Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1nprm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1nprm 15230
 Description: 1 is not a prime number. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Proof shortened by Fan Zheng, 3-Jul-2016.)
Assertion
Ref Expression
1nprm ¬ 1 ∈ ℙ

Proof of Theorem 1nprm
Dummy variables 𝑧 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1nn 10908 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ
2 eleq1 2676 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 1 → (𝑧 ∈ ℕ ↔ 1 ∈ ℕ))
31, 2mpbiri 247 . . . . . . . 8 (𝑧 = 1 → 𝑧 ∈ ℕ)
4 nnnn0 11176 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℕ0)
5 dvds1 14879 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℕ0 → (𝑧 ∥ 1 ↔ 𝑧 = 1))
64, 5syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 ∥ 1 ↔ 𝑧 = 1))
76bicomd 212 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 = 1 ↔ 𝑧 ∥ 1))
83, 7biadan2 672 . . . . . . 7 (𝑧 = 1 ↔ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 1))
9 velsn 4141 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ {1} ↔ 𝑧 = 1)
10 breq1 4586 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑧 → (𝑛 ∥ 1 ↔ 𝑧 ∥ 1))
1110elrab 3331 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 1} ↔ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∥ 1))
128, 9, 113bitr4ri 292 . . . . . 6 (𝑧 ∈ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 1} ↔ 𝑧 ∈ {1})
1312eqriv 2607 . . . . 5 {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 1} = {1}
14 1ex 9914 . . . . . 6 1 ∈ V
1514ensn1 7906 . . . . 5 {1} ≈ 1𝑜
1613, 15eqbrtri 4604 . . . 4 {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 1} ≈ 1𝑜
17 1sdom2 8044 . . . 4 1𝑜 ≺ 2𝑜
18 ensdomtr 7981 . . . 4 (({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 1} ≈ 1𝑜 ∧ 1𝑜 ≺ 2𝑜) → {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 1} ≺ 2𝑜)
1916, 17, 18mp2an 704 . . 3 {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 1} ≺ 2𝑜
20 sdomnen 7870 . . 3 ({𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 1} ≺ 2𝑜 → ¬ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 1} ≈ 2𝑜)
2119, 20ax-mp 5 . 2 ¬ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 1} ≈ 2𝑜
22 isprm 15225 . . 3 (1 ∈ ℙ ↔ (1 ∈ ℕ ∧ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 1} ≈ 2𝑜))
231, 22mpbiran 955 . 2 (1 ∈ ℙ ↔ {𝑛 ∈ ℕ ∣ 𝑛 ∥ 1} ≈ 2𝑜)
2421, 23mtbir 312 1 ¬ 1 ∈ ℙ
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  {crab 2900  {csn 4125   class class class wbr 4583  1𝑜c1o 7440  2𝑜c2o 7441   ≈ cen 7838   ≺ csdm 7840  1c1 9816  ℕcn 10897  ℕ0cn0 11169   ∥ cdvds 14821  ℙcprime 15223 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-dvds 14822  df-prm 15224 This theorem is referenced by:  isprm2  15233  nprmdvds1  15256  prm23lt5  15357  pcmpt  15434  prmo1  15579  prmlem1a  15651  prmcyg  18118  prmirredlem  19660  bposlem5  24813  2lgs  24932  prmdvdsfmtnof1lem2  40035  lighneallem3  40062
 Copyright terms: Public domain W3C validator