0↑𝑁) ∈
ℝ ∧ (1 · (!‘𝑁)) ∈ ℝ) → (((0↑𝑁) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (1
· (!‘𝑁)))
→ (0↑𝑁) ≤ (1
· (!‘𝑁)))) |
54 | 48, 51, 53 | syl2anc 691 |
. . . . . 6
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (((0↑𝑁) ≤ 1
∧ 1 ≤ (1 · (!‘𝑁))) → (0↑𝑁) ≤ (1 · (!‘𝑁)))) |
55 | 41, 45, 54 | mp2and 711 |
. . . . 5
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (0↑𝑁) ≤ (1
· (!‘𝑁))) |
56 | 55 | adantl 481 |
. . . 4
⊢ ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) →
(0↑𝑁) ≤ (1 ·
(!‘𝑁))) |
57 | | oveq1 6556 |
. . . . . 6
⊢ (𝑀 = 0 → (𝑀↑𝑁) = (0↑𝑁)) |
58 | | oveq12 6558 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑀 = 0 ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀↑𝑀) = (0↑0)) |
59 | 58 | anidms 675 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑀 = 0 → (𝑀↑𝑀) = (0↑0)) |
60 | 59, 36 | syl6eq 2660 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑀 = 0 → (𝑀↑𝑀) = 1) |
61 | 60 | oveq1d 6564 |
. . . . . 6
⊢ (𝑀 = 0 → ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁)) = (1 · (!‘𝑁))) |
62 | 57, 61 | breq12d 4596 |
. . . . 5
⊢ (𝑀 = 0 → ((𝑀↑𝑁) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁)) ↔ (0↑𝑁) ≤ (1 · (!‘𝑁)))) |
63 | 62 | adantr 480 |
. . . 4
⊢ ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀↑𝑁) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁)) ↔ (0↑𝑁) ≤ (1 · (!‘𝑁)))) |
64 | 56, 63 | mpbird 246 |
. . 3
⊢ ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀↑𝑁) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁))) |
65 | 30, 64 | jaoian 820 |
. 2
⊢ (((𝑀 ∈ ℕ ∨ 𝑀 = 0) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀↑𝑁) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁))) |
66 | 1, 65 | sylanb 488 |
1
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ 𝑁 ∈
ℕ0) → (𝑀↑𝑁) ≤ ((𝑀↑𝑀) · (!‘𝑁))) |