MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  thlle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem thlle 19860
Description: Ordering on the Hilbert lattice of closed subspaces. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
thlval.k 𝐾 = (toHL‘𝑊)
thlbas.c 𝐶 = (CSubSp‘𝑊)
thlle.i 𝐼 = (toInc‘𝐶)
thlle.l = (le‘𝐼)
Assertion
Ref Expression
thlle = (le‘𝐾)

Proof of Theorem thlle
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 thlval.k . . . . 5 𝐾 = (toHL‘𝑊)
2 thlbas.c . . . . 5 𝐶 = (CSubSp‘𝑊)
3 thlle.i . . . . 5 𝐼 = (toInc‘𝐶)
4 eqid 2610 . . . . 5 (ocv‘𝑊) = (ocv‘𝑊)
51, 2, 3, 4thlval 19858 . . . 4 (𝑊 ∈ V → 𝐾 = (𝐼 sSet ⟨(oc‘ndx), (ocv‘𝑊)⟩))
65fveq2d 6107 . . 3 (𝑊 ∈ V → (le‘𝐾) = (le‘(𝐼 sSet ⟨(oc‘ndx), (ocv‘𝑊)⟩)))
7 thlle.l . . . 4 = (le‘𝐼)
8 pleid 15872 . . . . 5 le = Slot (le‘ndx)
9 10re 11393 . . . . . . 7 10 ∈ ℝ
10 1nn0 11185 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ0
11 0nn0 11184 . . . . . . . 8 0 ∈ ℕ0
12 1nn 10908 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ
13 0lt1 10429 . . . . . . . 8 0 < 1
1410, 11, 12, 13declt 11406 . . . . . . 7 10 < 11
159, 14ltneii 10029 . . . . . 6 10 ≠ 11
16 plendx 15870 . . . . . . 7 (le‘ndx) = 10
17 ocndx 15883 . . . . . . 7 (oc‘ndx) = 11
1816, 17neeq12i 2848 . . . . . 6 ((le‘ndx) ≠ (oc‘ndx) ↔ 10 ≠ 11)
1915, 18mpbir 220 . . . . 5 (le‘ndx) ≠ (oc‘ndx)
208, 19setsnid 15743 . . . 4 (le‘𝐼) = (le‘(𝐼 sSet ⟨(oc‘ndx), (ocv‘𝑊)⟩))
217, 20eqtri 2632 . . 3 = (le‘(𝐼 sSet ⟨(oc‘ndx), (ocv‘𝑊)⟩))
226, 21syl6reqr 2663 . 2 (𝑊 ∈ V → = (le‘𝐾))
238str0 15739 . . 3 ∅ = (le‘∅)
24 fvex 6113 . . . . . . 7 (CSubSp‘𝑊) ∈ V
252, 24eqeltri 2684 . . . . . 6 𝐶 ∈ V
263ipolerval 16979 . . . . . 6 (𝐶 ∈ V → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶𝑥𝑦)} = (le‘𝐼))
2725, 26ax-mp 5 . . . . 5 {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶𝑥𝑦)} = (le‘𝐼)
287, 27eqtr4i 2635 . . . 4 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶𝑥𝑦)}
29 opabn0 4931 . . . . . 6 ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶𝑥𝑦)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑥𝑦({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶𝑥𝑦))
30 vex 3176 . . . . . . . . 9 𝑥 ∈ V
31 vex 3176 . . . . . . . . 9 𝑦 ∈ V
3230, 31prss 4291 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐶𝑦𝐶) ↔ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶)
33 elfvex 6131 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (CSubSp‘𝑊) → 𝑊 ∈ V)
3433, 2eleq2s 2706 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐶𝑊 ∈ V)
3534ad2antrr 758 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐶𝑦𝐶) ∧ 𝑥𝑦) → 𝑊 ∈ V)
3632, 35sylanbr 489 . . . . . . 7 (({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶𝑥𝑦) → 𝑊 ∈ V)
3736exlimivv 1847 . . . . . 6 (∃𝑥𝑦({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶𝑥𝑦) → 𝑊 ∈ V)
3829, 37sylbi 206 . . . . 5 ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶𝑥𝑦)} ≠ ∅ → 𝑊 ∈ V)
3938necon1bi 2810 . . . 4 𝑊 ∈ V → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐶𝑥𝑦)} = ∅)
4028, 39syl5eq 2656 . . 3 𝑊 ∈ V → = ∅)
41 fvprc 6097 . . . . 5 𝑊 ∈ V → (toHL‘𝑊) = ∅)
421, 41syl5eq 2656 . . . 4 𝑊 ∈ V → 𝐾 = ∅)
4342fveq2d 6107 . . 3 𝑊 ∈ V → (le‘𝐾) = (le‘∅))
4423, 40, 433eqtr4a 2670 . 2 𝑊 ∈ V → = (le‘𝐾))
4522, 44pm2.61i 175 1 = (le‘𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 383   = wceq 1475  wex 1695  wcel 1977  wne 2780  Vcvv 3173  wss 3540  c0 3874  {cpr 4127  cop 4131  {copab 4642  cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816  cdc 11369  ndxcnx 15692   sSet csts 15693  lecple 15775  occoc 15776  toInccipo 16974  ocvcocv 19823  CSubSpccss 19824  toHLcthl 19825
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ocomp 15790  df-ipo 16975  df-thl 19828
This theorem is referenced by:  thlleval  19861
  Copyright terms: Public domain W3C validator